Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Phân tích khấu hao đo lường điều gì?

  1. AChi phí trung bình mỗi thao tác trên một chuỗi thao tác xấu nhất
  2. BChi phí của thao tác đơn lẻ tốn kém nhất ở bất kỳ đâu trong chuỗi
  3. CChi phí kỳ vọng trên các đầu vào ngẫu nhiên
  4. DChi phí của một thuật toán trên đầu vào tốt nhất
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Phát biểu nào về việc chọn phần tử nhỏ thứ k của một mảng chưa sắp xếp là đúng?

  1. AViệc chọn luôn cần Ω(n log n) vì nó đòi hỏi sắp xếp
  2. BQuickselect chạy trong thời gian kỳ vọng O(n), và trung vị của các trung vị đảm bảo O(n) trong trường hợp xấu nhất
  3. CQuickselect chạy trong O(log n) ở trường hợp xấu nhất, vì nó chỉ đệ quy một phía của phần tử chốt
  4. DViệc chọn chỉ có thể thực hiện trong O(n²)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một mạng lưới đường có 100,000 giao lộ, mỗi giao lộ nối với khoảng 4 giao lộ khác. Cách biểu diễn nào phù hợp nhất?

  1. ADanh sách kề
  2. BMột đống nhị phân các cạnh
  3. CMột mảng đỉnh đã sắp xếp đơn lẻ
  4. DMa trận kề
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Mảng động nhân đôi khi đầy. Vì sao nhiều cách cài đặt chỉ thu nhỏ nó khi đầy một phần tư, không phải một nửa?

  1. AĐể tránh đổi kích thước liên tục khi push và pop xen kẽ gần ranh giới
  2. BVì chia đôi ở một nửa sẽ làm mất phần tử
  3. CVì bộ cấp phát bộ nhớ chỉ có thể giải phóng bộ nhớ theo phần tư của một khối
  4. DĐể giữ mảng được sắp xếp
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 2 bắt đầu và kết thúc tại D? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Chi phí trung bình mỗi thao tác trên một chuỗi thao tác xấu nhất

Vì sao đây là đáp án

Phân tích khấu hao trải chi phí của các thao tác tốn kém hiếm gặp lên nhiều thao tác rẻ, cho một mức trung bình được đảm bảo với mọi chuỗi thao tác.

Đáp số

A · Chi phí trung bình mỗi thao tác trên một chuỗi thao tác xấu nhất
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Quickselect chạy trong thời gian kỳ vọng O(n), và trung vị của các trung vị đảm bảo O(n) trong trường hợp xấu nhất

Vì sao đây là đáp án

Công việc kỳ vọng của Quickselect là n + n/2 + n/4 + ... = O(n) với pivot ngẫu nhiên; chọn pivot là trung vị của các trung vị làm trường hợp xấu nhất tuyến tính.

Đáp số

B · Quickselect chạy trong thời gian kỳ vọng O(n), và trung vị của các trung vị đảm bảo O(n) trong trường hợp xấu nhất
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Danh sách kề

Vì sao đây là đáp án

Ma trận sẽ cần 1010 ô, gần như đều trống; danh sách kề chỉ lưu khoảng 400,000 mục cạnh.

Đáp số

A · Danh sách kề
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Để tránh đổi kích thước liên tục khi push và pop xen kẽ gần ranh giới

Vì sao đây là đáp án

Thu nhỏ ở một nửa có thể gây đổi kích thước ở mọi thao tác trong chuỗi như vậy; khoảng cách giữa 1/4 và đầy giữ chi phí khấu hao ở O(1).

Đáp số

A · Để tránh đổi kích thước liên tục khi push và pop xen kẽ gần ranh giới
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: không phải cả hai

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Các đỉnh lẻ

C, D, E, F → 4
không phải cả hai

Đáp số

không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 2

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

Đáp số

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms