Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thuật toán nào tìm đường đi ngắn nhất từ một nguồn trong đồ thị có trọng số cạnh không âm?

  1. AThuật toán Kruskal
  2. BBắt buộc phải dùng Bellman–Ford trong mọi trường hợp
  3. CThuật toán Dijkstra
  4. DTìm kiếm theo chiều sâu
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Kỹ thuật nào cho thời gian chạy kỳ vọng O(n log n) của quicksort trên mọi đầu vào?

  1. AChọn pivot đồng đều ngẫu nhiên
  2. BSắp xếp đầu vào trước khi chạy quicksort
  3. CLuôn chọn phần tử đầu tiên
  4. DChỉ dùng đệ quy ở phía bên trái
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cấu trúc dữ liệu nào được dùng để kiểm tra các dấu ngoặc trong "{[()]}" có cân bằng hay không?

  1. AHàng đợi
  2. BCây tìm kiếm nhị phân
  3. CNgăn xếp
  4. DBảng băm
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Vì sao cơ sở dữ liệu thường dùng cây B+ thay vì cây B thông thường cho chỉ mục?

  1. ACây B+ dùng các nút trong nhị phân, giúp giảm số lần đọc đĩa
  2. BCây B+ chỉ lưu dữ liệu ở gốc
  3. CCây B+ không cần cân bằng
  4. DMọi bản ghi nằm trong các lá được liên kết, giúp quét theo khoảng hiệu quả
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 2 đỉnh bậc 4, 3 đỉnh bậc 5, 3 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

2 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi độ dài 3 từ B đến C? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Thuật toán Dijkstra

Vì sao đây là đáp án

Thuật toán Dijkstra hoạt động với trọng số không âm; Bellman–Ford xử lý được trọng số âm; Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất.

Đáp số

C · Thuật toán Dijkstra
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Chọn pivot đồng đều ngẫu nhiên

Vì sao đây là đáp án

Với pivot ngẫu nhiên, thời gian chạy kỳ vọng là O(n log n) cho mọi đầu vào; các trường hợp xấu vẫn tồn tại nhưng rất khó xảy ra.

Đáp số

A · Chọn pivot đồng đều ngẫu nhiên
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Ngăn xếp

Vì sao đây là đáp án

Đẩy mỗi dấu ngoặc mở vào và lấy ra khi gặp dấu ngoặc đóng; nó phải khớp với dấu ngoặc vừa lấy ra và ngăn xếp phải rỗng ở cuối.

Đáp số

C · Ngăn xếp
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Mọi bản ghi nằm trong các lá được liên kết, giúp quét theo khoảng hiệu quả

Vì sao đây là đáp án

Trong cây B+, các nút trong chỉ dẫn đường tìm kiếm và các lá được liên kết theo thứ tự khóa, nên truy vấn khoảng tìm khóa đầu tiên rồi đi dọc theo các lá.

Đáp số

D · Mọi bản ghi nằm trong các lá được liên kết, giúp quét theo khoảng hiệu quả
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 15

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 29 = 2(L + 8) − 2
L = 15

Đáp số

L = 15

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 6

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Thêm một bước

(M³)BC = 1·1 + 3·1 + 1·0 + 1·0 + 2·1 = 6

Đáp số

N = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms