Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Quy hoạch động hữu ích khi một bài toán có:

  1. AChỉ các đầu vào ngẫu nhiên
  2. BHoàn toàn không có bài toán con, nên có thể giải trong một bước
  3. CMột vòng lặp duy nhất
  4. DCác bài toán con chồng lặp và cấu trúc con tối ưu
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Thuật toán nào tìm cây khung nhỏ nhất bằng cách liên tục thêm cạnh rẻ nhất không tạo chu trình?

  1. AThuật toán Prim bắt đầu từ một nút
  2. BThuật toán Dijkstra
  3. CFloyd–Warshall
  4. DThuật toán Kruskal
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cây AVL và cây đỏ-đen đảm bảo:

  1. ATìm kiếm thời gian hằng số trong mọi trường hợp
  2. BKhông nút nào có hai con
  3. CCác khóa được lưu theo thứ tự chèn
  4. DChiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Thuật toán Kahn cho sắp xếp tô-pô liên tục loại bỏ các đỉnh có bậc vào 0. Cấu trúc nào chứa các đỉnh đó?

  1. AMột đống max sắp theo bậc ra
  2. BMột ma trận kề ghi lại những đỉnh đã bị loại
  3. CMột hàng đợi (hoặc bất kỳ tập hợp nào) các đỉnh có bậc vào 0
  4. DMột ngăn xếp gồm mọi cạnh đã thăm
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFGChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
615251410143348ABCDEFG

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 5; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Các bài toán con chồng lặp và cấu trúc con tối ưu

Vì sao đây là đáp án

Lưu kết quả của các bài toán con chồng lặp (ghi nhớ hoặc lập bảng) tránh công việc lặp lại, biến các thuật toán hàm mũ thành đa thức.

Đáp số

D · Các bài toán con chồng lặp và cấu trúc con tối ưu
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Thuật toán Kruskal

Vì sao đây là đáp án

Kruskal sắp xếp các cạnh theo trọng số và thêm chúng nếu chúng nối các thành phần khác nhau; Prim phát triển một cây từ đỉnh xuất phát.

Đáp số

D · Thuật toán Kruskal
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Chiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại

Vì sao đây là đáp án

Cây tự cân bằng giữ chiều cao ở mức logarit, nên tìm kiếm, chèn và xóa là O(log n) trong trường hợp xấu nhất.

Đáp số

D · Chiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Một hàng đợi (hoặc bất kỳ tập hợp nào) các đỉnh có bậc vào 0

Vì sao đây là đáp án

Các đỉnh sẵn sàng được giữ trong hàng đợi; loại một đỉnh làm giảm bậc vào của các láng giềng, và đỉnh nào đạt 0 được thêm vào, cho thời gian O(V + E).

Đáp số

C · Một hàng đợi (hoặc bất kỳ tập hợp nào) các đỉnh có bậc vào 0
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: không phải cả hai

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Các đỉnh lẻ

C, D, E, G → 4
không phải cả hai

Đáp số

không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: B

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): C: 6
2. C (6): B: 21, E: 11, G: 9
3. G (9): B: 12, D: 13
4. E (11): F: 25
5. B (12)
6. D (13): F: 23
7. F (23)

vòng 5

B

Đáp số

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms