Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của: for i = 1 to n: for j = 1 to i: thực hiện công việc O(1) là gì?

  1. AO(n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Bài toán cái túi 0/1 giải bằng quy hoạch động mất thời gian O(nW). Vì sao điều này được gọi là giả đa thức?

  1. AW là một giá trị số, nên thời gian là hàm mũ theo số bit dùng để viết W
  2. BVì thuật toán là ngẫu nhiên và thời gian chạy thay đổi theo từng đầu vào
  3. CVì nó chỉ hoạt động khi W = 0
  4. DVì n luôn nhỏ
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Vì sao đống nhị phân có thể lưu trong mảng mà không cần con trỏ?

  1. AMảng tự động giữ các khóa theo thứ tự đã sắp, nên không cần con trỏ
  2. BMọi khóa trong đống đều bằng nhau
  3. CNó là cây nhị phân đầy đủ, nên các vị trí tuân theo công thức chỉ số đơn giản
  4. DĐống không bao giờ chứa quá 100 phần tử
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Bạn phải giữ k giá trị nhỏ nhất từ một luồng n số bằng bộ nhớ O(k). Cách nào chạy trong thời gian O(n log k)?

  1. AMột đống max kích thước k, thay gốc của nó khi có giá trị nhỏ hơn đến
  2. BMột mảng đã sắp xếp chứa tất cả n giá trị
  3. CMột đống min chứa tất cả n giá trị, từ đó k giá trị nhỏ nhất được lấy ra ở cuối
  4. DMột hàng đợi FIFO gồm k giá trị cuối
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFGChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1016515213124ABCDEF

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(n²)

Vì sao đây là đáp án

Thân vòng lặp trong chạy tổng cộng n(n + 1) / 2 lần, vẫn là bậc hai.

Đáp số

D · O(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · W là một giá trị số, nên thời gian là hàm mũ theo số bit dùng để viết W

Vì sao đây là đáp án

Thời gian chạy là đa thức theo giá trị của W nhưng là hàm mũ theo độ dài của nó (log W bit); bài toán cái túi 0/1 là NP-đầy đủ.

Đáp số

A · W là một giá trị số, nên thời gian là hàm mũ theo số bit dùng để viết W
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Nó là cây nhị phân đầy đủ, nên các vị trí tuân theo công thức chỉ số đơn giản

Vì sao đây là đáp án

Tính đầy đủ nghĩa là không có khoảng trống, nên các con của chỉ số i luôn ở 2i + 1 và 2i + 2.

Đáp số

C · Nó là cây nhị phân đầy đủ, nên các vị trí tuân theo công thức chỉ số đơn giản
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Một đống max kích thước k, thay gốc của nó khi có giá trị nhỏ hơn đến

Vì sao đây là đáp án

Gốc của đống max là giá trị lớn nhất đang giữ; mọi giá trị mới nhỏ hơn sẽ thay nó trong O(log k), nên đống luôn chứa k giá trị nhỏ nhất cho đến hiện tại.

Đáp số

A · Một đống max kích thước k, thay gốc của nó khi có giá trị nhỏ hơn đến
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Các đỉnh lẻ

C, G → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 41

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

CE (2): lấy
BE (4): lấy
BC (5): bỏ qua, tạo chu trình
AB (10): lấy
EF (12): lấy
DF (13): lấy

Tổng trọng số

W = 2 + 4 + 10 + 12 + 13 = 41

Đáp số

W = 41

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms