Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Với các đồng xu 1, 3 và 4 và số tiền 6, phương pháp tham lam "đồng lớn nhất trước" dùng bao nhiêu đồng, so với tối ưu?

  1. ATham lam dùng 2 đồng; tối ưu là 2
  2. BTham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
  3. CTham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 3
  4. DTham lam dùng 4 đồng; tối ưu là 3
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Bài toán thỏa mãn nào sau đây được biết là giải được trong thời gian đa thức?

  1. ASAT tổng quát trên các công thức dạng chuẩn tắc hội
  2. BThỏa mãn mạch
  3. C2-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có tối đa hai literal
  4. D3-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có đúng ba literal
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Giá trị của biểu thức hậu tố 3 4 + 2 * là bao nhiêu?

  1. A10
  2. B14
  3. C11
  4. D24
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Bạn phải giữ k giá trị nhỏ nhất từ một luồng n số bằng bộ nhớ O(k). Cách nào chạy trong thời gian O(n log k)?

  1. AMột mảng đã sắp xếp chứa tất cả n giá trị
  2. BMột đống min chứa tất cả n giá trị, từ đó k giá trị nhỏ nhất được lấy ra ở cuối
  3. CMột hàng đợi FIFO gồm k giá trị cuối
  4. DMột đống max kích thước k, thay gốc của nó khi có giá trị nhỏ hơn đến
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 2 đỉnh bậc 3, 4 đỉnh bậc 4, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

2 × deg 34 × deg 4
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
18158121478ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(E) của đường đi ngắn nhất từ A đến E trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: E
d(E) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Tham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2

Vì sao đây là đáp án

Tham lam lấy 4 + 1 + 1 = 3 đồng, nhưng 3 + 3 chỉ dùng 2, nên tham lam không tối ưu cho hệ đồng xu này; quy hoạch động thì tối ưu.

Đáp số

B · Tham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · 2-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có tối đa hai literal

Vì sao đây là đáp án

2-SAT thuộc P (thời gian tuyến tính qua các thành phần liên thông mạnh), trong khi 3-SAT là NP-đầy đủ.

Đáp số

C · 2-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có tối đa hai literal
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · 14

Vì sao đây là đáp án

Đẩy 3 và 4, + cho 7; đẩy 2, * cho 7 × 2 = 14.

Đáp số

B · 14
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Một đống max kích thước k, thay gốc của nó khi có giá trị nhỏ hơn đến

Vì sao đây là đáp án

Gốc của đống max là giá trị lớn nhất đang giữ; mọi giá trị mới nhỏ hơn sẽ thay nó trong O(log k), nên đống luôn chứa k giá trị nhỏ nhất cho đến hiện tại.

Đáp số

D · Một đống max kích thước k, thay gốc của nó khi có giá trị nhỏ hơn đến
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 12

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 22 = 2(L + 6) − 2
L = 12

Đáp số

L = 12

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(E) = 9

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 1, C: 8
B (1): D: 9, E: 9
C (8)
D (9): F: 23
E (9): F: 16
F (16)

Đường đi ngắn nhất

A → B → E
d(E) = 9

Đáp số

d(E) = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms