Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của việc nhân hai ma trận n × n bằng ba vòng lặp lồng nhau chuẩn là gì?

  1. AO(n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n² log n)
  4. DO(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

n! và 2ⁿ so sánh với nhau thế nào khi n lớn?

  1. AChúng tăng với cùng tốc độ
  2. Bn! tăng nhanh hơn 2ⁿ
  3. C2ⁿ tăng nhanh hơn n!
  4. Dn! là O(n²)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một nút trong cây tìm kiếm nhị phân có cây con phải. Nút kế tiếp theo thứ tự giữa của nó nằm ở đâu?

  1. ALuôn là cha của nó
  2. BNút ngoài cùng bên phải của cây con trái
  3. CNút ngoài cùng bên trái của cây con phải
  4. DLuôn là con phải của nó
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Trong thuật toán cây khung nhỏ nhất Kruskal, cấu trúc union-find được dùng để làm gì?

  1. AChọn đỉnh bắt đầu
  2. BLưu khoảng cách hiện tại của mỗi đỉnh từ nguồn trong quá trình tìm kiếm
  3. CSắp xếp các cạnh theo trọng số
  4. DKiểm tra hai đầu mút của một cạnh đã được nối với nhau chưa
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 4 đỉnh bậc 4, 3 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

4 × deg 43 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi độ dài 3 từ A đến E? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · O(n³)

Vì sao đây là đáp án

Có n² phần tử và mỗi phần tử cần n phép nhân, cho n³ phép toán.

Đáp số

B · O(n³)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · n! tăng nhanh hơn 2ⁿ

Vì sao đây là đáp án

Với n ≥ 4, n! vượt 2ⁿ, và tỷ số tăng không giới hạn vì mỗi thừa số thêm của n! lớn hơn 2.

Đáp số

B · n! tăng nhanh hơn 2ⁿ
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Nút ngoài cùng bên trái của cây con phải

Vì sao đây là đáp án

Mọi khóa lớn hơn gần nút đều nằm trong cây con phải, và khóa nhỏ nhất trong số đó là nút ngoài cùng bên trái ở đó.

Đáp số

C · Nút ngoài cùng bên trái của cây con phải
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Kiểm tra hai đầu mút của một cạnh đã được nối với nhau chưa

Vì sao đây là đáp án

Find cho biết hai đầu mút có cùng thành phần hay không; nếu không, cạnh được thêm vào và union gộp các thành phần.

Đáp số

D · Kiểm tra hai đầu mút của một cạnh đã được nối với nhau chưa
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 10

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 22 = 2(L + 7) − 2
L = 10

Đáp số

L = 10

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 2

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Thêm một bước

(M³)AE = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 0·1 + 2·0 = 2

Đáp số

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms