Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Quicksort luôn dùng phần tử đầu tiên làm pivot. Trên đầu vào nào nó thể hiện hành vi xấu nhất?

  1. AMột mảng đã được sắp xếp
  2. BMột mảng có thứ tự ngẫu nhiên
  3. CMột mảng có độ dài 2
  4. DMột mảng mà các phần tử đều khác nhau
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Thuật toán Bellman–Ford phát hiện chu trình trọng số âm có thể đến được từ nguồn bằng cách nào?

  1. ASau V − 1 vòng, nó kiểm tra xem có cạnh nào vẫn có thể được nới lỏng không
  2. BNó đếm các chu trình bằng tìm kiếm theo chiều sâu
  3. CNó chạy thuật toán Dijkstra hai lần và so sánh hai kết quả khoảng cách
  4. DNó kiểm tra xem có cạnh nào có trọng số âm không
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một ứng dụng cần tra cứu nhanh, đồng thời cần liệt kê khóa theo thứ tự đã sắp và trả lời các truy vấn khoảng. Cấu trúc nào phù hợp nhất?

  1. ACây tìm kiếm nhị phân cân bằng
  2. BNgăn xếp
  3. CDanh sách liên kết không sắp xếp
  4. DBảng băm
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Để bảng băm hoạt động đúng, băm và so sánh bằng phải tuân theo quy tắc nào?

  1. ACác khóa khác nhau phải có giá trị băm khác nhau
  2. BGiá trị băm bằng nhau suy ra khóa bằng nhau
  3. CGiá trị băm phải là số nguyên tố
  4. DCác khóa bằng nhau phải có giá trị băm bằng nhau
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 4 đỉnh bậc 4, 3 đỉnh bậc 5, 3 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

4 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
784143899ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Một mảng đã được sắp xếp

Vì sao đây là đáp án

Trên đầu vào đã sắp xếp, pivot luôn là giá trị nhỏ nhất, nên một bên rỗng và bên kia có n − 1 phần tử, cho O(n²).

Đáp số

A · Một mảng đã được sắp xếp
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Sau V − 1 vòng, nó kiểm tra xem có cạnh nào vẫn có thể được nới lỏng không

Vì sao đây là đáp án

Mọi khoảng cách ngắn nhất thực sự được tìm thấy trong V − 1 vòng; nếu một cạnh vẫn có thể được cải thiện thì phải tồn tại chu trình âm.

Đáp số

A · Sau V − 1 vòng, nó kiểm tra xem có cạnh nào vẫn có thể được nới lỏng không
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Cây tìm kiếm nhị phân cân bằng

Vì sao đây là đáp án

BST cân bằng cho tra cứu O(log n) và giữ khóa có thứ tự, nên duyệt thứ tự giữa và truy vấn khoảng dễ dàng; bảng băm rải khóa ngẫu nhiên.

Đáp số

A · Cây tìm kiếm nhị phân cân bằng
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Các khóa bằng nhau phải có giá trị băm bằng nhau

Vì sao đây là đáp án

Nếu hai khóa bằng nhau băm khác nhau, chúng sẽ được lưu ở các ngăn khác nhau và tra cứu sẽ thất bại; các khóa không bằng nhau vẫn có thể chung giá trị băm.

Đáp số

D · Các khóa bằng nhau phải có giá trị băm bằng nhau
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 19

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 37 = 2(L + 10) − 2
L = 19

Đáp số

L = 19

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 19

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 7
B (7): C: 15, D: 11, E: 16
D (11): E: 14, F: 19
E (14)
C (15)
F (19)

Đường đi ngắn nhất

A → B → D → F
d(F) = 19

Đáp số

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms