Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Trong một mảng đã sắp xếp, bạn tìm hai phần tử có tổng bằng giá trị đích bằng cách di chuyển một con trỏ từ mỗi đầu vào trong. Độ phức tạp thời gian là bao nhiêu?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Độ phức tạp thời gian của việc xây dựng một đống nhị phân từ n phần tử chưa sắp xếp bằng phương pháp từ dưới lên là gì?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Độ phức tạp thời gian của việc tìm một khóa trong cây tìm kiếm nhị phân cân bằng là bao nhiêu?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n log n)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Bạn phải giữ k giá trị nhỏ nhất từ một luồng n số bằng bộ nhớ O(k). Cách nào chạy trong thời gian O(n log k)?

  1. AMột đống max kích thước k, thay gốc của nó khi có giá trị nhỏ hơn đến
  2. BMột hàng đợi FIFO gồm k giá trị cuối
  3. CMột mảng đã sắp xếp chứa tất cả n giá trị
  4. DMột đống min chứa tất cả n giá trị, từ đó k giá trị nhỏ nhất được lấy ra ở cuối
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 8 đỉnh và 12 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 8|E| = 12
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi độ dài 2 từ A đến B? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Nếu tổng quá nhỏ thì con trỏ trái dịch sang phải, nếu quá lớn thì con trỏ phải dịch sang trái, nên có tối đa n bước.

Đáp số

D · O(n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Cộng chi phí lọc xuống trên các tầng cho một chuỗi hội tụ, nên việc dựng đống chạy trong thời gian tuyến tính.

Đáp số

A · O(n)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Cây cân bằng có chiều cao khoảng log₂ n, nên một lần tìm kiếm đi theo một đường từ gốc đến lá.

Đáp số

B · O(log n)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Một đống max kích thước k, thay gốc của nó khi có giá trị nhỏ hơn đến

Vì sao đây là đáp án

Gốc của đống max là giá trị lớn nhất đang giữ; mọi giá trị mới nhỏ hơn sẽ thay nó trong O(log k), nên đống luôn chứa k giá trị nhỏ nhất cho đến hiện tại.

Đáp số

A · Một đống max kích thước k, thay gốc của nó khi có giá trị nhỏ hơn đến
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 5

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

8 − 1 = 7

Các cạnh cần bỏ

k = 12 − 7 = 5

Đáp số

k = 5
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 1

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)AB = 0·1 + 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 0·0 = 1

Đáp số

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms