Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Công thức truy hồi T(n) = 2T(n/2) + O(1) có nghiệm là gì?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Lấy cả hai đầu mút của mọi cạnh trong một cặp ghép cực đại cho ta một phủ đỉnh. Phủ này tốt đến mức nào?

  1. AKhông rõ chất lượng so với tối ưu
  2. BCó kích thước tối đa gấp đôi phủ đỉnh nhỏ nhất
  3. CLuôn là một phủ đỉnh nhỏ nhất
  4. DTối đa log n lần giá trị nhỏ nhất
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cây AVL duy trì điều kiện cân bằng nào tại mọi nút?

  1. ACả hai cây con của mọi nút chứa đúng cùng số nút
  2. BMỗi nút được tô đỏ hoặc đen
  3. CMọi lá ở cùng một độ sâu chính xác
  4. DChiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cặp phép duyệt nào luôn xác định duy nhất một cây nhị phân có các khóa phân biệt?

  1. AChỉ thứ tự trước
  2. BThứ tự trước và thứ tự giữa
  3. CThứ tự trước và thứ tự sau
  4. DChỉ duyệt theo mức
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
31411315161019ABCDEF

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Theo định lý chủ, nlog₂ 2 = n chiếm ưu thế so với công việc hằng số, nên T(n) = Θ(n), như khi tìm giá trị lớn nhất bằng cách chia đôi.

Đáp số

A · O(n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Có kích thước tối đa gấp đôi phủ đỉnh nhỏ nhất

Vì sao đây là đáp án

Các cạnh của cặp ghép không có đỉnh chung, nên phương án tối ưu cần ít nhất một đỉnh cho mỗi cạnh, trong khi phương pháp này lấy hai: một xấp xỉ hệ số 2.

Đáp số

B · Có kích thước tối đa gấp đôi phủ đỉnh nhỏ nhất
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Chiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1

Vì sao đây là đáp án

Hệ số cân bằng (chiều cao trái − chiều cao phải) phải là −1, 0 hoặc 1; các phép xoay khôi phục nó sau khi chèn và xóa.

Đáp số

D · Chiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Thứ tự trước và thứ tự giữa

Vì sao đây là đáp án

Preorder cho gốc, và vị trí của nó trong dãy inorder chia cây con trái và phải; preorder với postorder không rõ ràng khi một nút có một con.

Đáp số

B · Thứ tự trước và thứ tự giữa
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 42

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

BC (1): lấy
AB (3): lấy
DF (10): lấy
BD (13): lấy
AC (14): bỏ qua, tạo chu trình
CE (15): lấy

Tổng trọng số

W = 1 + 3 + 10 + 13 + 15 = 42

Đáp số

W = 42

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms