Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Tìm kiếm theo chiều rộng trên một đồ thị không trọng số tìm ra:

  1. AĐường đi ngắn nhất trong đồ thị có chứa các cạnh với trọng số âm
  2. BCây khung nhỏ nhất
  3. CThứ tự tô-pô trong mọi đồ thị
  4. DĐường đi ngắn nhất tính theo số cạnh từ nút xuất phát
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Thuật toán nào tìm cây khung nhỏ nhất bằng cách liên tục thêm cạnh rẻ nhất không tạo chu trình?

  1. AThuật toán Dijkstra
  2. BThuật toán Prim bắt đầu từ một nút
  3. CThuật toán Kruskal
  4. DFloyd–Warshall
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một phần tử mới được chèn vào đống nhị phân như thế nào?

  1. AĐặt nó ở cuối mảng và đẩy lên trong khi nó vi phạm tính chất đống
  2. BChèn nó vào vị trí đã sắp bằng cách dịch tất cả các phần tử lớn hơn sang phải một vị trí
  3. CĐặt nó ở gốc và đẩy xuống
  4. DXây lại toàn bộ đống từ đầu
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Băm kép chủ yếu giảm vấn đề nào của dò tuyến tính?

  1. AChi phí O(n) để đọc giá trị của một khóa
  2. BNhu cầu có hàm băm
  3. CHiện tượng gom cụm sơ cấp, khi các dãy ô bị chiếm dài ra
  4. DNhu cầu lưu khóa trong bảng
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 3 đỉnh bậc 3, 2 đỉnh bậc 4, 3 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

3 × deg 32 × deg 43 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
761518151910179ABCDEFG

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Đường đi ngắn nhất tính theo số cạnh từ nút xuất phát

Vì sao đây là đáp án

BFS thăm các nút theo thứ tự khoảng cách (số cạnh) từ nguồn, nên tìm được đường đi ngắn nhất không trọng số trong O(V + E).

Đáp số

D · Đường đi ngắn nhất tính theo số cạnh từ nút xuất phát
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Thuật toán Kruskal

Vì sao đây là đáp án

Kruskal sắp xếp các cạnh theo trọng số và thêm chúng nếu chúng nối các thành phần khác nhau; Prim phát triển một cây từ đỉnh xuất phát.

Đáp số

C · Thuật toán Kruskal
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Đặt nó ở cuối mảng và đẩy lên trong khi nó vi phạm tính chất đống

Vì sao đây là đáp án

Thêm ở cuối giữ cây đầy đủ; hoán đổi với cha khôi phục thứ tự trong O(log n) bước.

Đáp số

A · Đặt nó ở cuối mảng và đẩy lên trong khi nó vi phạm tính chất đống
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Hiện tượng gom cụm sơ cấp, khi các dãy ô bị chiếm dài ra

Vì sao đây là đáp án

Dò tuyến tính bước từng 1, nên các dãy bị chiếm lớn dần và nhập lại; băm kép dùng một hàm băm thứ hai cho bước nhảy để các khóa khác nhau dò theo các chuỗi khác nhau.

Đáp số

C · Hiện tượng gom cụm sơ cấp, khi các dãy ô bị chiếm dài ra
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 9

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 23 = 2(L + 8) − 2
L = 9

Đáp số

L = 9

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 43

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

BD (1): lấy
DE (5): lấy
AC (6): lấy
AB (7): lấy
GE (9): lấy
GC (10): bỏ qua, tạo chu trình
EF (15): lấy

Tổng trọng số

W = 1 + 5 + 6 + 7 + 9 + 15 = 43

Đáp số

W = 43

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms