Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Tìm kiếm nhị phân cần khoảng bao nhiêu phép so sánh trong trường hợp xấu nhất trên một mảng đã sắp xếp có 1,000,000 phần tử?

  1. AKhoảng 100
  2. BKhoảng 1,000
  3. CKhoảng 20
  4. DKhoảng 500,000
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Chi phí thời gian và không gian của việc tính số Fibonacci thứ n bằng một vòng lặp chỉ giữ hai giá trị cuối là bao nhiêu?

  1. AThời gian O(n) và không gian O(n)
  2. BThời gian O(log n) và không gian O(n)
  3. CThời gian O(n) và không gian O(1)
  4. DThời gian O(2ⁿ) và không gian O(1)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Bạn có một tham chiếu đến một nút ở giữa danh sách. Trong danh sách nào bạn có thể xóa nó trong O(1)?

  1. AMảng động
  2. BDanh sách liên kết đôi
  3. CDanh sách liên kết đơn
  4. DMảng đã sắp xếp
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Thời gian chạy của tìm kiếm theo chiều rộng trên đồ thị có V đỉnh được lưu bằng ma trận kề là bao nhiêu?

  1. AO(V²)
  2. BO(V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E log V)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 2 bắt đầu và kết thúc tại B? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Khoảng 20

Vì sao đây là đáp án

220 ≈ 1,048,576, nên sau khoảng 20 lần chia đôi chỉ còn lại một phần tử.

Đáp số

C · Khoảng 20
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Thời gian O(n) và không gian O(1)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi bước chỉ cần hai giá trị trước đó, nên bảng của phương pháp từ dưới lên có thể được thay bằng hai biến.

Đáp số

C · Thời gian O(n) và không gian O(1)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Danh sách liên kết đôi

Vì sao đây là đáp án

Nút của danh sách liên kết đôi biết nút đứng trước nó, nên bạn có thể nối lại prev và next trực tiếp; danh sách liên kết đơn phải tìm nút đứng trước.

Đáp số

B · Danh sách liên kết đôi
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · O(V²)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi trong V đỉnh quét một hàng gồm V phần tử, cho O(V²); với danh sách kề BFS là O(V + E).

Đáp số

A · O(V²)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Các đỉnh lẻ

C, E → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 4

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Các đỉnh kề chung

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 4

Đáp số

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms