Toán học rời rạc: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Logic mệnh đề & chứng minh

Các hàng của bảng chân trị
2ⁿ
Phép kéo theo
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Phủ định của phép kéo theo
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Phép tương đương
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Luật phân phối
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Phủ định của lượng từ
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Phương pháp

  1. Hãy đếm số biến khác nhau: bảng chân trị có 2ⁿ hàng, bắt đầu bằng hàng toàn số 1.
  2. Cho mỗi công thức con một cột riêng và điền các cột từ trong ra ngoài.
  3. Áp dụng quy tắc của từng liên kết: → chỉ bằng 0 khi 1 → 0, ↔ bằng 1 khi hai vế giống nhau.
  4. Với các tương đương, hãy so sánh các cột cuối theo từng hàng; với một suy luận, chỉ xét những hàng mà mọi tiền đề đều bằng 1.
  5. Để phủ định một mệnh đề có lượng từ, hãy đưa ¬ vào trong, đổi ∀ và ∃, rồi phủ định công thức bên trong.

Tập hợp, quan hệ & hàm

Hai tập hợp
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Ba tập hợp
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Hiệu và phần bù
A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Tập lũy thừa và tích Descartes
|𝒫(A)| = 2|A|, |A × B| = |A|·|B|
Tập con có k phần tử
C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Hàm A → B
nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Quan hệ trên n phần tử
2n²; reflexive 2n² − n; symmetric 2n(n+1)/2
Hợp thành
(g ∘ f)(x) = g(f(x))

Phương pháp

  1. Hãy vẽ biểu đồ Venn và xác định từng vùng xem vùng nào thuộc biểu thức tập hợp.
  2. Với bài toán đếm, hãy điền các vùng từ tâm ra ngoài: tất cả các tập, rồi từng cặp, rồi từng tập đơn, rồi phần bên ngoài.
  3. Hãy dùng nguyên lý bao hàm – loại trừ để kiểm tra: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
  4. Với một quan hệ, hãy kiểm tra từng tính chất trên mọi cặp và đưa ra một phản ví dụ khi tính chất không đúng.
  5. Với một hàm, hãy đếm số mũi tên đến mỗi phần tử của B: nhiều nhất một là đơn ánh, ít nhất một là toàn ánh.

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

Lý thuyết số & số học đồng dư

Phép chia có dư
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Bội chung nhỏ nhất
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Nghịch đảo
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Đồng dư tuyến tính
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Hàm phi Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Phương pháp

  1. Trước hết hãy rút gọn mọi số theo modulo n; số dư nằm trong khoảng từ 0 đến n − 1.
  2. Với ước chung lớn nhất, hãy chia liên tiếp theo thuật toán Euclid; số dư khác 0 cuối cùng chính là ước chung lớn nhất.
  3. Với số nghịch đảo, hãy chạy thuật toán Euclid mở rộng và lấy hệ số của a; cộng n nếu nó âm.
  4. Giải a·x ≡ b bằng cách nhân với a⁻¹; kết hợp hai đồng dư bằng cách viết x = r₁ + m₁k.
  5. Với lũy thừa, hãy viết số mũ ở dạng nhị phân và bình phương liên tiếp; trong RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) với φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Bài tập

1.Logic mệnh đề & chứng minhTrung bình
¬q ∧ ¬p¬p → ¬q¬q → ¬pq → p

Công thức nào tương đương logic với p → q? Hãy nhấp vào nó.

p → q
  1. 1¬q ∧ ¬p
  2. 2¬p → ¬q
  3. 3¬q → ¬p
  4. 4q → p
2.Logic mệnh đề & chứng minhKhó
∀x ∀y ¬R(x, y)∃x ∃y ¬R(x, y)∀x ∃y ¬R(x, y)∃x ∀y ¬R(x, y)

Phát biểu nào tương đương với ¬∃x ∀y R(x, y), khi phép phủ định đã được đưa hoàn toàn vào trong? Hãy nhấp vào nó.

¬∃x ∀y R(x, y)
  1. 1∀x ∀y ¬R(x, y)
  2. 2∃x ∃y ¬R(x, y)
  3. 3∀x ∃y ¬R(x, y)
  4. 4∃x ∀y ¬R(x, y)
3.Tập hợp, quan hệ & hàmTrung bình
ULTW

Một cuộc khảo sát 59 người cho thấy 26 người có máy tính xách tay (L), 35 người có máy tính bảng (T) và 17 người có đồng hồ thông minh (W). 17 người có L và T, 5 người có L và W, 11 người có T và W, và 4 người có cả ba. Có bao nhiêu không thuộc tập nào trong ba tập?

|U| = 59
|(L ∪ T ∪ W)′| =
4.Tập hợp, quan hệ & hàmKhó
AB1234abcdđơn ánh, không toàn ánhtoàn ánh, không đơn ánhsong ánhkhông phải cả hai

Sơ đồ mũi tên cho thấy một hàm f: A → B với A = {1, 2, 3, 4} và B = {a, b, c, d}. Hãy nhấp vào mô tả phù hợp với f.

f = {(1, b), (2, a), (3, c), (4, a)}
  1. 1đơn ánh, không toàn ánh
  2. 2toàn ánh, không đơn ánh
  3. 3song ánh
  4. 4không phải cả hai
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFGChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
614101557638ABCDEFG

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 4; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G
7.Lý thuyết số & số học đồng dưTrung bình

Giải 27x ≡ 42 (mod 73). Hãy cho nghiệm x với 0 < x < 73.

27x ≡ 42 (mod 73)
x =
8.Lý thuyết số & số học đồng dưKhó

83 là số nguyên tố. Hãy dùng định lý Fermat nhỏ để tìm 2392396 mod 83.

p = 83k = 92396
2392396 mod 83 =

3Dung dịch

1.Logic mệnh đề & chứng minh

Đáp số: ¬q → ¬p

Tương đương logic: hai công thức tương đương (≡) khi chúng có cùng giá trị ở mọi hàng của bảng chân trị. Hằng đúng bằng 1 ở mọi hàng, mâu thuẫn bằng 0 ở mọi hàng, còn công thức ngẫu nhiên thì không thuộc loại nào. Các luật hữu ích: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b và ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (phản đảo); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; và các luật phân phối, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Luật

Một phép kéo theo tương đương với phản đảo ¬b → ¬a của nó, chứ không tương đương với mệnh đề đảo b → a hay mệnh đề nghịch ¬a → ¬b.
p → q ≡ ¬q → ¬p

Kiểm tra bằng bảng chân trị

p = 1, q = 1: 1 | 0 1 1 1
p = 1, q = 0: 0 | 0 1 0 1
p = 0, q = 1: 1 | 0 0 1 0
p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 1

Đáp số

¬q → ¬p

Các cột sau vạch là các phương án theo thứ tự hiển thị.

2.Logic mệnh đề & chứng minh

Đáp số: ∀x ∃y ¬R(x, y)

Lượng từ và suy luận: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) và ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Đưa phép phủ định vào trong, đổi mọi lượng từ mà nó đi qua, và phủ định công thức bên trong bằng các luật logic mệnh đề, chẳng hạn ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Một suy luận hợp lệ khi kết luận bằng 1 ở mọi hàng mà tất cả tiền đề đều bằng 1. Chỉ một hàng có tiền đề đúng mà kết luận sai là một phản ví dụ và cho thấy suy luận không hợp lệ.

Đưa phép phủ định vào trong

¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)

Đáp số

∀x ∃y ¬R(x, y)

Các phương án còn lại hoặc giữ nguyên một lượng từ, hoặc đổi thứ tự các lượng từ, hoặc phủ định sai công thức bên trong.

3.Tập hợp, quan hệ & hàm

Đáp số: |(L ∪ T ∪ W)′| = 10

Tập hợp và biểu đồ Venn: A ∪ B gồm các phần tử thuộc A hoặc B (hoặc cả hai), A ∩ B gồm các phần tử thuộc cả hai, A − B gồm các phần tử của A không thuộc B, và phần bù A′ là mọi thứ trong U không thuộc A. Trong biểu đồ Venn, mọi biểu thức tập hợp là hợp của các vùng, nên hãy đếm theo từng vùng. Nguyên lý bao hàm – loại trừ: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, và |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Phần giữa và các cặp

L ∩ T ∩ W: 4
L ∩ T chỉ: 17 − 4 = 13
L ∩ W chỉ: 5 − 4 = 1
T ∩ W chỉ: 11 − 4 = 7

Các tập đơn

L chỉ: 26 − 13 − 1 − 4 = 8
T chỉ: 35 − 13 − 7 − 4 = 11
W chỉ: 17 − 1 − 7 − 4 = 5

Đáp số

|L ∪ T ∪ W| = 49
|(L ∪ T ∪ W)′| = 59 − 49 = 10

Đáp số

|(L ∪ T ∪ W)′| = 10
4.Tập hợp, quan hệ & hàm

Đáp số: không phải cả hai

Hàm và phép đếm: một hàm f: A → B cho mỗi phần tử của A đúng một ảnh trong B. f là đơn ánh (một-một) khi các phần tử khác nhau có ảnh khác nhau, toàn ánh (lên) khi mọi phần tử của B đều là một ảnh, và song ánh khi cả hai điều kiện đều đúng. Với |A| = m và |B| = n có nᵐ hàm, n!/(n − m)! hàm đơn ánh (m ≤ n), và theo nguyên lý bao hàm – loại trừ có Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ hàm toàn ánh. |𝒫(A)| = 2ᵐ và |A × B| = m·n.

Đơn ánh?

f(2) = f(4) = a → không đơn ánh

Toàn ánh?

d không nhận mũi tên nào → không toàn ánh

Đáp số

không phải cả hai

Đáp số

không phải cả hai
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: E

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): B: 6, C: 14
2. B (6): D: 21
3. C (14): E: 19
4. E (19): G: 27
5. D (21): F: 27, G: 24
6. G (24)
7. F (27)

vòng 4

E

Đáp số

E
7.Lý thuyết số & số học đồng dư

Đáp số: x = 34

Nghịch đảo và đồng dư: a có nghịch đảo theo modulo n đúng khi gcd(a, n) = 1. Thuật toán Euclid mở rộng viết 1 = s·n + t·a, và khi đó a⁻¹ ≡ t (mod n). Một đồng dư a·x ≡ b (mod n) với gcd(a, n) = 1 có nghiệm x ≡ a⁻¹·b. Hai đồng dư x ≡ r₁ (mod m₁) và x ≡ r₂ (mod m₂) với các modulo nguyên tố cùng nhau có một nghiệm theo modulo m₁·m₂ (định lý số dư Trung Hoa). φ(n) của Euler đếm các số từ 1 đến n nguyên tố cùng nhau với n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Nghịch đảo của 27

r = 73, t = 0
r = 27, q = 2, t = 1
r = 19, q = 1, t = −2
r = 8, q = 2, t = 3
r = 3, q = 2, t = −8
r = 2, q = 1, t = 19
r = 1, q = 2, t = −27
27−1 ≡ 46 (mod 73)

Giải

x ≡ 46·42 = 1932 ≡ 34 (mod 73)
kiểm tra: 27·34 = 918 ≡ 42 (mod 73)

Đáp số

x = 34
8.Lý thuyết số & số học đồng dư

Đáp số: 2392396 mod 83 = 78

Lũy thừa modulo và RSA: tính aᵏ mod n bằng bình phương lặp: viết k ở dạng nhị phân, bình phương, rút gọn sau mỗi bước và nhân các lũy thừa có bit bằng 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) với số nguyên tố p không chia hết a, nên số mũ có thể được rút gọn theo modulo p − 1. RSA: chọn các số nguyên tố p và q, n = p·q và φ(n) = (p − 1)(q − 1); số mũ công khai e nguyên tố cùng nhau với φ(n), và số mũ bí mật là d = e⁻¹ mod φ(n). Mã hóa bằng c = mᵉ mod n và giải mã bằng m = cᵈ mod n.

Rút gọn số mũ

92396 mod 82 = 64
2392396 ≡ 2364 (mod 83)

Lũy thừa nhỏ

2364 mod 83 = 78

Đáp số

2392396 mod 83 = 78

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics