Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
Một máy bay xuất phát từ trạng thái nghỉ và tăng tốc đều với 2 m/s² dọc theo đường băng. Tìm tốc độ v của nó sau 900 m.
Một đoàn tàu điện xuất phát từ trạng thái nghỉ và tăng tốc với 1 m/s² trong 5 s, rồi chạy với tốc độ không đổi trong 9 s, và cuối cùng phanh với 3,5 m/s² cho đến khi dừng. Tìm tổng quãng đường s giữa hai điểm dừng.
Một vật 15 kg trượt xuống một mặt dốc nghiêng 30° so với phương ngang. Hệ số ma sát trượt là 0,2. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm gia tốc a của vật dọc theo mặt dốc.
Một vật 4 kg trên bàn nằm ngang được nối bằng dây nhẹ vắt qua ròng rọc không ma sát với một khối lượng 4 kg treo. Hệ số ma sát trượt giữa vật và bàn là 0,25. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm lực căng T của dây.
Một quả bóng được phóng từ mặt đất bằng phẳng với tốc độ 38 m/s và phải rơi cách 130 m. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Tìm góc nhỏ hơn trong hai góc phóng có thể θ.
Một quả bóng được phóng với tốc độ 34 m/s và hợp góc 35° so với phương ngang từ đỉnh một vách đá cao 20 m. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Tìm độ cao lớn nhất H so với mặt đất ở chân vách đá.
Một chiếc ô tô đi qua khúc cua phẳng bán kính 35 m. Hệ số ma sát nghỉ giữa lốp và mặt đường là 0,8. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ lớn nhất vmax mà ô tô có thể vào cua mà không bị trượt.
Một quả bóng 1,1 kg buộc vào sợi dây dài 0,8 m được quay trong mặt phẳng thẳng đứng. Ở điểm thấp nhất nó chuyển động với 9 m/s. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm lực căng T của dây ở điểm thấp nhất.
Một vật 2,5 kg trượt 18 m xuống một mặt dốc nghiêng 30° so với phương ngang, với hệ số ma sát trượt là 0,1. Tìm công Wf chống lại ma sát.
Một khối 5 kg bắt đầu từ trạng thái nghỉ ở chân một dốc nghiêng 30° và bị kéo lên dốc bởi một lực không đổi 60 N song song với dốc. Hệ số ma sát trượt là 0,1. Tìm vận tốc v của khối sau khi nó đã đi được 2 m lên dốc.
Một đầu đạn 5 kg đang chuyển động theo phương ngang với tốc độ 9 m/s nổ thành hai mảnh chuyển động trên cùng một đường thẳng. Mảnh 4 kg tiếp tục đi về phía trước với tốc độ 69 m/s. Tìm vận tốc v′2 của mảnh 1 kg (dương theo hướng ban đầu).
Một viên đạn 15 g được bắn theo phương ngang vào một khối 4 kg treo trên các sợi dây nhẹ dài 1,7 m, và nằm lại trong đó. Các sợi dây đung đưa ra góc lớn nhất 30° so với phương thẳng đứng. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ v của viên đạn trước khi va chạm.
Một thanh mảnh đồng chất khối lượng 1,5 kg và chiều dài 1,6 m có chốt ở một đầu và được thả từ trạng thái nghỉ ở vị trí nằm ngang. Bỏ qua ma sát và dùng g = 9,81 m/s². Tìm vận tốc góc ω của thanh khi nó đi qua vị trí thẳng đứng.
Một trụ đặc khối lượng 8,5 kg lăn không trượt với 1,5 m/s. Tìm tổng động năng Ek của nó.
Một động cơ 1,5 kW ở 2900 rpm dẫn động một trục vít 1 đầu mối. Bánh vít có 60 răng và bộ truyền có hiệu suất 55%. Tìm mô-men đầu ra Tw trên trục bánh vít.
Trong một bộ bánh răng hành tinh, bánh răng mặt trời có 20 răng và mỗi bánh răng hành tinh có 12 răng. Cần dẫn hành tinh được giữ cố định và bánh mặt trời được dẫn động ở 600 rpm. Tìm tốc độ nr của vành răng ngoài (độ lớn).
Một con lắc đơn có chiều dài 2,3 m. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm chu kỳ T của nó với dao động nhỏ.
Một vật 2,9 kg được gắn vào đầu dưới của một lò xo thẳng đứng chưa giãn có k = 320 N/m và được thả từ trạng thái nghỉ. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm độ giãn lớn nhất xmax của lò xo theo cm.
Một vật 25 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 10 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 80 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.
Một vật 100 kg treo vào lò xo k₃ = 12 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 30 kN/m và k₂ = 50 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
Đáp số: v = 60 m/s
Chuyển động với gia tốc không đổi: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² và v² = v₀² + 2·a·s. Chọn phương trình chứa ba đại lượng bạn biết và đại lượng bạn muốn tìm, và giữ dấu nhất quán với một chiều dương.
Đáp số: s = 61,07 m
Chuyển động với gia tốc không đổi: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² và v² = v₀² + 2·a·s. Chọn phương trình chứa ba đại lượng bạn biết và đại lượng bạn muốn tìm, và giữ dấu nhất quán với một chiều dương.
Đáp số: a = 3,206 m/s²
Định luật hai Newton: hợp lực tác dụng lên một vật bằng khối lượng nhân với gia tốc, ΣF = m·a. Vẽ sơ đồ vật thể tự do, chọn một chiều dương dọc theo chuyển động, và cộng mọi lực theo chiều đó: lực tác dụng, ma sát μ·N ngược chiều chuyển động, và các thành phần của trọng lực.
Chiều xuống dốc là dương.
Đáp số: T = 24,52 N
Định luật hai Newton: hợp lực tác dụng lên một vật bằng khối lượng nhân với gia tốc, ΣF = m·a. Vẽ sơ đồ vật thể tự do, chọn một chiều dương dọc theo chuyển động, và cộng mọi lực theo chiều đó: lực tác dụng, ma sát μ·N ngược chiều chuyển động, và các thành phần của trọng lực.
Đáp số: θ = 31,01 °
Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = vxt và y = h + vyt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.
Nghiệm còn lại là 90° − θ = 58,99°.
Đáp số: H = 39,38 m
Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = vxt và y = h + vyt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.
Đáp số: vmax = 16,57 m/s
Chuyển động tròn đều: một vật chuyển động với tốc độ v trên đường tròn bán kính r có gia tốc hướng vào tâm a = v²/r, nên cần một hợp lực hướng vào trong F = m·v²/r. Lực đó do một thứ có thật cung cấp: ma sát, lực căng, trọng lực hoặc phản lực pháp tuyến.
Đáp số: T = 122,2 N
Chuyển động tròn đều: một vật chuyển động với tốc độ v trên đường tròn bán kính r có gia tốc hướng vào tâm a = v²/r, nên cần một hợp lực hướng vào trong F = m·v²/r. Lực đó do một thứ có thật cung cấp: ma sát, lực căng, trọng lực hoặc phản lực pháp tuyến.
Hướng về tâm (lên) là dương.
Đáp số: Wf = 38,23 J
Nguyên lý công–năng: độ biến thiên động năng bằng công của mọi lực. Viết trọng lực và lò xo thành thế năng (mgh và ½kx²) biến nó thành một phương trình cân bằng: năng lượng ban đầu = năng lượng cuối + năng lượng mất do ma sát (μN·d).
Đáp số: v = 4,998 m/s
Nguyên lý công–năng: độ biến thiên động năng bằng công của mọi lực. Viết trọng lực và lò xo thành thế năng (mgh và ½kx²) biến nó thành một phương trình cân bằng: năng lượng ban đầu = năng lượng cuối + năng lượng mất do ma sát (μN·d).
Đáp số: v′2 = −231 m/s
Bảo toàn động lượng: khi không có ngoại lực tác dụng trong lúc va chạm, tổng động lượng Σm·v trước bằng tổng sau. Vận tốc có hướng, nên hãy chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các vận tốc ngược chiều. Trong va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn; trong va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật dính vào nhau.
Dấu trừ nghĩa là mảnh thứ hai bay ngược về phía sau.
Đáp số: v = 565,8 m/s
Bảo toàn động lượng: khi không có ngoại lực tác dụng trong lúc va chạm, tổng động lượng Σm·v trước bằng tổng sau. Vận tốc có hướng, nên hãy chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các vận tốc ngược chiều. Trong va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn; trong va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật dính vào nhau.
Đáp số: ω = 4,289 rad/s
Quay quanh một trục cố định: tổng các mô-men quanh trục bằng I·α (ΣM = I·α), giống như ΣF = m·a cho chuyển động tịnh tiến. Ở dạng năng lượng, một mô-men T làm vật quay một góc θ (tính bằng radian) sinh công T·θ, làm thay đổi động năng ½·I·ω²; trọng lực thêm vào hoặc lấy đi m·g·Δh của khối tâm. Công suất là P = T·ω.
Đáp số: Ek = 14,34 J
Lăn và mô-men động lượng: vật lăn không trượt có v = ω·r, nên động năng của nó là ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Xuống dốc, điều đó cho a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Khi không có mô-men ngoại lực quanh một trục, mô-men động lượng quanh trục đó được bảo toàn, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, kể cả khi động năng bị mất.
Đáp số: Tw = 163 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Đáp số: nr = 272,7 rpm
Bộ bánh răng hành tinh: tốc độ của bánh mặt trời, vành răng và cần dẫn liên hệ với nhau bởi phương trình Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: nhìn từ cần dẫn, bộ truyền là một hệ bánh răng thông thường với các bánh hành tinh là bánh trung gian. Giữ cố định một phần tử biến bộ truyền thành bộ giảm tốc có một tỉ số truyền.
Với nc = 0, bánh mặt trời dẫn động vành răng qua các bánh hành tinh, đóng vai trò bánh trung gian.
Vành răng quay ngược chiều với bánh mặt trời.
Đáp số: T = 3,042 s
Dao động điều hòa: một vật khối lượng m trên lò xo độ cứng k dao động với tần số góc ω = √(k/m) và chu kỳ T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Một con lắc đơn chiều dài L có T = 2π·√(L/g). Với biên độ A, tốc độ lớn nhất là A·ω, gia tốc lớn nhất là A·ω² và năng lượng là ½·k·A².
Đáp số: xmax = 17,78 cm
Dao động điều hòa: một vật khối lượng m trên lò xo độ cứng k dao động với tần số góc ω = √(k/m) và chu kỳ T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Một con lắc đơn chiều dài L có T = 2π·√(L/g). Với biên độ A, tốc độ lớn nhất là A·ω, gia tốc lớn nhất là A·ω² và năng lượng là ½·k·A².
Đáp số: ζ = 0,08
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.
Đáp số: fn = 1,626 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics