Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Công thức truy hồi T(n) = 2T(n − 1) + O(1) có nghiệm là gì?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Phải chứng minh hai điều nào để chứng tỏ một bài toán quyết định X là NP-đầy đủ?

  1. AX không có thuật toán đa thức, và X quyết định được
  2. BX quy dẫn về một bài toán trong P, và X thuộc NP
  3. CX thuộc NP, và một bài toán NP-đầy đủ đã biết quy dẫn về X trong thời gian đa thức
  4. DX thuộc P, và X quy dẫn về SAT
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Chiều cao trong trường hợp xấu nhất của cây tìm kiếm nhị phân có n nút là bao nhiêu nếu các khóa được chèn theo thứ tự đã sắp xếp?

  1. A1
  2. B√n
  3. Clog₂ n
  4. Dn (nó trở thành danh sách liên kết)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Phát biểu nào về heapsort là đúng?

  1. ANó chạy trong thời gian O(n) với mọi đầu vào
  2. BNó ổn định và cần O(n) bộ nhớ thêm
  3. CNó cần một cây tìm kiếm nhị phân làm bộ nhớ phụ, nên dùng thêm O(n) bộ nhớ
  4. DNó sắp xếp tại chỗ trong thời gian O(n log n) trường hợp xấu nhất nhưng không ổn định
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K6 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K6
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
4121310111446ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · O(2ⁿ)

Vì sao đây là đáp án

Số lời gọi nhân đôi theo mỗi tầng và có n tầng, nên tổng khoảng 2ⁿ, như trong bài Tháp Hà Nội.

Đáp số

C · O(2ⁿ)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · X thuộc NP, và một bài toán NP-đầy đủ đã biết quy dẫn về X trong thời gian đa thức

Vì sao đây là đáp án

Việc thuộc NP cho thấy X không khó hơn NP; phép quy dẫn từ một bài toán NP-đầy đủ đã biết cho thấy X khó ít nhất bằng toàn bộ NP.

Đáp số

C · X thuộc NP, và một bài toán NP-đầy đủ đã biết quy dẫn về X trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · n (nó trở thành danh sách liên kết)

Vì sao đây là đáp án

Chèn theo thứ tự đã sắp tạo ra cây suy biến có chiều cao n, khiến tìm kiếm tốn O(n). Cây cân bằng ngăn điều này.

Đáp số

D · n (nó trở thành danh sách liên kết)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Nó sắp xếp tại chỗ trong thời gian O(n log n) trường hợp xấu nhất nhưng không ổn định

Vì sao đây là đáp án

Heapsort xây một đống max và lấy giá trị lớn nhất n lần ngay trong cùng mảng; các hoán đổi ở khoảng cách xa có thể làm đổi thứ tự các khóa bằng nhau.

Đáp số

D · Nó sắp xếp tại chỗ trong thời gian O(n log n) trường hợp xấu nhất nhưng không ổn định
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 60

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Đáp số

H = 60
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 14

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 4, C: 12
B (4): E: 10
E (10): D: 21, F: 14
C (12)
F (14)
D (21)

Đường đi ngắn nhất

A → B → E → F
d(F) = 14

Đáp số

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms