Toán học rời rạc: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Logic mệnh đề & chứng minh

Các hàng của bảng chân trị: 2ⁿ
Phép kéo theo: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Phủ định của phép kéo theo: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Phép tương đương: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Luật phân phối: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Phủ định của lượng từ: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Phương pháp

Hãy đếm số biến khác nhau: bảng chân trị có 2ⁿ hàng, bắt đầu bằng hàng toàn số 1.
Cho mỗi công thức con một cột riêng và điền các cột từ trong ra ngoài.
Áp dụng quy tắc của từng liên kết: → chỉ bằng 0 khi 1 → 0, ↔ bằng 1 khi hai vế giống nhau.
Với các tương đương, hãy so sánh các cột cuối theo từng hàng; với một suy luận, chỉ xét những hàng mà mọi tiền đề đều bằng 1.
Để phủ định một mệnh đề có lượng từ, hãy đưa ¬ vào trong, đổi ∀ và ∃, rồi phủ định công thức bên trong.

Tập hợp, quan hệ & hàm

Hai tập hợp: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Ba tập hợp: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Hiệu và phần bù: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Tập lũy thừa và tích Descartes: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
Tập con có k phần tử: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Hàm A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Quan hệ trên n phần tử: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Hợp thành: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Phương pháp

Hãy vẽ biểu đồ Venn và xác định từng vùng xem vùng nào thuộc biểu thức tập hợp.
Với bài toán đếm, hãy điền các vùng từ tâm ra ngoài: tất cả các tập, rồi từng cặp, rồi từng tập đơn, rồi phần bên ngoài.
Hãy dùng nguyên lý bao hàm – loại trừ để kiểm tra: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Với một quan hệ, hãy kiểm tra từng tính chất trên mọi cặp và đưa ra một phản ví dụ khi tính chất không đúng.
Với một hàm, hãy đếm số mũi tên đến mỗi phần tử của B: nhiều nhất một là đơn ánh, ít nhất một là toàn ánh.

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay: Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Đồ thị đều: |E| = n·k/2
Cây và rừng: |E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong K_n: (n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L: (Mᴸ)_ij

Phương pháp

Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

Lý thuyết số & số học đồng dư

Phép chia có dư: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Bội chung nhỏ nhất: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Nghịch đảo: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Đồng dư tuyến tính: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Hàm phi Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Phương pháp

Trước hết hãy rút gọn mọi số theo modulo n; số dư nằm trong khoảng từ 0 đến n − 1.
Với ước chung lớn nhất, hãy chia liên tiếp theo thuật toán Euclid; số dư khác 0 cuối cùng chính là ước chung lớn nhất.
Với số nghịch đảo, hãy chạy thuật toán Euclid mở rộng và lấy hệ số của a; cộng n nếu nó âm.
Giải a·x ≡ b bằng cách nhân với a⁻¹; kết hợp hai đồng dư bằng cách viết x = r₁ + m₁k.
Với lũy thừa, hãy viết số mũ ở dạng nhị phân và bình phương liên tiếp; trong RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) với φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Bài tập

1.Logic mệnh đề & chứng minhTrung bình

q → (q ∨ p) là hằng đúng, mâu thuẫn hay công thức ngẫu nhiên? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

q → (q ∨ p)

1hằng đúng
2mâu thuẫn
3công thức ngẫu nhiên

2.Logic mệnh đề & chứng minhKhó

Có bao nhiêu hàng trong 16 hàng của bảng chân trị làm ¬(p → (¬s ↔ q)) ∧ (q ↔ (p ∨ r)) đúng? Gọi số này là N.

¬(p → (¬s ↔ q)) ∧ (q ↔ (p ∨ r))

N =

3.Tập hợp, quan hệ & hàmTrung bình

Một cuộc khảo sát 62 người cho thấy 38 người có máy tính xách tay (L), 29 người có máy tính bảng (T) và 32 người có đồng hồ thông minh (W). 16 người có L và T, 19 người có L và W, 9 người có T và W, và 6 người có cả ba. Có bao nhiêu không thuộc tập nào trong ba tập?

|U| = 62

|(L ∪ T ∪ W)′| =

4.Tập hợp, quan hệ & hàmKhó

Các hàm f và g trên {1, 2, 3, 4, 5} được cho bằng bảng. Hãy tìm (g ∘ f)(2).

f: 1 ↦ 4, 2 ↦ 3, 3 ↦ 2, 4 ↦ 5, 5 ↦ 1g: 1 ↦ 3, 2 ↦ 3, 3 ↦ 3, 4 ↦ 1, 5 ↦ 2

(g ∘ f)(2) =

5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K₅ có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K₅

H =

6.Lý thuyết đồ thịKhó

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 2 bắt đầu và kết thúc tại B? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2

N =

7.Lý thuyết số & số học đồng dưTrung bình

Hãy tìm nghịch đảo của 10 theo modulo 53: số x với 0 < x < 53 và 10·x ≡ 1 (mod 53).

a = 10n = 53

10⁻¹ mod 53 =

8.Lý thuyết số & số học đồng dưKhó

48x ≡ 9 (mod 69) có bao nhiêu nghiệm N trong {0, 1, …, 68}?

48x ≡ 9 (mod 69)

N =

3Dung dịch

1.Logic mệnh đề & chứng minh

Đáp số: hằng đúng

Tương đương logic: hai công thức tương đương (≡) khi chúng có cùng giá trị ở mọi hàng của bảng chân trị. Hằng đúng bằng 1 ở mọi hàng, mâu thuẫn bằng 0 ở mọi hàng, còn công thức ngẫu nhiên thì không thuộc loại nào. Các luật hữu ích: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b và ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (phản đảo); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; và các luật phân phối, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Bảng chân trị từng hàng

p = 1, q = 1: q ∨ p = 1, q → (q ∨ p) = 1

p = 1, q = 0: q ∨ p = 1, q → (q ∨ p) = 1

p = 0, q = 1: q ∨ p = 1, q → (q ∨ p) = 1

p = 0, q = 0: q ∨ p = 0, q → (q ∨ p) = 1

Phân loại

q → (q ∨ p): 1, 1, 1, 1

Bằng 1 ở mọi hàng: hằng đúng.

Đáp số

hằng đúng

2.Logic mệnh đề & chứng minh

Đáp số: N = 2

Bảng chân trị: một công thức có n biến khác nhau có 2ⁿ hàng, mỗi hàng ứng với một tổ hợp giá trị chân trị (1 = đúng, 0 = sai). Hãy làm từ trong ra ngoài và cho mỗi công thức con một cột riêng. ¬a đảo giá trị; a ∧ b bằng 1 chỉ khi cả hai đều bằng 1; a ∨ b bằng 0 chỉ khi cả hai đều bằng 0; a → b bằng 0 chỉ khi a = 1 và b = 0; a ↔ b bằng 1 khi hai vế bằng nhau.

Các cột

¬s; ¬s ↔ q; p → (¬s ↔ q); ¬(p → (¬s ↔ q)); p ∨ r; q ↔ (p ∨ r); ¬(p → (¬s ↔ q)) ∧ (q ↔ (p ∨ r))

Chia theo p

p = 1: 2

p = 0: 0

N = 2 + 0 = 2

Đáp số

N = 2

3.Tập hợp, quan hệ & hàm

Đáp số: |(L ∪ T ∪ W)′| = 1

Tập hợp và biểu đồ Venn: A ∪ B gồm các phần tử thuộc A hoặc B (hoặc cả hai), A ∩ B gồm các phần tử thuộc cả hai, A − B gồm các phần tử của A không thuộc B, và phần bù A′ là mọi thứ trong U không thuộc A. Trong biểu đồ Venn, mọi biểu thức tập hợp là hợp của các vùng, nên hãy đếm theo từng vùng. Nguyên lý bao hàm – loại trừ: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, và |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Phần giữa và các cặp

L ∩ T ∩ W: 6

L ∩ T chỉ: 16 − 6 = 10

L ∩ W chỉ: 19 − 6 = 13

T ∩ W chỉ: 9 − 6 = 3

Các tập đơn

L chỉ: 38 − 10 − 13 − 6 = 9

T chỉ: 29 − 10 − 3 − 6 = 10

W chỉ: 32 − 13 − 3 − 6 = 10

Đáp số

|L ∪ T ∪ W| = 61

|(L ∪ T ∪ W)′| = 62 − 61 = 1

Đáp số

|(L ∪ T ∪ W)′| = 1

4.Tập hợp, quan hệ & hàm

Đáp số: (g ∘ f)(2) = 3

Hàm và phép đếm: một hàm f: A → B cho mỗi phần tử của A đúng một ảnh trong B. f là đơn ánh (một-một) khi các phần tử khác nhau có ảnh khác nhau, toàn ánh (lên) khi mọi phần tử của B đều là một ảnh, và song ánh khi cả hai điều kiện đều đúng. Với |A| = m và |B| = n có nᵐ hàm, n!/(n − m)! hàm đơn ánh (m ≤ n), và theo nguyên lý bao hàm – loại trừ có Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ hàm toàn ánh. |𝒫(A)| = 2ᵐ và |A × B| = m·n.

Hàm bên trong

f(2) = 3

Hàm bên ngoài

g(3) = 3

(g ∘ f)(2) = 3

Đáp số

(g ∘ f)(2) = 3

5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 12

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; K_n có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Đáp số

H = 12

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 3

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. K_n có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 0 1 0 0

B: 0 0 1 1 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)_BB = 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 3

Đáp số

N = 3

7.Lý thuyết số & số học đồng dư

Đáp số: 10⁻¹ mod 53 = 16

Nghịch đảo và đồng dư: a có nghịch đảo theo modulo n đúng khi gcd(a, n) = 1. Thuật toán Euclid mở rộng viết 1 = s·n + t·a, và khi đó a⁻¹ ≡ t (mod n). Một đồng dư a·x ≡ b (mod n) với gcd(a, n) = 1 có nghiệm x ≡ a⁻¹·b. Hai đồng dư x ≡ r₁ (mod m₁) và x ≡ r₂ (mod m₂) với các modulo nguyên tố cùng nhau có một nghiệm theo modulo m₁·m₂ (định lý số dư Trung Hoa). φ(n) của Euler đếm các số từ 1 đến n nguyên tố cùng nhau với n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Thuật toán Euclid mở rộng

Mỗi số dư r được viết là r ≡ t·10 (mod 53).

r = 53, t = 0

r = 10, q = 5, t = 1

r = 3, q = 3, t = −5

r = 1, q = 3, t = 16

Nghịch đảo

1 ≡ 16·10 (mod 53)

x = 16

kiểm tra: 10·16 = 160 = 3·53 + 1

Đáp số

10⁻¹ mod 53 = 16

8.Lý thuyết số & số học đồng dư

Đáp số: N = 3

Chia cho ước chung lớn nhất

gcd(48, 69) = 3

16x ≡ 3 (mod 23)

Giải đồng dư đã rút gọn

16⁻¹ ≡ 13 (mod 23) → x ≡ 16 (mod 23)

Các nghiệm theo modulo 69

x ∈ {16, 39, 62}

N = 3

Đáp số

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics