Hãy vẽ biểu đồ Venn và xác định từng vùng xem vùng nào thuộc biểu thức tập hợp.
Với bài toán đếm, hãy điền các vùng từ tâm ra ngoài: tất cả các tập, rồi từng cặp, rồi từng tập đơn, rồi phần bên ngoài.
Hãy dùng nguyên lý bao hàm – loại trừ để kiểm tra: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Với một quan hệ, hãy kiểm tra từng tính chất trên mọi cặp và đưa ra một phản ví dụ khi tính chất không đúng.
Với một hàm, hãy đếm số mũi tên đến mỗi phần tử của B: nhiều nhất một là đơn ánh, ít nhất một là toàn ánh.
Lý thuyết đồ thị
Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij
Phương pháp
Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).
Lý thuyết số & số học đồng dư
Phép chia có dư
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Bội chung nhỏ nhất
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Nghịch đảo
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Đồng dư tuyến tính
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Hàm phi Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Phương pháp
Trước hết hãy rút gọn mọi số theo modulo n; số dư nằm trong khoảng từ 0 đến n − 1.
Với ước chung lớn nhất, hãy chia liên tiếp theo thuật toán Euclid; số dư khác 0 cuối cùng chính là ước chung lớn nhất.
Với số nghịch đảo, hãy chạy thuật toán Euclid mở rộng và lấy hệ số của a; cộng n nếu nó âm.
Giải a·x ≡ b bằng cách nhân với a⁻¹; kết hợp hai đồng dư bằng cách viết x = r₁ + m₁k.
Với lũy thừa, hãy viết số mũ ở dạng nhị phân và bình phương liên tiếp; trong RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) với φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Bài tập
1.Logic mệnh đề & chứng minhTrung bình
Công thức nào tương đương logic với ¬(a ∨ c)? Hãy nhấp vào nó.
¬(a ∨ c)
1¬a ∧ c
2¬a ∨ ¬c
3¬a ∧ ¬c
4a ∨ ¬c
2.Logic mệnh đề & chứng minhKhó
Phát biểu nào tương đương với ¬∃x F(x), khi phép phủ định đã được đưa hoàn toàn vào trong? Hãy nhấp vào nó.
¬∃x F(x)
1∃x ¬F(x)
2∀x ¬F(x)
3∃x F(x)
4∀x F(x)
3.Tập hợp, quan hệ & hàmTrung bình
R = {(1, 1), (2, 1), (2, 3), (3, 3)} là một quan hệ trên {1, 2, 3, 4}. Số cặp có thứ tự nhỏ nhất k phải thêm vào R để R đối xứng là bao nhiêu?
R = {(1, 1), (2, 1), (2, 3), (3, 3)}
k =
4.Tập hợp, quan hệ & hàmKhó
Song ánh f trên {1, 2, 3, 4, 5} được cho bằng bảng. Hãy tìm f−1(5).
f: 1 ↦ 5, 2 ↦ 4, 3 ↦ 2, 4 ↦ 1, 5 ↦ 3
f−1(5) =
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
Một đồ thị liên thông có 8 đỉnh và 19 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?
|V| = 8|E| = 19
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
Thuật toán Kruskal xây dựng một cây khung nhỏ nhất. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 5; các cạnh bị bỏ qua không được tính.
k = 5
1cạnh AB
2cạnh AC
3cạnh BD
4cạnh CE
5cạnh DE
6cạnh DF
7cạnh EF
8cạnh GB
9cạnh GC
10cạnh GD
11cạnh GE
7.Lý thuyết số & số học đồng dưTrung bình
Hãy tìm số nguyên dương nhỏ nhất x thỏa x ≡ 1 (mod 5) và x ≡ 0 (mod 11).
x ≡ 1 (mod 5)x ≡ 0 (mod 11)
x =
8.Lý thuyết số & số học đồng dưKhó
Một khóa RSA dùng p = 17, q = 41 và e = 11. Hãy giải mã bản mã c = 35: tìm thông điệp m.
p = 17q = 41e = 11c = 35
m =
3Dung dịch
1.Logic mệnh đề & chứng minh
Đáp số: ¬a ∧ ¬c
Tương đương logic: hai công thức tương đương (≡) khi chúng có cùng giá trị ở mọi hàng của bảng chân trị. Hằng đúng bằng 1 ở mọi hàng, mâu thuẫn bằng 0 ở mọi hàng, còn công thức ngẫu nhiên thì không thuộc loại nào. Các luật hữu ích: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b và ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (phản đảo); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; và các luật phân phối, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Luật
De Morgan: ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b. ∨ biến thành ∧ và cả hai phần đều bị phủ định.
¬(a ∨ c) ≡ ¬a ∧ ¬c
Kiểm tra bằng bảng chân trị
a = 1, c = 1: 0 | 0 0 0 1
a = 1, c = 0: 0 | 0 1 0 1
a = 0, c = 1: 0 | 1 1 0 0
a = 0, c = 0: 1 | 0 1 1 1
Đáp số
¬a ∧ ¬c
Các cột sau vạch là các phương án theo thứ tự hiển thị.
2.Logic mệnh đề & chứng minh
Đáp số: ∀x ¬F(x)
Lượng từ và suy luận: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) và ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Đưa phép phủ định vào trong, đổi mọi lượng từ mà nó đi qua, và phủ định công thức bên trong bằng các luật logic mệnh đề, chẳng hạn ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Một suy luận hợp lệ khi kết luận bằng 1 ở mọi hàng mà tất cả tiền đề đều bằng 1. Chỉ một hàng có tiền đề đúng mà kết luận sai là một phản ví dụ và cho thấy suy luận không hợp lệ.
Đưa phép phủ định vào trong
¬∃x F(x) ≡ ∀x ¬F(x)
Đáp số
∀x ¬F(x)
Các phương án còn lại hoặc giữ nguyên một lượng từ, hoặc đổi thứ tự các lượng từ, hoặc phủ định sai công thức bên trong.
3.Tập hợp, quan hệ & hàm
Đáp số: k = 2
Quan hệ: một quan hệ R trên tập X là một tập các cặp có thứ tự (x, y). R phản xạ khi (x, x) ∈ R với mọi x thuộc X; đối xứng khi (x, y) ∈ R luôn đi kèm (y, x) ∈ R; phản đối xứng khi (x, y) và (y, x) cùng thuộc R chỉ nếu x = y; và bắc cầu khi (x, y) và (y, z) thuộc R kéo theo (x, z) ∈ R. Một quan hệ tương đương là phản xạ, đối xứng và bắc cầu, và chia X thành các lớp rời nhau.
Các cặp cần thêm
{(1, 2), (3, 2)}
Đếm
k = 2
Đáp số
k = 2
4.Tập hợp, quan hệ & hàm
Đáp số: f−1(5) = 1
Hàm và phép đếm: một hàm f: A → B cho mỗi phần tử của A đúng một ảnh trong B. f là đơn ánh (một-một) khi các phần tử khác nhau có ảnh khác nhau, toàn ánh (lên) khi mọi phần tử của B đều là một ảnh, và song ánh khi cả hai điều kiện đều đúng. Với |A| = m và |B| = n có nᵐ hàm, n!/(n − m)! hàm đơn ánh (m ≤ n), và theo nguyên lý bao hàm – loại trừ có Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ hàm toàn ánh. |𝒫(A)| = 2ᵐ và |A × B| = m·n.
Đọc bảng theo chiều ngược lại
f(1) = 5 → f−1(5) = 1
Đáp số
f−1(5) = 1
5.Lý thuyết đồ thị
Đáp số: k = 12
Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.
Các cạnh của cây khung
8 − 1 = 7
Các cạnh cần bỏ
k = 19 − 7 = 12
Đáp số
k = 12
6.Lý thuyết đồ thị
Đáp số: cạnh EF
Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.
Thuật toán Kruskal
1. GC (1)
2. CE (2)
3. GB (3)
4. AB (5)
5. EF (6)
6. GD (14)
cạnh số 5
EF
Đáp số
cạnh EF
7.Lý thuyết số & số học đồng dư
Đáp số: x = 11
Nghịch đảo và đồng dư: a có nghịch đảo theo modulo n đúng khi gcd(a, n) = 1. Thuật toán Euclid mở rộng viết 1 = s·n + t·a, và khi đó a⁻¹ ≡ t (mod n). Một đồng dư a·x ≡ b (mod n) với gcd(a, n) = 1 có nghiệm x ≡ a⁻¹·b. Hai đồng dư x ≡ r₁ (mod m₁) và x ≡ r₂ (mod m₂) với các modulo nguyên tố cùng nhau có một nghiệm theo modulo m₁·m₂ (định lý số dư Trung Hoa). φ(n) của Euler đếm các số từ 1 đến n nguyên tố cùng nhau với n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Đồng dư thứ nhất
x = 1 + 5k
Đồng dư thứ hai
1 + 5k ≡ 0 (mod 11) → 5k ≡ 10 (mod 11)
k ≡ 9·10 ≡ 2 (mod 11)
Kết quả
x = 1 + 5·2 = 11
x = 11
kiểm tra: 11 mod 5 = 1, 11 mod 11 = 0
Đáp số
x = 11
8.Lý thuyết số & số học đồng dư
Đáp số: m = 341
Lũy thừa modulo và RSA: tính aᵏ mod n bằng bình phương lặp: viết k ở dạng nhị phân, bình phương, rút gọn sau mỗi bước và nhân các lũy thừa có bit bằng 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) với số nguyên tố p không chia hết a, nên số mũ có thể được rút gọn theo modulo p − 1. RSA: chọn các số nguyên tố p và q, n = p·q và φ(n) = (p − 1)(q − 1); số mũ công khai e nguyên tố cùng nhau với φ(n), và số mũ bí mật là d = e⁻¹ mod φ(n). Mã hóa bằng c = mᵉ mod n và giải mã bằng m = cᵈ mod n.