Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Trong bài toán chọn hoạt động, quy tắc tham lam nào luôn cho số hoạt động không chồng lấn tối đa?

  1. AChọn hoạt động có ít chồng lấn nhất trước, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
  2. BChọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
  3. CChọn hoạt động ngắn nhất trước
  4. DChọn hoạt động bắt đầu sớm nhất
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Lấy cả hai đầu mút của mọi cạnh trong một cặp ghép cực đại cho ta một phủ đỉnh. Phủ này tốt đến mức nào?

  1. ATối đa log n lần giá trị nhỏ nhất
  2. BCó kích thước tối đa gấp đôi phủ đỉnh nhỏ nhất
  3. CLuôn là một phủ đỉnh nhỏ nhất
  4. DKhông rõ chất lượng so với tối ưu
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Bạn có một tham chiếu đến một nút ở giữa danh sách. Trong danh sách nào bạn có thể xóa nó trong O(1)?

  1. ADanh sách liên kết đôi
  2. BMảng đã sắp xếp
  3. CDanh sách liên kết đơn
  4. DMảng động
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Trong bộ đệm vòng, front == rear có thể nghĩa là rỗng hoặc đầy. Cách phổ biến để phân biệt là gì?

  1. ALàm kích thước bộ đệm là lũy thừa của hai
  2. BGiữ một bộ đếm phần tử riêng, hoặc luôn để trống một ô
  3. CLưu front và rear trong cùng một biến
  4. DLuôn xóa bộ đệm bất cứ khi nào front bằng rear, nên trạng thái là rỗng
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K8 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K8
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
5191013182201712ABCDEFG

Thuật toán Prim xây dựng một cây khung nhỏ nhất bắt đầu từ đỉnh G. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 4.

bắt đầu: Gk = 4
  1. 1cạnh AB
  2. 2cạnh AC
  3. 3cạnh BC
  4. 4cạnh BD
  5. 5cạnh DE
  6. 6cạnh DF
  7. 7cạnh EF
  8. 8cạnh GD
  9. 9cạnh GE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Chọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích

Vì sao đây là đáp án

Chọn thời điểm kết thúc sớm nhất có thể được chứng minh là tối ưu bằng lập luận hoán đổi; các quy tắc khác đều có phản ví dụ.

Đáp số

B · Chọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Có kích thước tối đa gấp đôi phủ đỉnh nhỏ nhất

Vì sao đây là đáp án

Các cạnh của cặp ghép không có đỉnh chung, nên phương án tối ưu cần ít nhất một đỉnh cho mỗi cạnh, trong khi phương pháp này lấy hai: một xấp xỉ hệ số 2.

Đáp số

B · Có kích thước tối đa gấp đôi phủ đỉnh nhỏ nhất
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Danh sách liên kết đôi

Vì sao đây là đáp án

Nút của danh sách liên kết đôi biết nút đứng trước nó, nên bạn có thể nối lại prev và next trực tiếp; danh sách liên kết đơn phải tìm nút đứng trước.

Đáp số

A · Danh sách liên kết đôi
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Giữ một bộ đếm phần tử riêng, hoặc luôn để trống một ô

Vì sao đây là đáp án

Với bộ đếm, rỗng nghĩa là count = 0 và đầy nghĩa là count = sức chứa; với một ô trống, đầy được định nghĩa là (rear + 1) mod n == front.

Đáp số

B · Giữ một bộ đếm phần tử riêng, hoặc luôn để trống một ô
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 2520

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Đáp số

H = 2520
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh BD

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Prim

1. GE (12)
2. GD (17)
3. DF (2)
4. BD (13)
5. AB (5)
6. BC (10)

cạnh số 4

BD

Đáp số

cạnh BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms