Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Công thức truy hồi T(n) = T(n − 1) + O(n) có nghiệm là gì?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Phát biểu nào về ký hiệu little-o là đúng?

  1. An² = o(n)
  2. Bn = o(n), vì mọi hàm đều là little-o của chính nó
  3. Cn = o(n²), nhưng n không phải o(n)
  4. D2n = o(n), vì 2n tăng chậm
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một hàng đợi được cài đặt bằng hai ngăn xếp: đẩy vào ngăn xếp "vào", và lấy ra từ ngăn xếp "ra", nạp lại từ "vào" khi nó rỗng. Chi phí khấu hao mỗi thao tác là bao nhiêu?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Băm kép chủ yếu giảm vấn đề nào của dò tuyến tính?

  1. AHiện tượng gom cụm sơ cấp, khi các dãy ô bị chiếm dài ra
  2. BNhu cầu lưu khóa trong bảng
  3. CNhu cầu có hàm băm
  4. DChi phí O(n) để đọc giá trị của một khóa
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
571211112133112ABCDEFG

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(n²)

Vì sao đây là đáp án

Công việc cộng lại xấp xỉ n² / 2, đó là công thức truy hồi của sắp xếp chọn hoặc của quicksort với pivot tệ nhất.

Đáp số

D · O(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · n = o(n²), nhưng n không phải o(n)

Vì sao đây là đáp án

f = o(g) nghĩa là f(n) / g(n) tiến về 0; n / n² tiến về 0, nhưng n / n = 1 thì không.

Đáp số

C · n = o(n²), nhưng n không phải o(n)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · O(1)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi phần tử được đẩy và lấy ra tối đa hai lần tổng cộng, nên dù một lần nạp lại có thể tốn O(n), trung bình trên một chuỗi thao tác là O(1).

Đáp số

D · O(1)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Hiện tượng gom cụm sơ cấp, khi các dãy ô bị chiếm dài ra

Vì sao đây là đáp án

Dò tuyến tính bước từng 1, nên các dãy bị chiếm lớn dần và nhập lại; băm kép dùng một hàm băm thứ hai cho bước nhảy để các khóa khác nhau dò theo các chuỗi khác nhau.

Đáp số

A · Hiện tượng gom cụm sơ cấp, khi các dãy ô bị chiếm dài ra
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Các đỉnh lẻ

C, E → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 18

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 5, C: 7
B (5): D: 6
D (6): E: 7, F: 18, G: 7
C (7)
E (7)
G (7)
F (18)

Đường đi ngắn nhất

A → B → D → F
d(F) = 18

Đáp số

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms