Động lực học: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Động học

Vận tốc: v = v₀ + a·t
Độ dời: s = v₀·t + ½·a·t²
Không có thời gian: v² = v₀² + 2·a·s
Đơn vị: 1 m/s = 3,6 km/h

Phương pháp

Liệt kê những gì bạn biết: v₀, v, a, t và s, kèm đơn vị.
Chọn phương trình chứa ba đại lượng đã biết và ẩn số.
Chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các đại lượng ngược chiều.
Giải và kiểm tra xem đáp án có hợp lý về mặt vật lý không.

Các định luật Newton

Định luật hai: ΣF = m·a
Trọng lượng: W = m·g
Ma sát trượt: F_f = μ·N
Trên mặt dốc: dọc theo: m·g·sin θ, pháp tuyến: m·g·cos θ

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do với mọi lực tác dụng lên vật.
Chọn một chiều dương dọc theo chuyển động.
Phân tích các lực thành thành phần dọc và vuông góc với chuyển động (trên mặt dốc: m·g·sin θ dọc theo, m·g·cos θ vuông góc vào mặt dốc).
Áp dụng ΣF = m·a dọc theo chuyển động; ma sát là μ·N ngược chiều chuyển động.

Chuyển động ném

Các thành phần: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Vị trí: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Độ cao cực đại: H = h + v_y²/(2g)
Tầm xa (mặt đất bằng phẳng): R = v₀²·sin 2θ/g

Phương pháp

Phân tích vận tốc ban đầu thành các thành phần: v_x = v₀·cos θ và v_y = v₀·sin θ.
Chuyển động ngang có tốc độ không đổi; chuyển động thẳng đứng có gia tốc −g.
Tìm thời gian bay từ chuyển động thẳng đứng.
Dùng thời gian đó trong chuyển động ngang để tìm tầm xa.

Chuyển động tròn

Gia tốc hướng tâm: a = v²/r = ω²·r
Lực hướng tâm: F = m·v²/r
Tốc độ góc: ω = v/r = 2π/T
Đường cong phẳng, ma sát: v_max = √(μ·g·r)

Công và năng lượng

Động năng: E_k = ½mv²
Thế năng: E_p = mgh
Cân bằng năng lượng: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Công của lực ma sát: W = μ·N·d
Công suất: P = W/t

Động lượng và va chạm

Động lượng: p = m·v
Bảo toàn: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Va chạm hoàn toàn không đàn hồi: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Xung lượng: J = F·Δt = m·Δv

Phương pháp

Chọn một chiều dương và gán dấu cho từng vận tốc.
Viết tổng động lượng trước va chạm: Σm·v.
Với va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật chuyển động cùng nhau sau đó; với va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn.
Cho động lượng trước bằng động lượng sau và giải.

Chuyển động quay của vật rắn

Mô-men quán tính đối với G: thanh mL²/12, đĩa ½mR², vành mR², cầu đặc (2/5)mR², cầu rỗng (2/3)mR²
Định lý trục song song: I = I_G + m·d²
Bán kính quán tính: I = m·k²
Thanh đối với đầu của nó: I = mL²/3
Phương trình chuyển động: ΣM = I·α
Tốc độ theo rad/s: ω = 2π·n/60
Động năng: E = ½·I·ω²
Công và công suất: W = T·θ, P = T·ω
Lăn không trượt: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Mô-men động lượng: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Va chạm quanh một chốt: m·v·d = I·ω

Phương pháp

Chọn trục: một chốt cố định, hoặc khối tâm đối với các vật lăn.
Tìm mô-men quán tính đối với trục đó từ các kết quả chuẩn, dùng I = I_G + m·d² cho trục bị dời.
Chọn phương pháp: ΣM = I·α cho gia tốc và lực, năng lượng (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) cho tốc độ, mô-men động lượng cho va chạm và các thay đổi đột ngột.
Liên hệ chuyển động thẳng và chuyển động quay bằng v = ω·r và a = α·r, và đổi vòng/phút sang rad/s.

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Lò xo và con lắc

Vật nặng trên lò xo: T = 2π·√(m/k)
Con lắc: T = 2π·√(L/g)
Tần số góc: ω = √(k/m) = 2π/T
Tốc độ và gia tốc cực đại: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Năng lượng: E = ½·k·A²

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Động họcTrung bình

Một chiếc ô tô chạy với vận tốc 120 km/h phanh với gia tốc chậm dần không đổi 6,5 m/s² cho đến khi dừng. Phanh mất bao lâu? Tìm t.

v₀ = 120 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

t = s

2.Động họcKhó

Quả bóng A được thả từ trạng thái nghỉ ở độ cao 40 m. Cùng lúc đó quả bóng B được ném thẳng lên từ mặt đất ngay bên dưới với tốc độ 23 m/s. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Chúng gặp nhau ở độ cao y bao nhiêu so với mặt đất?

H = 40 mv_0B = 23 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Các định luật NewtonTrung bình

Một thùng trượt trên sàn nằm ngang với tốc độ ban đầu 2 m/s và dừng lại sau 1 m. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm hệ số ma sát trượt μ.

v₀ = 2 m/sd = 1 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Các định luật NewtonKhó

Một khối 9,5 kg trên dốc nghiêng 30° được nối bằng một sợi dây nhẹ qua một ròng rọc không ma sát ở đỉnh dốc với một vật treo 10 kg. Vật treo đi xuống. Hệ số ma sát trượt giữa khối và dốc là 0,2. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm gia tốc a của hệ.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 10 kgθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Chuyển động némTrung bình

Một quả bóng được ném với góc 40° so với phương ngang từ mặt đất bằng phẳng. Bỏ qua lực cản không khí. Tìm độ cao cực đại H mà quả bóng đạt được.

v₀ = 32 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Chuyển động némKhó

Một quả bóng được ném với góc 15° so với phương ngang từ đỉnh một vách đá cao 25 m. Bỏ qua lực cản không khí. Tìm thời gian bay t cho đến khi quả bóng chạm đất.

v₀ = 21 m/sθ = 15°h = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Chuyển động trònTrung bình

Một quả cầu nhỏ trên sợi dây dài 1 m chuyển động trong một vòng tròn nằm ngang sao cho dây hợp với phương thẳng đứng một góc không đổi 50° (con lắc nón). Dùng g = 9,81 m/s². Tìm thời gian T cho một vòng quay.

L = 1 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Chuyển động trònKhó

Một quả cầu 2 kg trên sợi dây nhẹ dài 0,5 m được quay trong một vòng tròn thẳng đứng. Tại điểm thấp nhất tốc độ của nó là 9,5 m/s. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Tìm lực căng T_top trong dây tại điểm cao nhất.

m = 2 kgr = 0,5 mv_bottom = 9,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Công và năng lượngTrung bình

Một vật 4 kg trượt 19 m xuống một mặt dốc nghiêng 20° so với phương ngang, với hệ số ma sát trượt là 0,15. Tìm công W_f chống lại ma sát.

m = 4 kgθ = 20°μ = 0,15d = 19 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Công và năng lượngKhó

Một vật 2 kg được thả từ trạng thái nghỉ ở độ cao 3,5 m trên một mặt dốc nhẵn. Ở chân dốc, nó đi qua một đoạn ngang nhám dài 2,5 m (μ = 0,15) rồi chạy vào một lò xo (k = 2000 N/m) trên mặt nhẵn. Tìm tốc độ v của vật khi nó đến lò xo.

m = 2 kgh = 3,5 mL = 2,5 mμ = 0,15k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Động lượng và va chạmTrung bình

Một xe trượt 1 kg chạy với 12 m/s va chạm trực diện hoàn toàn đàn hồi với một xe trượt 5 kg đang đứng yên trên đường ray không ma sát. Tìm vận tốc v′₂ của xe trượt thứ hai sau va chạm.

m₁ = 1 kgm₂ = 5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Động lượng và va chạmKhó

Một ô tô 1900 kg đâm vào một xe 1900 kg đang đỗ. Hai xe dính vào nhau và trượt 24,5 m trước khi dừng. Hệ số ma sát trượt giữa lốp và mặt đường là 0,75. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ v₁ của xe thứ nhất ngay trước va chạm.

m₁ = 1900 kgm₂ = 1900 kgd = 24,5 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Chuyển động quay của vật rắnTrung bình

Một thanh mảnh đồng chất khối lượng 8 kg và chiều dài 2,1 m có chốt ở một đầu và được thả từ trạng thái nghỉ ở vị trí nằm ngang. Một quả cầu nhỏ khối lượng 3,5 kg được gắn vào đầu tự do của nó. Bỏ qua ma sát và dùng g = 9,81 m/s². Tìm vận tốc góc ω của thanh khi nó đi qua vị trí thẳng đứng.

m = 8 kgL = 2,1 mm_ball = 3,5 kgg = 9,81 m/s²

ω = rad/s

14.Chuyển động quay của vật rắnKhó

Một cầu đặc khối lượng 6 kg lăn không trượt với 8,5 m/s. Tìm động năng quay E_rot của nó.

m = 6 kgv = 8,5 m/sI = (2/5)·m·r²

E_rot = J

15.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một động cơ 1,5 kW chạy ở 960 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 20 răng, ăn khớp với một bánh răng có 25 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 95%. Tìm mômen xoắn ra T₂ trên trục bánh răng.

P = 1,5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 20N₂ = 25η = 95%

T₂ = N·m

16.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (18 răng) trên trục vào quay 1450 rpm dẫn động bánh răng B (72 răng). Bánh răng C (15 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (16 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra n_out.

n_in = 1450 rpmA = 18B = 72C = 15D = 16

n_out = rpm

17.Lò xo và con lắcTrung bình

Một con lắc đơn phải dài bao nhiêu để có chu kỳ 2,8 s? Dùng g = 9,81 m/s². Tìm L.

T = 2,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Lò xo và con lắcKhó

Một vật trên lò xo có k = 150 N/m dao động trên bề mặt không ma sát với biên độ 15 cm. Tìm năng lượng U tích trữ trong lò xo khi vật cách vị trí cân bằng 13 cm.

k = 150 N/mA = 15 cmx = 13 cm

U = J

19.Dao động cơ họcTrung bình

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 15 mm được theo sau một chu kỳ sau bởi đỉnh 9,1 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x₀ = 15 mmx₁ = 9,1 mmn = 1

ζ =

20.Dao động cơ họcKhó

Một vật 5 kg treo vào lò xo k₃ = 10 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 50 kN/m và k₂ = 80 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Động học

Đáp số: t = 5,128 s

Chuyển động với gia tốc không đổi: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² và v² = v₀² + 2·a·s. Chọn phương trình chứa ba đại lượng bạn biết và đại lượng bạn muốn tìm, và giữ dấu nhất quán với một chiều dương.

Đơn vị

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Thời gian phanh

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33,33/6,5 = 5,128 s

Đáp số

t = 5,128 s

2.Động học

Đáp số: y = 25,16 m

Thời điểm gặp nhau

Chiều lên là dương, mặt đất là y = 0.

40 − ½g·t² = 23·t − ½g·t² → t = 40/23 = 1,739 s

Độ cao gặp nhau

y = 23·1,739 − ½·9,81·1,739² = 25,16 m

Đáp số

y = 25,16 m

3.Các định luật Newton

Đáp số: μ = 0,2039

Định luật hai Newton: hợp lực tác dụng lên một vật bằng khối lượng nhân với gia tốc, ΣF = m·a. Vẽ sơ đồ vật thể tự do, chọn một chiều dương dọc theo chuyển động, và cộng mọi lực theo chiều đó: lực tác dụng, ma sát μ·N ngược chiều chuyển động, và các thành phần của trọng lực.

Gia tốc hãm

a = v₀²/(2d) = 2²/(2·1) = 2 m/s²

Hệ số ma sát

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2/9,81 = 0,2039

Đáp số

μ = 0,2039

4.Các định luật Newton

Đáp số: a = 1,813 m/s²

Các lực dọc theo dây

m₂·g = 98,1 N

m₁·g·sin θ = 46,6 N

μ·m₁·g·cos θ = 16,14 N

Gia tốc của hệ

a = (98,1 − 46,6 − 16,14)/19,5 = 1,813 m/s²

Đáp số

a = 1,813 m/s²

5.Chuyển động ném

Đáp số: H = 21,56 m

Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = v_xt và y = h + v_yt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.

Phân tích vận tốc ban đầu

Vận tốc ngang không đổi; chuyển động thẳng đứng có gia tốc không đổi g = 9,81 m/s² hướng xuống.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 40° = 24,51 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 40° = 20,57 m/s

Điểm cao nhất

Ở đỉnh, vận tốc thẳng đứng bằng không: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 20,57²/(2·9,81) = 21,56 m

Đáp số

H = 21,56 m

6.Chuyển động ném

Đáp số: t = 2,879 s

Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = v_xt và y = h + v_yt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.

Phân tích vận tốc ban đầu

Vận tốc ngang không đổi; chuyển động thẳng đứng có gia tốc không đổi g = 9,81 m/s² hướng xuống.

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 15° = 20,28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 15° = 5,435 m/s

Thời gian trong không khí

Giải y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 và lấy nghiệm dương.

0 = 25 + 5,435·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5,435 + √(29,54 + 490,5))/9,81 = 2,879 s

Đáp số

t = 2,879 s

7.Chuyển động tròn

Đáp số: T = 1,608 s

Chuyển động tròn đều: một vật chuyển động với tốc độ v trên đường tròn bán kính r có gia tốc hướng vào tâm a = v²/r, nên cần một hợp lực hướng vào trong F = m·v²/r. Lực đó do một thứ có thật cung cấp: ma sát, lực căng, trọng lực hoặc phản lực pháp tuyến.

Bán kính của vòng tròn

r = L·sin θ = 1·sin 50° = 0,766 m

Tốc độ

Lực căng và trọng lực cùng cho lực hướng vào trong: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,766·9,81·tan 50°) = 2,993 m/s

Chu kỳ

T = 2π·r/v = 2π·0,766/2,993 = 1,608 s

Đáp số

T = 1,608 s

8.Chuyển động tròn

Đáp số: T_top = 262,9 N

Vận tốc tại đỉnh

Động năng chuyển thành thế năng trên độ cao 2r.

v_top² = 9,5² − 4·9,81·0,5 = 70,63 m²/s²

Các lực tại đỉnh

Lực căng và trọng lực đều hướng xuống, về phía tâm.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 2·70,63/0,5 − 2·9,81 = 262,9 N

Đáp số

T_top = 262,9 N

9.Công và năng lượng

Đáp số: W_f = 105,1 J

Nguyên lý công–năng: độ biến thiên động năng bằng công của mọi lực. Viết trọng lực và lò xo thành thế năng (mgh và ½kx²) biến nó thành một phương trình cân bằng: năng lượng ban đầu = năng lượng cuối + năng lượng mất do ma sát (μN·d).

Lực ma sát

N = mg·cos θ = 39,24·0,9397 = 36,87 N

F = μN = 0,15·36,87 = 5,531 N

Công chống ma sát

W_f = F·d = 5,531·19 = 105,1 J

Đáp số

W_f = 105,1 J

10.Công và năng lượng

Đáp số: v = 7,83 m/s

Năng lượng còn lại sau đoạn nhám

Mặt dốc nhẵn, nên chỉ có đoạn nhám lấy đi năng lượng.

mgh − μmgL = 19,62·(3,5 − 0,15·2,5) = 61,31 J

Tốc độ tại lò xo

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3,125) = 7,83 m/s

Đáp số

v = 7,83 m/s

11.Động lượng và va chạm

Đáp số: v′₂ = 4 m/s

Bảo toàn động lượng: khi không có ngoại lực tác dụng trong lúc va chạm, tổng động lượng Σm·v trước bằng tổng sau. Vận tốc có hướng, nên hãy chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các vận tốc ngược chiều. Trong va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn; trong va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật dính vào nhau.

Va chạm đàn hồi với vật bị va chạm đứng yên

Giải đồng thời bảo toàn động lượng và năng lượng cho hai kết quả này.

v′₁ = (1 − 5)/(1 + 5)·12 = −8 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 5)·12 = 4 m/s

Đáp số

v′₂ = 4 m/s

12.Động lượng và va chạm

Đáp số: v₁ = 37,97 m/s

Tốc độ sau va chạm

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·24,5) = 18,99 m/s

Động lượng trong va chạm

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3800·18,99/1900 = 37,97 m/s

Đáp số

v₁ = 37,97 m/s

(136,7 km/h)

13.Chuyển động quay của vật rắn

Đáp số: ω = 3,371 rad/s

Quay quanh một trục cố định: tổng các mô-men quanh trục bằng I·α (ΣM = I·α), giống như ΣF = m·a cho chuyển động tịnh tiến. Ở dạng năng lượng, một mô-men T làm vật quay một góc θ (tính bằng radian) sinh công T·θ, làm thay đổi động năng ½·I·ω²; trọng lực thêm vào hoặc lấy đi m·g·Δh của khối tâm. Công suất là P = T·ω.

Thế năng mất đi

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 8·9,81·1,05 + 3,5·9,81·2,1 = 154,5 J

Mô-men quán tính đối với chốt

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 11,76 + 15,44 = 27,2 kg·m²

Cân bằng năng lượng

½·I_O·ω² = 154,5 → ω = √(2·154,5/27,2) = 3,371 rad/s

Đáp số

ω = 3,371 rad/s

14.Chuyển động quay của vật rắn

Đáp số: E_rot = 86,7 J

Lăn và mô-men động lượng: vật lăn không trượt có v = ω·r, nên động năng của nó là ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Xuống dốc, điều đó cho a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Khi không có mô-men ngoại lực quanh một trục, mô-men động lượng quanh trục đó được bảo toàn, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, kể cả khi động năng bị mất.

Phần tịnh tiến và phần quay

E_trans = ½·m·v² = ½·6·8,5² = 216,8 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,4·m·r²·(v/r)² = 0,4·216,8 = 86,7 J

Đáp số

E_rot = 86,7 J

15.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T₂ = 17,72 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/100,5 = 14,92 N·m

Mômen xoắn ra

T₂ = 14,92·25/20·0,95 = 17,72 N·m

Đáp số

T₂ = 17,72 N·m

16.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_out = 339,8 rpm

Cấp thứ nhất

n_B = 1450·18/72 = 362,5 rpm = n_C

Cấp thứ hai

n_out = 362,5·15/16 = 339,8 rpm

Đáp số

n_out = 339,8 rpm

tỉ số truyền tổng = 4,267 : 1

17.Lò xo và con lắc

Đáp số: L = 1,948 m

Dao động điều hòa: một vật khối lượng m trên lò xo độ cứng k dao động với tần số góc ω = √(k/m) và chu kỳ T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Một con lắc đơn chiều dài L có T = 2π·√(L/g). Với biên độ A, tốc độ lớn nhất là A·ω, gia tốc lớn nhất là A·ω² và năng lượng là ½·k·A².

Giải tìm chiều dài

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,8/2π)² = 1,948 m

Đáp số

L = 1,948 m

18.Lò xo và con lắc

Đáp số: U = 1,268 J

Tổng năng lượng

E = ½·k·A² = ½·150·0,15² = 1,688 J

Thế năng lò xo tại x

U = ½·k·x² = ½·150·0,13² = 1,268 J

Đáp số

U = 1,268 J

19.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,07929

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/1)·ln(15/9,1) = 0,4998

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,4998/√(39,48 + 0,2498) = 0,07929

Đáp số

ζ = 0,07929

20.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 6,859 Hz

Độ cứng tương đương

Chỉ k₁ và k₂ song song. Cặp đó nối tiếp với k₃, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k₁₂ = 50 + 80 = 130 kN/m

k_eq = 130·10/(130 + 10) = 9,286 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(9286/5) = 43,09 rad/s

f_n = 43,09/(2π) = 6,859 Hz

Đáp số

f_n = 6,859 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics