Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thuật toán Floyd–Warshall tính gì, và nhanh đến mức nào?

  1. AĐường đi ngắn nhất từ một đỉnh nguồn đến mọi đỉnh khác trong O(V + E)
  2. BMột thứ tự tô-pô trong O(V²)
  3. CMột cây khung nhỏ nhất trong O(E log V)
  4. DĐường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong O(V³)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Vì sao tra cứu trung bình trong bảng băm là O(1) nhưng trường hợp xấu nhất là O(n)?

  1. AMảng có truy cập O(n)
  2. BCác khóa phải được sắp xếp trước
  3. CNhiều khóa có thể va chạm vào cùng một ngăn
  4. DHàm băm chậm
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Thuật toán Dijkstra dùng kiểu dữ liệu trừu tượng nào để chọn đỉnh kế tiếp cần xử lý?

  1. AHàng đợi ưu tiên min
  2. BMột tập không có thứ tự
  3. CNgăn xếp
  4. DHàng đợi FIFO
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây đoạn (segment tree) thường được dùng để:

  1. ATrả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)
  2. BCài đặt ngăn xếp
  3. CLưu các cạnh của đồ thị
  4. DSắp xếp chuỗi theo bảng chữ cái bằng cách lưu mỗi tiền tố trong một nút cây riêng
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 6|E| = 9
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
123111416124ABCDEF

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 5; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong O(V³)

Vì sao đây là đáp án

Floyd–Warshall là thuật toán quy hoạch động cho phép lần lượt từng đỉnh làm điểm trung gian, dùng thời gian O(V³).

Đáp số

D · Đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong O(V³)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Nhiều khóa có thể va chạm vào cùng một ngăn

Vì sao đây là đáp án

Với hàm băm tốt và hệ số tải hợp lý, các ngăn vẫn ngắn trung bình; băm kém hoặc bị tấn công có thể đưa mọi khóa vào một ngăn.

Đáp số

C · Nhiều khóa có thể va chạm vào cùng một ngăn
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Hàng đợi ưu tiên min

Vì sao đây là đáp án

Hàng đợi ưu tiên min, thường là đống nhị phân, trả về hiệu quả đỉnh chưa thăm có khoảng cách nhỏ nhất.

Đáp số

A · Hàng đợi ưu tiên min
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Trả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Cây đoạn lưu các giá trị tổng hợp cho các khoảng, hỗ trợ truy vấn khoảng và cập nhật điểm trong thời gian O(log n).

Đáp số

A · Trả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Các đỉnh lẻ

C, D → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: D

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): B: 12
2. B (12): C: 15, D: 23, E: 16
3. C (15)
4. E (16): D: 17, F: 28
5. D (17): F: 23
6. F (23)

vòng 5

D

Đáp số

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms