Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của thuật toán Bellman–Ford trên đồ thị có V đỉnh và E cạnh là gì?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V³ × E)
  3. CO(V × E)
  4. DO(E log V)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Cận nào là đúng cho log(n!)?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(log n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Trong đống nhị phân lưu trong mảng bắt đầu từ chỉ số 0, cha của nút ở chỉ số i nằm ở đâu?

  1. AỞ chỉ số i − 1
  2. BỞ chỉ số 2i + 1
  3. CỞ chỉ số ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. DỞ chỉ số ⌊i / 2⌋ + 1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Vì sao máy chủ có thể chọn hàm băm ngẫu nhiên từ một họ phổ quát?

  1. AĐể loại bỏ nhu cầu đổi kích thước bảng
  2. BĐể làm cho kẻ tấn công rất khó chọn nhiều khóa cùng va chạm
  3. CĐể đảm bảo không hai khóa nào từng va chạm, bất kể kẻ tấn công gửi khóa nào
  4. DĐể làm bảng băm được sắp xếp
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 4 đỉnh bậc 3, 4 đỉnh bậc 4, 3 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

4 × deg 34 × deg 43 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
171204313158216ABCDEFG

Thuật toán Prim xây dựng một cây khung nhỏ nhất bắt đầu từ đỉnh E. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 5.

bắt đầu: Ek = 5
  1. 1cạnh AB
  2. 2cạnh AC
  3. 3cạnh BC
  4. 4cạnh BD
  5. 5cạnh CE
  6. 6cạnh DE
  7. 7cạnh DF
  8. 8cạnh EF
  9. 9cạnh GB
  10. 10cạnh GC

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · O(V × E)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi vòng trong V − 1 vòng nới lỏng tất cả E cạnh, cho O(VE); đổi lại nó xử lý được trọng số cạnh âm.

Đáp số

C · O(V × E)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Θ(n log n)

Vì sao đây là đáp án

log(n!) ≤ n log n, và n / 2 thừa số lớn nhất cho log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); đó là lý do sắp xếp dựa trên so sánh cần Ω(n log n).

Đáp số

A · Θ(n log n)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Ở chỉ số ⌊(i − 1) / 2⌋

Vì sao đây là đáp án

Các con của i ở 2i + 1 và 2i + 2, nên cha của i là ⌊(i − 1) / 2⌋; với chỉ số bắt đầu từ 1 nó là ⌊i / 2⌋.

Đáp số

C · Ở chỉ số ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Để làm cho kẻ tấn công rất khó chọn nhiều khóa cùng va chạm

Vì sao đây là đáp án

Với băm phổ quát, số va chạm kỳ vọng nhỏ đối với mọi tập khóa, vì kẻ tấn công không biết hàm nào được chọn.

Đáp số

B · Để làm cho kẻ tấn công rất khó chọn nhiều khóa cùng va chạm
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 14

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 34 = 2(L + 11) − 2
L = 14

Đáp số

L = 14

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh BD

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Prim

1. CE (3)
2. AC (1)
3. EF (8)
4. DE (13)
5. BD (4)
6. GB (2)

cạnh số 5

BD

Đáp số

cạnh BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms