Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Phát biểu nào về một hàm đệ quy không có trường hợp cơ sở nào đạt tới được là đúng?

  1. ATrình biên dịch luôn biến nó thành một vòng lặp kết thúc an toàn
  2. BNó tự động trả về 0
  3. CNó chạy trong thời gian O(1)
  4. DNó cứ gọi chính nó cho đến khi ngăn xếp lời gọi bị tràn
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Vì sao mọi tìm kiếm dựa trên so sánh trong một mảng đã sắp xếp cần Ω(log n) phép so sánh trong trường hợp xấu nhất?

  1. ATìm kiếm nhị phân là thuật toán khả dĩ duy nhất, và nó cần log₂ n phép so sánh
  2. BMỗi phép so sánh mất thời gian logarit
  3. CMột cây quyết định với n kết quả có thể phải có độ sâu ít nhất log₂ n
  4. DMọi phần tử phải được so sánh ít nhất một lần
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Tìm một từ có độ dài L trong trie với bảng chữ cái cố định mất bao lâu?

  1. AO(n), với n là số từ
  2. BO(L × n)
  3. CO(L), không phụ thuộc số từ được lưu
  4. DO(log n), với n là số từ
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Xóa một nút có hai con khỏi cây tìm kiếm nhị phân thường được thực hiện bằng cách:

  1. AXây lại từ đầu cây con bên dưới nó và chèn lại mọi khóa mà nó chứa
  2. BThay nó bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa (hoặc nút liền trước) rồi xóa nút đó
  3. CXóa cả cây con
  4. DHoán đổi nó với gốc
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
4371034144ABCDEF

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 3; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Nó cứ gọi chính nó cho đến khi ngăn xếp lời gọi bị tràn

Vì sao đây là đáp án

Không có trường hợp cơ sở thì đệ quy không bao giờ dừng; trên thực tế bộ nhớ cho các khung ngăn xếp cạn kiệt và chương trình bị sập.

Đáp số

D · Nó cứ gọi chính nó cho đến khi ngăn xếp lời gọi bị tràn
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Một cây quyết định với n kết quả có thể phải có độ sâu ít nhất log₂ n

Vì sao đây là đáp án

Mỗi phép so sánh nhiều nhất làm giảm một nửa tập các khả năng còn lại, nên để phân biệt n vị trí cần ít nhất log₂ n phép so sánh.

Đáp số

C · Một cây quyết định với n kết quả có thể phải có độ sâu ít nhất log₂ n
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · O(L), không phụ thuộc số từ được lưu

Vì sao đây là đáp án

Mỗi ký tự chọn một con, nên tra cứu mất L bước bất kể trie chứa bao nhiêu từ.

Đáp số

C · O(L), không phụ thuộc số từ được lưu
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Thay nó bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa (hoặc nút liền trước) rồi xóa nút đó

Vì sao đây là đáp án

Nút kế tiếp theo thứ tự giữa có tối đa một con, nên có thể xóa dễ dàng sau khi sao chép khóa của nó vào nút bị xóa.

Đáp số

B · Thay nó bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa (hoặc nút liền trước) rồi xóa nút đó
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: B

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): B: 4, C: 3
2. C (3): E: 6
3. B (4): D: 14
4. E (6): D: 10, F: 20
5. D (10)
6. F (20)

vòng 3

B

Đáp số

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms