Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Bạn sắp xếp một mảng n phần tử một lần rồi trả lời k truy vấn thuộc về bằng tìm kiếm nhị phân. Tổng chi phí là bao nhiêu?

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(nk)
  3. CO(n + k)
  4. DO(k n log n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Sự khác biệt giữa một bài toán bất khả quyết định và một bài toán không khả thi (intractable) là gì?

  1. ABài toán bất khả quyết định thuộc NP, còn bài toán không khả thi thuộc P
  2. BBài toán không khả thi không thể giải bằng bất kỳ thuật toán nào, còn bài toán bất khả quyết định chỉ cần thời gian hàm mũ
  3. CBài toán bất khả quyết định không có thuật toán nào cho mọi đầu vào; bài toán không khả thi có thuật toán, nhưng quá chậm
  4. DCả hai đều có nghĩa là bài toán hoàn toàn không có thuật toán
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cây AVL và cây đỏ-đen đảm bảo:

  1. AKhông nút nào có hai con
  2. BTìm kiếm thời gian hằng số trong mọi trường hợp
  3. CCác khóa được lưu theo thứ tự chèn
  4. DChiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Tính chất nào mà cây đỏ-đen phải thỏa mãn?

  1. AGốc phải là đỏ
  2. BMọi nút phải là đỏ
  3. CMọi đường đi từ một nút đến các lá hậu duệ có cùng số nút đen
  4. DMọi nút đỏ phải có các con màu đỏ, nên các nút đỏ luôn tạo thành chuỗi liền mạch đến các lá
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 20 đỉnh và 25 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 20|E| = 25
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
188151112586133ABCDEFG

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(n log n + k log n)

Vì sao đây là đáp án

Sắp xếp tốn O(n log n) và mỗi truy vấn O(log n); cách này thắng k lần quét tuyến tính (O(nk)) khi k lớn.

Đáp số

A · O(n log n + k log n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Bài toán bất khả quyết định không có thuật toán nào cho mọi đầu vào; bài toán không khả thi có thuật toán, nhưng quá chậm

Vì sao đây là đáp án

Bài toán dừng hoàn toàn không có thuật toán; một bài toán NP-khó như TSP có thể giải bằng vét cạn, chỉ là không trong thời gian đa thức đã biết.

Đáp số

C · Bài toán bất khả quyết định không có thuật toán nào cho mọi đầu vào; bài toán không khả thi có thuật toán, nhưng quá chậm
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Chiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại

Vì sao đây là đáp án

Cây tự cân bằng giữ chiều cao ở mức logarit, nên tìm kiếm, chèn và xóa là O(log n) trong trường hợp xấu nhất.

Đáp số

D · Chiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Mọi đường đi từ một nút đến các lá hậu duệ có cùng số nút đen

Vì sao đây là đáp án

Quy tắc đỏ-đen: nút là đỏ hoặc đen, gốc đen, nút đỏ có con đen, và mọi đường đi có cùng chiều cao đen, giữ chiều cao ≤ 2 log₂(n + 1).

Đáp số

C · Mọi đường đi từ một nút đến các lá hậu duệ có cùng số nút đen
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 6

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

20 − 1 = 19

Các cạnh cần bỏ

k = 25 − 19 = 6

Đáp số

k = 6
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 17

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 1
B (1): C: 9, D: 9, G: 9
C (9): E: 24
D (9): E: 20, F: 21
G (9): E: 12
E (12): F: 17
F (17)

Đường đi ngắn nhất

A → B → G → E → F
d(F) = 17

Đáp số

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms