Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Một bài toán có cấu trúc con tối ưu nghĩa là gì?

  1. AMọi bài toán con đều có cùng kích thước
  2. BBài toán có đúng một lời giải tối ưu, và mọi bài toán con đều dùng chung lời giải đó
  3. CBài toán có thể giải trong thời gian hằng số
  4. DMột lời giải tối ưu có thể được xây dựng từ các lời giải tối ưu của các bài toán con
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Đường đi đơn ngắn nhất có thể tìm trong thời gian đa thức. Điều gì được biết về việc tìm đường đi đơn dài nhất giữa hai đỉnh trong đồ thị tổng quát?

  1. ANó có thể giải bằng thuật toán Dijkstra với trọng số đổi dấu
  2. BNó luôn giải được trong O(V + E)
  3. CNó bất khả quyết định
  4. DNó là NP-khó
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Độ phức tạp thời gian của việc tìm một khóa trong cây tìm kiếm nhị phân cân bằng là bao nhiêu?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(n log n)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Độ phức tạp thời gian của decrease-key trong đống nhị phân (biết vị trí phần tử) là:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1011181912294155ABCDEFG

Thuật toán Kruskal xây dựng một cây khung nhỏ nhất. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 3; các cạnh bị bỏ qua không được tính.

k = 3
  1. 1cạnh AB
  2. 2cạnh BC
  3. 3cạnh BD
  4. 4cạnh CE
  5. 5cạnh DE
  6. 6cạnh DF
  7. 7cạnh EF
  8. 8cạnh GB
  9. 9cạnh GD
  10. 10cạnh GE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Một lời giải tối ưu có thể được xây dựng từ các lời giải tối ưu của các bài toán con

Vì sao đây là đáp án

Cấu trúc con tối ưu là điều kiện cần để cả thuật toán tham lam lẫn quy hoạch động cho đáp án đúng.

Đáp số

D · Một lời giải tối ưu có thể được xây dựng từ các lời giải tối ưu của các bài toán con
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Nó là NP-khó

Vì sao đây là đáp án

Một đường đi đơn dài nhất có độ dài V − 1 là một đường đi Hamilton, một bài toán NP-đầy đủ; tuy nhiên, trên đồ thị có hướng không chu trình, nó giải được trong thời gian tuyến tính.

Đáp số

D · Nó là NP-khó
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Cây cân bằng có chiều cao khoảng log₂ n, nên một lần tìm kiếm đi theo một đường từ gốc đến lá.

Đáp số

A · O(log n)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Sau khi giảm khóa, phần tử được đẩy lên nhiều nhất bằng chiều cao của đống. Đống Fibonacci đạt decrease-key khấu hao O(1).

Đáp số

D · O(log n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Các đỉnh lẻ

A, C → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh GE

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

1. DF (2)
2. GB (4)
3. GE (5)
4. EF (9)
5. AB (10)
6. BC (11)

cạnh số 3

GE

Đáp số

cạnh GE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms