Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của thuật toán quy hoạch động chuẩn cho dãy con chung dài nhất của các chuỗi có độ dài m và n là gì?

  1. AO(mn log n)
  2. BO(mn)
  3. CO(m + n)
  4. DO(2m+n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Định nghĩa nào của lớp P là đúng?

  1. ACác bài toán có thể giải song song
  2. BCác bài toán có lời giải kiểm tra được nhưng không bao giờ tìm được trong thời gian đa thức
  3. CCác bài toán cần thời gian hàm mũ trên mọi máy tính
  4. DCác bài toán quyết định giải được bằng thuật toán tất định trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Điều nào đúng với ma trận kề của một đồ thị vô hướng?

  1. AMỗi hàng có đúng một số 1
  2. BĐường chéo chính của nó luôn chứa các số một
  3. CNó luôn là ma trận tam giác trên
  4. DNó đối xứng qua đường chéo chính
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Mảng động nhân đôi khi đầy. Vì sao nhiều cách cài đặt chỉ thu nhỏ nó khi đầy một phần tư, không phải một nửa?

  1. AĐể giữ mảng được sắp xếp
  2. BVì chia đôi ở một nửa sẽ làm mất phần tử
  3. CVì bộ cấp phát bộ nhớ chỉ có thể giải phóng bộ nhớ theo phần tư của một khối
  4. DĐể tránh đổi kích thước liên tục khi push và pop xen kẽ gần ranh giới
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 2 bắt đầu và kết thúc tại E? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · O(mn)

Vì sao đây là đáp án

Bảng có (m + 1)(n + 1) ô và mỗi ô được tính trong O(1) từ các ô lân cận.

Đáp số

B · O(mn)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Các bài toán quyết định giải được bằng thuật toán tất định trong thời gian đa thức

Vì sao đây là đáp án

P gồm các bài toán quyết định có thuật toán tất định thời gian đa thức, như kiểm tra một đồ thị có liên thông hay không.

Đáp số

D · Các bài toán quyết định giải được bằng thuật toán tất định trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Nó đối xứng qua đường chéo chính

Vì sao đây là đáp án

Trong đồ thị vô hướng cạnh {u, v} nghĩa là cả M[u][v] và M[v][u] đều được đặt, nên ma trận bằng chuyển vị của nó.

Đáp số

D · Nó đối xứng qua đường chéo chính
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Để tránh đổi kích thước liên tục khi push và pop xen kẽ gần ranh giới

Vì sao đây là đáp án

Thu nhỏ ở một nửa có thể gây đổi kích thước ở mọi thao tác trong chuỗi như vậy; khoảng cách giữa 1/4 và đầy giữ chi phí khấu hao ở O(1).

Đáp số

D · Để tránh đổi kích thước liên tục khi push và pop xen kẽ gần ranh giới
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 1, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Các đỉnh lẻ

B, E → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 3

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

Đáp số

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms