Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
Một ô tô chạy quá tốc độ với tốc độ không đổi 22 m/s đi qua một xe cảnh sát đang đứng yên. Ngay lúc đó xe cảnh sát xuất phát và tăng tốc đều với 5,5 m/s². Xe cảnh sát mất bao lâu để đuổi kịp? Tìm t.
Một quả bóng được ném thẳng đứng lên với 8 m/s từ mép một mái nhà cao 30 m so với mặt đất. Bỏ qua lực cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Sau khi ném bao lâu thì nó chạm đất? Tìm t.
Một vật 16 kg trượt xuống một mặt dốc nghiêng 20° so với phương ngang. Hệ số ma sát trượt là 0,3. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm gia tốc a của vật dọc theo mặt dốc.
Một khối 1,5 kg trên dốc nghiêng 35° được nối bằng một sợi dây nhẹ qua một ròng rọc không ma sát ở đỉnh dốc với một vật treo 10 kg. Vật treo đi xuống. Hệ số ma sát trượt giữa khối và dốc là 0,1. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm gia tốc a của hệ.
Một quả bóng được ném với góc 40° so với phương ngang từ mặt đất bằng phẳng. Bỏ qua lực cản không khí. Tìm quãng đường ngang x mà quả bóng đi được trước khi chạm đất.
Một quả bóng được ném với góc 50° so với phương ngang từ đỉnh một vách đá cao 60 m. Bỏ qua lực cản không khí. Tìm quãng đường ngang x mà quả bóng đi được trước khi chạm đất.
Trong một trò chơi rô-to ở hội chợ, người chơi đứng tựa vào thành của một hình trụ thẳng đứng bán kính 3,3 m. Khi nó quay đủ nhanh, sàn hạ xuống và ma sát giữ họ lại. Hệ số ma sát nghỉ là 0,8. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ quay nhỏ nhất n theo vòng mỗi phút.
Một quả bóng 1,3 kg buộc vào sợi dây dài 1,1 m được quay trong mặt phẳng thẳng đứng. Ở điểm thấp nhất nó chuyển động với 8,5 m/s. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm lực căng T của dây ở điểm thấp nhất.
Một vật trượt từ trạng thái nghỉ xuống một mặt dốc nghiêng 45° so với phương ngang. Hệ số ma sát trượt là 0,4. Tìm tốc độ v của nó sau khi trượt 3 m dọc theo mặt dốc.
Một vật 2 kg được thả từ trạng thái nghỉ ở độ cao 1 m trên một mặt dốc nhẵn. Ở chân dốc, nó đi qua một đoạn ngang nhám dài 3,5 m (μ = 0,15) rồi chạy vào một lò xo (k = 5000 N/m) trên mặt nhẵn. Tìm độ nén cực đại x của lò xo.
Một đầu đạn 8 kg đang chuyển động theo phương ngang với tốc độ 21 m/s nổ thành hai mảnh chuyển động trên cùng một đường thẳng. Mảnh 7 kg tiếp tục đi về phía trước với tốc độ 34 m/s. Tìm vận tốc v′2 của mảnh 1 kg (dương theo hướng ban đầu).
Một quả bóng 0,15 kg đập vào tường với 23 m/s và bật thẳng ngược lại với 13 m/s. Thời gian tiếp xúc là 5 ms. Tìm độ lớn của xung lượng J mà tường tác dụng lên quả bóng.
Một thanh mảnh đồng chất khối lượng 6,5 kg và chiều dài 2,3 m có chốt ở một đầu và được thả từ trạng thái nghỉ ở vị trí nằm ngang. Bỏ qua ma sát và dùng g = 9,81 m/s². Tìm vận tốc góc ω của thanh khi nó đi qua vị trí thẳng đứng.
Một cầu đặc lăn không trượt xuống một mặt dốc nghiêng 10° so với phương ngang. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm gia tốc a của tâm nó.
Một puli 100 mm ở 1450 vòng/phút dẫn động một puli 400 mm bằng dây đai với độ trượt 1 %. Tìm tốc độ n2 của puli bị dẫn.
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (30 răng) trên trục vào quay 1500 rpm dẫn động bánh răng B (50 răng). Bánh răng C (24 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (48 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.
Một phi hành gia trên hành tinh khác thấy rằng một con lắc đơn dài 0,6 m có chu kỳ 1,63 s với các dao động nhỏ. Tìm gia tốc trọng trường g trên hành tinh đó.
Một vật dao động điều hòa với chu kỳ 0,6 s và biên độ 16 cm. Thời gian ngắn nhất t để nó đi từ vị trí cân bằng đến độ dời 12 cm là bao nhiêu?
Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 50 mm được theo sau 2 chu kỳ sau bởi đỉnh 30,2 mm. Tìm hệ số cản ζ.
Một vật 25 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 20 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 30 kN/m. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.
Đáp số: t = 8 s
Chuyển động với gia tốc không đổi: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² và v² = v₀² + 2·a·s. Chọn phương trình chứa ba đại lượng bạn biết và đại lượng bạn muốn tìm, và giữ dấu nhất quán với một chiều dương.
Lúc đó xe cảnh sát chuyển động với tốc độ 2v = 44 m/s.
Đáp số: t = 3,42 s
Chuyển động với gia tốc không đổi: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² và v² = v₀² + 2·a·s. Chọn phương trình chứa ba đại lượng bạn biết và đại lượng bạn muốn tìm, và giữ dấu nhất quán với một chiều dương.
Chiều lên là dương và mặt đất thấp hơn điểm xuất phát h₀.
Chỉ nghiệm dương có ý nghĩa vật lý.
Đáp số: a = 0,5897 m/s²
Định luật hai Newton: hợp lực tác dụng lên một vật bằng khối lượng nhân với gia tốc, ΣF = m·a. Vẽ sơ đồ vật thể tự do, chọn một chiều dương dọc theo chuyển động, và cộng mọi lực theo chiều đó: lực tác dụng, ma sát μ·N ngược chiều chuyển động, và các thành phần của trọng lực.
Chiều xuống dốc là dương.
Đáp số: a = 7,692 m/s²
Định luật hai Newton: hợp lực tác dụng lên một vật bằng khối lượng nhân với gia tốc, ΣF = m·a. Vẽ sơ đồ vật thể tự do, chọn một chiều dương dọc theo chuyển động, và cộng mọi lực theo chiều đó: lực tác dụng, ma sát μ·N ngược chiều chuyển động, và các thành phần của trọng lực.
Đáp số: x = 78,7 m
Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = vxt và y = h + vyt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.
Vận tốc ngang không đổi; chuyển động thẳng đứng có gia tốc không đổi g = 9,81 m/s² hướng xuống.
Xuất phát và rơi xuống cùng độ cao: t = 2vy/g.
Đáp số: x = 126,4 m
Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = vxt và y = h + vyt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.
Vận tốc ngang không đổi; chuyển động thẳng đứng có gia tốc không đổi g = 9,81 m/s² hướng xuống.
Giải y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 và lấy nghiệm dương.
Đáp số: n = 18,41 rpm
Chuyển động tròn đều: một vật chuyển động với tốc độ v trên đường tròn bán kính r có gia tốc hướng vào tâm a = v²/r, nên cần một hợp lực hướng vào trong F = m·v²/r. Lực đó do một thứ có thật cung cấp: ma sát, lực căng, trọng lực hoặc phản lực pháp tuyến.
Đáp số: T = 98,14 N
Chuyển động tròn đều: một vật chuyển động với tốc độ v trên đường tròn bán kính r có gia tốc hướng vào tâm a = v²/r, nên cần một hợp lực hướng vào trong F = m·v²/r. Lực đó do một thứ có thật cung cấp: ma sát, lực căng, trọng lực hoặc phản lực pháp tuyến.
Hướng về tâm (lên) là dương.
Đáp số: v = 4,997 m/s
Nguyên lý công–năng: độ biến thiên động năng bằng công của mọi lực. Viết trọng lực và lò xo thành thế năng (mgh và ½kx²) biến nó thành một phương trình cân bằng: năng lượng ban đầu = năng lượng cuối + năng lượng mất do ma sát (μN·d).
Vật hạ xuống độ cao d·sin θ trong khi ma sát lấy đi μmg·cos θ·d. Khối lượng triệt tiêu.
Đáp số: x = 6,106 cm
Nguyên lý công–năng: độ biến thiên động năng bằng công của mọi lực. Viết trọng lực và lò xo thành thế năng (mgh và ½kx²) biến nó thành một phương trình cân bằng: năng lượng ban đầu = năng lượng cuối + năng lượng mất do ma sát (μN·d).
Mặt dốc nhẵn, nên chỉ có đoạn nhám lấy đi năng lượng.
Đáp số: v′2 = −70 m/s
Bảo toàn động lượng: khi không có ngoại lực tác dụng trong lúc va chạm, tổng động lượng Σm·v trước bằng tổng sau. Vận tốc có hướng, nên hãy chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các vận tốc ngược chiều. Trong va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn; trong va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật dính vào nhau.
Dấu trừ nghĩa là mảnh thứ hai bay ngược về phía sau.
Đáp số: J = 5,4 N·s
Bảo toàn động lượng: khi không có ngoại lực tác dụng trong lúc va chạm, tổng động lượng Σm·v trước bằng tổng sau. Vận tốc có hướng, nên hãy chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các vận tốc ngược chiều. Trong va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn; trong va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật dính vào nhau.
Đáp số: ω = 3,577 rad/s
Quay quanh một trục cố định: tổng các mô-men quanh trục bằng I·α (ΣM = I·α), giống như ΣF = m·a cho chuyển động tịnh tiến. Ở dạng năng lượng, một mô-men T làm vật quay một góc θ (tính bằng radian) sinh công T·θ, làm thay đổi động năng ½·I·ω²; trọng lực thêm vào hoặc lấy đi m·g·Δh của khối tâm. Công suất là P = T·ω.
Đáp số: a = 1,217 m/s²
Lăn và mô-men động lượng: vật lăn không trượt có v = ω·r, nên động năng của nó là ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Xuống dốc, điều đó cho a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Khi không có mô-men ngoại lực quanh một trục, mô-men động lượng quanh trục đó được bảo toàn, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, kể cả khi động năng bị mất.
Đáp số: n2 = 358,9 rpm
Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.
Đáp số: nout = 450 rpm
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
tỉ số truyền tổng = 3,333 : 1
Đáp số: g = 8,915 m/s²
Dao động điều hòa: một vật khối lượng m trên lò xo độ cứng k dao động với tần số góc ω = √(k/m) và chu kỳ T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Một con lắc đơn chiều dài L có T = 2π·√(L/g). Với biên độ A, tốc độ lớn nhất là A·ω, gia tốc lớn nhất là A·ω² và năng lượng là ½·k·A².
Đáp số: t = 0,08098 s
Dao động điều hòa: một vật khối lượng m trên lò xo độ cứng k dao động với tần số góc ω = √(k/m) và chu kỳ T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Một con lắc đơn chiều dài L có T = 2π·√(L/g). Với biên độ A, tốc độ lớn nhất là A·ω, gia tốc lớn nhất là A·ω² và năng lượng là ½·k·A².
Đáp số: ζ = 0,04009
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Đáp số: keq = 12 kN/m
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics