Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Công thức truy hồi T(n) = 2T(n − 1) + O(1) có nghiệm là gì?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Bài toán người bán hàng rong được phân loại thế nào?

  1. ANó bất khả quyết định
  2. BPhiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó
  3. CPhiên bản quyết định thuộc P nhưng phiên bản tối ưu hóa là NP-đầy đủ
  4. DNó thuộc P vì thuật toán Dijkstra giải được nó bằng cách thăm mỗi thành phố một lần
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Điều gì xảy ra khi bảng băm băm lại (rehash) sau khi hệ số tải vượt ngưỡng?

  1. AMột bảng lớn hơn được cấp phát và mọi khóa được chèn lại
  2. BCác khóa hiện có được sắp xếp tại chỗ
  3. CCác khóa cũ nhất bị xóa để lấy chỗ
  4. DChỉ các khóa va chạm được chuyển sang một danh sách tràn mới ở cuối bảng
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Trong bảng băm dùng địa chỉ mở, vì sao việc xóa thường được thực hiện bằng dấu "tombstone"?

  1. ACác khóa đã xóa phải được giữ mãi vì lý do bảo mật, nên các ô không bao giờ được tái sử dụng
  2. BNó làm bảng được sắp xếp
  3. CTombstone làm băm nhanh hơn
  4. DLàm trống ô có thể phá vỡ chuỗi dò của các khóa khác
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 18 đỉnh và 25 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 18|E| = 25
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
591913201211611ABCDEF

Thuật toán Kruskal xây dựng một cây khung nhỏ nhất. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 4; các cạnh bị bỏ qua không được tính.

k = 4
  1. 1cạnh AB
  2. 2cạnh AC
  3. 3cạnh BC
  4. 4cạnh BD
  5. 5cạnh CE
  6. 6cạnh DE
  7. 7cạnh DF
  8. 8cạnh EF
  9. 9cạnh BE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · O(2ⁿ)

Vì sao đây là đáp án

Số lời gọi nhân đôi theo mỗi tầng và có n tầng, nên tổng khoảng 2ⁿ, như trong bài Tháp Hà Nội.

Đáp số

C · O(2ⁿ)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Phiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó

Vì sao đây là đáp án

"Có hành trình nào dài tối đa k không?" là NP-đầy đủ; tìm hành trình ngắn nhất là NP-khó, vì ít nhất cũng khó bằng.

Đáp số

B · Phiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Một bảng lớn hơn được cấp phát và mọi khóa được chèn lại

Vì sao đây là đáp án

Vì chỉ số được tính theo modulo kích thước bảng, mọi khóa phải được băm lại vào bảng mới lớn hơn; với việc nhân đôi, chi phí khấu hao vẫn là O(1).

Đáp số

A · Một bảng lớn hơn được cấp phát và mọi khóa được chèn lại
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Làm trống ô có thể phá vỡ chuỗi dò của các khóa khác

Vì sao đây là đáp án

Nếu ô đã xóa trở thành trống, các lần tìm sau có thể dừng sớm và bỏ sót những khóa được đặt xa hơn trên chuỗi dò.

Đáp số

D · Làm trống ô có thể phá vỡ chuỗi dò của các khóa khác
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 8

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

18 − 1 = 17

Các cạnh cần bỏ

k = 25 − 17 = 8

Đáp số

k = 8
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh BE

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

1. DF (1)
2. AB (5)
3. AC (9)
4. BE (11)
5. DE (12)

cạnh số 4

BE

Đáp số

cạnh BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms