Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Phát biểu nào về một hàm đệ quy không có trường hợp cơ sở nào đạt tới được là đúng?

  1. ANó cứ gọi chính nó cho đến khi ngăn xếp lời gọi bị tràn
  2. BNó tự động trả về 0
  3. CNó chạy trong thời gian O(1)
  4. DTrình biên dịch luôn biến nó thành một vòng lặp kết thúc an toàn
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Định lý Cook–Levin đã thiết lập điều gì?

  1. AP không bằng NP
  2. BBài toán dừng là bất khả quyết định
  3. CMọi bài toán NP đều giải được trong thời gian hàm mũ
  4. DBài toán thỏa mãn Boole (SAT) là NP-đầy đủ
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một cây nhị phân có gốc 1 với con trái 2 và con phải 3; nút 2 có các con 4 (trái) và 5 (phải). Duyệt thứ tự trước là gì?

  1. A4 5 2 3 1
  2. B4 2 5 1 3
  3. C1 2 3 4 5
  4. D1 2 4 5 3
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Thời gian chạy của tìm kiếm theo chiều rộng trên đồ thị có V đỉnh được lưu bằng ma trận kề là bao nhiêu?

  1. AO(V²)
  2. BO(V)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V + E)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K6 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K6
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 2 bắt đầu và kết thúc tại E? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Nó cứ gọi chính nó cho đến khi ngăn xếp lời gọi bị tràn

Vì sao đây là đáp án

Không có trường hợp cơ sở thì đệ quy không bao giờ dừng; trên thực tế bộ nhớ cho các khung ngăn xếp cạn kiệt và chương trình bị sập.

Đáp số

A · Nó cứ gọi chính nó cho đến khi ngăn xếp lời gọi bị tràn
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Bài toán thỏa mãn Boole (SAT) là NP-đầy đủ

Vì sao đây là đáp án

Cook và Levin độc lập chỉ ra rằng mọi bài toán trong NP đều quy dẫn về SAT trong thời gian đa thức, nên SAT là bài toán NP-đầy đủ đầu tiên được biết.

Đáp số

D · Bài toán thỏa mãn Boole (SAT) là NP-đầy đủ
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · 1 2 4 5 3

Vì sao đây là đáp án

Preorder thăm 1, rồi cây con trái của nó (2, 4, 5), rồi 3; các phương án khác là inorder, postorder và duyệt theo mức.

Đáp số

D · 1 2 4 5 3
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · O(V²)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi trong V đỉnh quét một hàng gồm V phần tử, cho O(V²); với danh sách kề BFS là O(V + E).

Đáp số

A · O(V²)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 60

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Đáp số

H = 60
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 3

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 0
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3

Đáp số

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms