Động lực học: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Động học

Vận tốc: v = v₀ + a·t
Độ dời: s = v₀·t + ½·a·t²
Không có thời gian: v² = v₀² + 2·a·s
Đơn vị: 1 m/s = 3,6 km/h

Phương pháp

Liệt kê những gì bạn biết: v₀, v, a, t và s, kèm đơn vị.
Chọn phương trình chứa ba đại lượng đã biết và ẩn số.
Chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các đại lượng ngược chiều.
Giải và kiểm tra xem đáp án có hợp lý về mặt vật lý không.

Các định luật Newton

Định luật hai: ΣF = m·a
Trọng lượng: W = m·g
Ma sát trượt: F_f = μ·N
Trên mặt dốc: dọc theo: m·g·sin θ, pháp tuyến: m·g·cos θ

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do với mọi lực tác dụng lên vật.
Chọn một chiều dương dọc theo chuyển động.
Phân tích các lực thành thành phần dọc và vuông góc với chuyển động (trên mặt dốc: m·g·sin θ dọc theo, m·g·cos θ vuông góc vào mặt dốc).
Áp dụng ΣF = m·a dọc theo chuyển động; ma sát là μ·N ngược chiều chuyển động.

Chuyển động ném

Các thành phần: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Vị trí: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Độ cao cực đại: H = h + v_y²/(2g)
Tầm xa (mặt đất bằng phẳng): R = v₀²·sin 2θ/g

Phương pháp

Phân tích vận tốc ban đầu thành các thành phần: v_x = v₀·cos θ và v_y = v₀·sin θ.
Chuyển động ngang có tốc độ không đổi; chuyển động thẳng đứng có gia tốc −g.
Tìm thời gian bay từ chuyển động thẳng đứng.
Dùng thời gian đó trong chuyển động ngang để tìm tầm xa.

Chuyển động tròn

Gia tốc hướng tâm: a = v²/r = ω²·r
Lực hướng tâm: F = m·v²/r
Tốc độ góc: ω = v/r = 2π/T
Đường cong phẳng, ma sát: v_max = √(μ·g·r)

Công và năng lượng

Động năng: E_k = ½mv²
Thế năng: E_p = mgh
Cân bằng năng lượng: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Công của lực ma sát: W = μ·N·d
Công suất: P = W/t

Động lượng và va chạm

Động lượng: p = m·v
Bảo toàn: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Va chạm hoàn toàn không đàn hồi: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Xung lượng: J = F·Δt = m·Δv

Phương pháp

Chọn một chiều dương và gán dấu cho từng vận tốc.
Viết tổng động lượng trước va chạm: Σm·v.
Với va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật chuyển động cùng nhau sau đó; với va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn.
Cho động lượng trước bằng động lượng sau và giải.

Chuyển động quay của vật rắn

Mô-men quán tính đối với G: thanh mL²/12, đĩa ½mR², vành mR², cầu đặc (2/5)mR², cầu rỗng (2/3)mR²
Định lý trục song song: I = I_G + m·d²
Bán kính quán tính: I = m·k²
Thanh đối với đầu của nó: I = mL²/3
Phương trình chuyển động: ΣM = I·α
Tốc độ theo rad/s: ω = 2π·n/60
Động năng: E = ½·I·ω²
Công và công suất: W = T·θ, P = T·ω
Lăn không trượt: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Mô-men động lượng: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Va chạm quanh một chốt: m·v·d = I·ω

Phương pháp

Chọn trục: một chốt cố định, hoặc khối tâm đối với các vật lăn.
Tìm mô-men quán tính đối với trục đó từ các kết quả chuẩn, dùng I = I_G + m·d² cho trục bị dời.
Chọn phương pháp: ΣM = I·α cho gia tốc và lực, năng lượng (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) cho tốc độ, mô-men động lượng cho va chạm và các thay đổi đột ngột.
Liên hệ chuyển động thẳng và chuyển động quay bằng v = ω·r và a = α·r, và đổi vòng/phút sang rad/s.

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Lò xo và con lắc

Vật nặng trên lò xo: T = 2π·√(m/k)
Con lắc: T = 2π·√(L/g)
Tần số góc: ω = √(k/m) = 2π/T
Tốc độ và gia tốc cực đại: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Năng lượng: E = ½·k·A²

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Động họcTrung bình

Một chiếc ô tô chạy với vận tốc 120 km/h phanh với gia tốc chậm dần không đổi 3,5 m/s² cho đến khi dừng. Tìm quãng đường phanh s.

v₀ = 120 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.Động họcKhó

Một đoàn tàu điện xuất phát từ trạng thái nghỉ và tăng tốc với 2,5 m/s² trong 10 s, rồi chạy với tốc độ không đổi trong 20 s, và cuối cùng phanh với 3,5 m/s² cho đến khi dừng. Tìm tổng quãng đường s giữa hai điểm dừng.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 10 st₂ = 20 sa₃ = −3,5 m/s²

s = m

3.Các định luật NewtonTrung bình

Một vật 15 kg trượt xuống một mặt dốc nghiêng 35° so với phương ngang. Hệ số ma sát trượt là 0,2. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm gia tốc a của vật dọc theo mặt dốc.

m = 15 kgθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Các định luật NewtonKhó

Một khối 1 kg trên dốc nghiêng 30° được nối bằng một sợi dây nhẹ qua một ròng rọc không ma sát ở đỉnh dốc với một vật treo 1 kg. Vật treo đi xuống. Hệ số ma sát trượt giữa khối và dốc là 0,25. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm gia tốc a của hệ.

m₁ = 1 kgm₂ = 1 kgθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Chuyển động némTrung bình

Một quả bóng được ném với góc 55° so với phương ngang từ mặt đất bằng phẳng. Bỏ qua lực cản không khí. Tìm thời gian bay t cho đến khi quả bóng chạm đất.

v₀ = 16 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Chuyển động némKhó

Một quả bóng được ném từ mặt đất với tốc độ 32 m/s và hợp góc 40° so với phương ngang. Nó rơi xuống mái bằng của một tòa nhà cao 9 m, trên đường đi xuống. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Tìm khoảng cách theo phương ngang x từ điểm ném đến nơi nó rơi xuống.

v₀ = 32 m/sθ = 40°h_roof = 9 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Chuyển động trònTrung bình

Một chiếc ô tô đi qua khúc cua phẳng bán kính 145 m. Hệ số ma sát nghỉ giữa lốp và mặt đường là 0,4. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ lớn nhất v_max mà ô tô có thể vào cua mà không bị trượt.

r = 145 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Chuyển động trònKhó

Một xe đẩy 4,5 kg được thả từ trạng thái nghỉ ở độ cao 22,4 m trên đường ray không ma sát và chạy qua một vòng tròn thẳng đứng bán kính 7 m. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm phản lực pháp tuyến N_top của đường ray lên xe đẩy tại đỉnh vòng.

m = 4,5 kgh = 22,4 mR = 7 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Công và năng lượngTrung bình

Một ô tô chạy với vận tốc 80 km/h trên đường nằm ngang phanh gấp và trượt cho đến khi dừng với các bánh xe bị khóa. Hệ số ma sát trượt giữa lốp và mặt đường là 0,7. Tìm quãng đường dừng d.

v = 80 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

10.Công và năng lượngKhó

Một khối 10 kg nằm trên mặt bàn nằm ngang nhám (μ = 0,25). Một sợi dây nhẹ đi từ nó qua một ròng rọc nhẵn ở mép bàn tới một khối 6 kg treo. Hệ được thả từ trạng thái nghỉ. Tìm vận tốc v của các khối sau khi khối treo hạ xuống 1 m.

m₁ = 10 kgm₂ = 6 kgμ = 0,25d = 1 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Động lượng và va chạmTrung bình

Một xe trượt 3 kg chạy với 7 m/s va chạm trực diện hoàn toàn đàn hồi với một xe trượt 4 kg đang đứng yên trên đường ray không ma sát. Tìm vận tốc v′₂ của xe trượt thứ hai sau va chạm.

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Động lượng và va chạmKhó

Một quả bóng 0,5 kg đập vào tường với 19 m/s và bật thẳng ngược lại với 7 m/s. Thời gian tiếp xúc là 50 ms. Tìm độ lớn của xung lượng J mà tường tác dụng lên quả bóng.

m = 0,5 kgv_in = 19 m/sv_out = 7 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Chuyển động quay của vật rắnTrung bình

Một động cơ cung cấp mô-men 810 N·m ở 2900 vòng/phút. Tìm công suất đầu ra P của nó theo kW.

T = 810 N·mn = 2900 rpm

P = kW

14.Chuyển động quay của vật rắnKhó

Một thanh mảnh đồng chất khối lượng 8,5 kg và chiều dài 1,2 m treo đứng yên trên một chốt không ma sát ở đầu trên của nó. Một viên đạn 20 g chuyển động nằm ngang với 580 m/s va vào thanh ở 0,93 m dưới chốt và găm lại trong thanh. Tìm vận tốc góc ω của thanh ngay sau va chạm.

M = 8,5 kgL = 1,2 mm = 20 gv = 580 m/sd = 0,93 m

ω = rad/s

15.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một dây đai chạy trên puli dẫn 100 mm ở 2880 vòng/phút. Lực căng là 500 N ở nhánh căng và 100 N ở nhánh chùng. Tìm công suất P truyền đi, theo kW.

d₁ = 100 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 500 NT₂ = 100 N

P = kW

16.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (24 răng) trên trục vào quay 1440 rpm dẫn động bánh răng B (45 răng). Bánh răng C (24 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (25 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra n_out.

n_in = 1440 rpmA = 24B = 45C = 24D = 25

n_out = rpm

17.Lò xo và con lắcTrung bình

Một vật 1,7 kg trên lò xo có k = 340 N/m được kéo 4 cm theo chiều dương và thả từ trạng thái nghỉ tại t = 0. Tìm độ dời x của nó so với vị trí cân bằng tại t = 0,8 s (có dấu).

m = 1,7 kgk = 340 N/mA = 4 cmt = 0,8 s

x = cm

18.Lò xo và con lắcKhó

Một vật dao động điều hòa với chu kỳ 3,6 s và biên độ 14 cm. Thời gian ngắn nhất t để nó đi từ độ dời cực đại 14 cm đến độ dời 4,2 cm là bao nhiêu?

T = 3,6 sA = 14 cmx = 4,2 cm

t = s

19.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 25 kg trên lò xo có độ cứng 15 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,4. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 25 kgk = 15 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

20.Dao động cơ họcKhó

Một vật 40 kg treo vào lò xo k₃ = 20 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 15 kN/m và k₂ = 50 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 40 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Động học

Đáp số: s = 158,7 m

Chuyển động với gia tốc không đổi: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² và v² = v₀² + 2·a·s. Chọn phương trình chứa ba đại lượng bạn biết và đại lượng bạn muốn tìm, và giữ dấu nhất quán với một chiều dương.

Đơn vị

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Quãng đường phanh

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·3,5) = 158,7 m

Đáp số

s = 158,7 m

2.Động học

Đáp số: s = 714,3 m

Tốc độ lớn nhất

v = a₁·t₁ = 2,5·10 = 25 m/s

Quãng đường của mỗi giai đoạn

s₁ = ½·2,5·10² = 125 m

s₂ = 25·20 = 500 m

s₃ = 25²/(2·3,5) = 89,29 m

Tổng quãng đường

s = 125 + 500 + 89,29 = 714,3 m

Đáp số

s = 714,3 m

3.Các định luật Newton

Đáp số: a = 4,02 m/s²

Định luật hai Newton: hợp lực tác dụng lên một vật bằng khối lượng nhân với gia tốc, ΣF = m·a. Vẽ sơ đồ vật thể tự do, chọn một chiều dương dọc theo chuyển động, và cộng mọi lực theo chiều đó: lực tác dụng, ma sát μ·N ngược chiều chuyển động, và các thành phần của trọng lực.

Các lực dọc theo mặt dốc

Chiều xuống dốc là dương.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Gia tốc

a = 9,81·(sin 35° − 0,2·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,1638) = 4,02 m/s²

Đáp số

a = 4,02 m/s²

4.Các định luật Newton

Đáp số: a = 1,391 m/s²

Các lực dọc theo dây

m₂·g = 9,81 N

m₁·g·sin θ = 4,905 N

μ·m₁·g·cos θ = 2,124 N

Gia tốc của hệ

a = (9,81 − 4,905 − 2,124)/2 = 1,391 m/s²

Đáp số

a = 1,391 m/s²

5.Chuyển động ném

Đáp số: t = 2,672 s

Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = v_xt và y = h + v_yt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.

Phân tích vận tốc ban đầu

Vận tốc ngang không đổi; chuyển động thẳng đứng có gia tốc không đổi g = 9,81 m/s² hướng xuống.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 55° = 9,177 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 55° = 13,11 m/s

Thời gian trong không khí

Xuất phát và rơi xuống cùng độ cao: t = 2v_y/g.

t = 2·13,11/9,81 = 2,672 s

Đáp số

t = 2,672 s

6.Chuyển động ném

Đáp số: x = 90,63 m

Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = v_xt và y = h + v_yt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.

Phân tích vận tốc ban đầu

v_x = 24,51 m/s, v_y = 20,57 m/s

Thời gian để rơi xuống mái nhà

Nghiệm lớn hơn: quả bóng đang đi xuống.

9 = 20,57·t − 4,905·t²

t = (20,57 + √(20,57² − 2·9,81·9))/9,81 = 3,697 s

Khoảng cách theo phương ngang

x = v_x·t = 24,51·3,697 = 90,63 m

Đáp số

x = 90,63 m

7.Chuyển động tròn

Đáp số: v_max = 23,85 m/s

Chuyển động tròn đều: một vật chuyển động với tốc độ v trên đường tròn bán kính r có gia tốc hướng vào tâm a = v²/r, nên cần một hợp lực hướng vào trong F = m·v²/r. Lực đó do một thứ có thật cung cấp: ma sát, lực căng, trọng lực hoặc phản lực pháp tuyến.

Ma sát cung cấp lực hướng tâm

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·145) = 23,85 m/s

Đáp số

v_max = 23,85 m/s (85,87 km/h)

8.Chuyển động tròn

Đáp số: N_top = 61,8 N

Tốc độ từ bảo toàn năng lượng

v² = 2·9,81·(22,4 − 2·7) = 164,8 m²/s²

Các lực

Chiều về phía tâm là dương.

N = m·v²/R − m·g = 4,5·164,8/7 − 44,15 = 61,8 N

Đáp số

N_top = 61,8 N

9.Công và năng lượng

Đáp số: d = 35,96 m

Nguyên lý công–năng: độ biến thiên động năng bằng công của mọi lực. Viết trọng lực và lò xo thành thế năng (mgh và ½kx²) biến nó thành một phương trình cân bằng: năng lượng ban đầu = năng lượng cuối + năng lượng mất do ma sát (μN·d).

Vận tốc theo đơn vị cơ bản

v = 80/3,6 = 22,22 m/s

Cân bằng năng lượng

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 22,22²/(2·0,7·9,81) = 35,96 m

Đáp số

d = 35,96 m

Tăng gấp đôi vận tốc làm quãng đường dừng dài gấp bốn lần.

10.Công và năng lượng

Đáp số: v = 2,072 m/s

Năng lượng giải phóng và mất đi

m₂g·d = 58,86·1 = 58,86 J

μ·m₁g·d = 0,25·98,1·1 = 24,53 J

Động năng của cả hai khối

½(m₁ + m₂)v² = 34,33 → v = √(2·34,33/16) = 2,072 m/s

Đáp số

v = 2,072 m/s

11.Động lượng và va chạm

Đáp số: v′₂ = 6 m/s

Bảo toàn động lượng: khi không có ngoại lực tác dụng trong lúc va chạm, tổng động lượng Σm·v trước bằng tổng sau. Vận tốc có hướng, nên hãy chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các vận tốc ngược chiều. Trong va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn; trong va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật dính vào nhau.

Va chạm đàn hồi với vật bị va chạm đứng yên

Giải đồng thời bảo toàn động lượng và năng lượng cho hai kết quả này.

v′₁ = (3 − 4)/(3 + 4)·7 = −1 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 4)·7 = 6 m/s

Đáp số

v′₂ = 6 m/s

12.Động lượng và va chạm

Đáp số: J = 13 N·s

Độ biến thiên động lượng

J = m·Δv = 0,5·(7 + 19) = 13 N·s

Đáp số

J = 13 N·s

13.Chuyển động quay của vật rắn

Đáp số: P = 246 kW

Quay quanh một trục cố định: tổng các mô-men quanh trục bằng I·α (ΣM = I·α), giống như ΣF = m·a cho chuyển động tịnh tiến. Ở dạng năng lượng, một mô-men T làm vật quay một góc θ (tính bằng radian) sinh công T·θ, làm thay đổi động năng ½·I·ω²; trọng lực thêm vào hoặc lấy đi m·g·Δh của khối tâm. Công suất là P = T·ω.

Vận tốc góc

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

Công suất

P = T·ω = 810·303,7 = 245987 W = 246 kW

Đáp số

P = 246 kW

14.Chuyển động quay của vật rắn

Đáp số: ω = 2,633 rad/s

Lăn và mô-men động lượng: vật lăn không trượt có v = ω·r, nên động năng của nó là ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Xuống dốc, điều đó cho a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Khi không có mô-men ngoại lực quanh một trục, mô-men động lượng quanh trục đó được bảo toàn, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, kể cả khi động năng bị mất.

Mô-men quán tính sau va chạm

I = M·L²/3 + m·d² = 8,5·1,2²/3 + 0,02·0,93² = 4,097 kg·m²

Mô-men động lượng quanh chốt

Lực của chốt đi qua chốt, nên nó không có mô-men tại đó trong lúc va chạm.

m·v·d = I·ω → ω = 0,02·580·0,93/4,097 = 2,633 rad/s

Đáp số

ω = 2,633 rad/s

15.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: P = 6,032 kW

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ dây đai

v = 15,08 m/s

Công suất

P = (500 − 100)·15,08 = 6032 W = 6,032 kW

Đáp số

P = 6,032 kW

16.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_out = 737,3 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

n_B = 1440·24/45 = 768 rpm = n_C

Cấp thứ hai

n_out = 768·24/25 = 737,3 rpm

Đáp số

n_out = 737,3 rpm

tỉ số truyền tổng = 1,953 : 1

17.Lò xo và con lắc

Đáp số: x = 1,251 cm

Dao động điều hòa: một vật khối lượng m trên lò xo độ cứng k dao động với tần số góc ω = √(k/m) và chu kỳ T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Một con lắc đơn chiều dài L có T = 2π·√(L/g). Với biên độ A, tốc độ lớn nhất là A·ω, gia tốc lớn nhất là A·ω² và năng lượng là ½·k·A².

Tần số góc

ω = √(340/1,7) = 14,14 rad/s

ω·t = 14,14·0,8 = 11,31 rad

Độ dời

x = A·cos(ω·t) = 4·cos(11,31) = 1,251 cm

Đáp số

x = 1,251 cm

18.Lò xo và con lắc

Đáp số: t = 0,7254 s

Tần số góc

ω = 2π/T = 2π/3,6 = 1,745 rad/s

Giải tìm thời gian

0,3 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,3) = 1,266 rad

t = 1,266/1,745 = 0,7254 s

Đáp số

t = 0,7254 s

19.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 3,573 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(15000/25) = 24,49 rad/s

f_n = 24,49/(2π) = 3,898 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,898·√(1 − 0,4²) = 3,573 Hz

Đáp số

f_d = 3,573 Hz

20.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 3,112 Hz

Độ cứng tương đương

Chỉ k₁ và k₂ song song. Cặp đó nối tiếp với k₃, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k₁₂ = 15 + 50 = 65 kN/m

k_eq = 65·20/(65 + 20) = 15,29 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(15294/40) = 19,55 rad/s

f_n = 19,55/(2π) = 3,112 Hz

Đáp số

f_n = 3,112 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics