Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Với các đồng xu 1, 3 và 4 và số tiền 6, phương pháp tham lam "đồng lớn nhất trước" dùng bao nhiêu đồng, so với tối ưu?

  1. ATham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
  2. BTham lam dùng 4 đồng; tối ưu là 3
  3. CTham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 3
  4. DTham lam dùng 2 đồng; tối ưu là 2
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Định lý Cook–Levin đã thiết lập điều gì?

  1. ABài toán thỏa mãn Boole (SAT) là NP-đầy đủ
  2. BMọi bài toán NP đều giải được trong thời gian hàm mũ
  3. CBài toán dừng là bất khả quyết định
  4. DP không bằng NP
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cây AVL duy trì điều kiện cân bằng nào tại mọi nút?

  1. ACả hai cây con của mọi nút chứa đúng cùng số nút
  2. BMọi lá ở cùng một độ sâu chính xác
  3. CMỗi nút được tô đỏ hoặc đen
  4. DChiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Nếu không có hợp theo hạng hay nén đường đi, chi phí trường hợp xấu nhất của một lần find trong cấu trúc union-find với n phần tử là bao nhiêu?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(α(n))
  4. DO(log n)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 2 đỉnh bậc 5, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

2 × deg 5
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1410161351313ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Tham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2

Vì sao đây là đáp án

Tham lam lấy 4 + 1 + 1 = 3 đồng, nhưng 3 + 3 chỉ dùng 2, nên tham lam không tối ưu cho hệ đồng xu này; quy hoạch động thì tối ưu.

Đáp số

A · Tham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Bài toán thỏa mãn Boole (SAT) là NP-đầy đủ

Vì sao đây là đáp án

Cook và Levin độc lập chỉ ra rằng mọi bài toán trong NP đều quy dẫn về SAT trong thời gian đa thức, nên SAT là bài toán NP-đầy đủ đầu tiên được biết.

Đáp số

A · Bài toán thỏa mãn Boole (SAT) là NP-đầy đủ
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Chiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1

Vì sao đây là đáp án

Hệ số cân bằng (chiều cao trái − chiều cao phải) phải là −1, 0 hoặc 1; các phép xoay khôi phục nó sau khi chèn và xóa.

Đáp số

D · Chiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Phép hợp ngây thơ có thể nối các cây thành một chuỗi dài, nên find có thể đi theo n − 1 con trỏ cha; hai heuristic đưa nó gần hằng số.

Đáp số

A · O(n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 8

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 10 = 2(L + 2) − 2
L = 8

Đáp số

L = 8

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 22

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 14, C: 10
C (10): B: 11
B (11): D: 17, E: 24
D (17): F: 22
F (22)
E (24)

Đường đi ngắn nhất

A → C → B → D → F
d(F) = 22

Đáp số

d(F) = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms