Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thuật toán Floyd–Warshall tính gì, và nhanh đến mức nào?

  1. AĐường đi ngắn nhất từ một đỉnh nguồn đến mọi đỉnh khác trong O(V + E)
  2. BMột cây khung nhỏ nhất trong O(E log V)
  3. CMột thứ tự tô-pô trong O(V²)
  4. DĐường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong O(V³)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Phát biểu nào về P và NP là đúng?

  1. AMọi bài toán trong P cũng thuộc NP
  2. BĐã được chứng minh rằng P ≠ NP
  3. CCác bài toán NP không thể được kiểm chứng nhanh
  4. DNP có nghĩa là "không đa thức"
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Mục đích của nút lính canh (sentinel, nút giả) trong danh sách liên kết là gì?

  1. AĐơn giản hóa mã bằng cách loại bỏ các trường hợp đặc biệt ở đầu hoặc cuối
  2. BLưu số phần tử
  3. CLàm cho danh sách được sắp xếp
  4. DNgăn danh sách phát triển vượt quá một số nút tối đa cố định
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Tính chất nào mà cây đỏ-đen phải thỏa mãn?

  1. AMọi nút đỏ phải có các con màu đỏ, nên các nút đỏ luôn tạo thành chuỗi liền mạch đến các lá
  2. BGốc phải là đỏ
  3. CMọi đường đi từ một nút đến các lá hậu duệ có cùng số nút đen
  4. DMọi nút phải là đỏ
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 14 đỉnh và 21 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 14|E| = 21
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 2 bắt đầu và kết thúc tại A? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong O(V³)

Vì sao đây là đáp án

Floyd–Warshall là thuật toán quy hoạch động cho phép lần lượt từng đỉnh làm điểm trung gian, dùng thời gian O(V³).

Đáp số

D · Đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong O(V³)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Mọi bài toán trong P cũng thuộc NP

Vì sao đây là đáp án

P ⊆ NP: nếu bạn giải được một bài toán nhanh thì bạn kiểm chứng được một lời giải nhanh. P = NP hay không vẫn là câu hỏi mở.

Đáp số

A · Mọi bài toán trong P cũng thuộc NP
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Đơn giản hóa mã bằng cách loại bỏ các trường hợp đặc biệt ở đầu hoặc cuối

Vì sao đây là đáp án

Với nút lính canh, mọi nút thật đều có nút đứng trước, nên chèn hoặc xóa ở đầu không cần xử lý đặc biệt.

Đáp số

A · Đơn giản hóa mã bằng cách loại bỏ các trường hợp đặc biệt ở đầu hoặc cuối
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Mọi đường đi từ một nút đến các lá hậu duệ có cùng số nút đen

Vì sao đây là đáp án

Quy tắc đỏ-đen: nút là đỏ hoặc đen, gốc đen, nút đỏ có con đen, và mọi đường đi có cùng chiều cao đen, giữ chiều cao ≤ 2 log₂(n + 1).

Đáp số

C · Mọi đường đi từ một nút đến các lá hậu duệ có cùng số nút đen
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 8

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

14 − 1 = 13

Các cạnh cần bỏ

k = 21 − 13 = 8

Đáp số

k = 8
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 1

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)AA = 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 1

Đáp số

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms