Động lực học: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Động học

Vận tốc: v = v₀ + a·t
Độ dời: s = v₀·t + ½·a·t²
Không có thời gian: v² = v₀² + 2·a·s
Đơn vị: 1 m/s = 3,6 km/h

Phương pháp

Liệt kê những gì bạn biết: v₀, v, a, t và s, kèm đơn vị.
Chọn phương trình chứa ba đại lượng đã biết và ẩn số.
Chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các đại lượng ngược chiều.
Giải và kiểm tra xem đáp án có hợp lý về mặt vật lý không.

Các định luật Newton

Định luật hai: ΣF = m·a
Trọng lượng: W = m·g
Ma sát trượt: F_f = μ·N
Trên mặt dốc: dọc theo: m·g·sin θ, pháp tuyến: m·g·cos θ

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do với mọi lực tác dụng lên vật.
Chọn một chiều dương dọc theo chuyển động.
Phân tích các lực thành thành phần dọc và vuông góc với chuyển động (trên mặt dốc: m·g·sin θ dọc theo, m·g·cos θ vuông góc vào mặt dốc).
Áp dụng ΣF = m·a dọc theo chuyển động; ma sát là μ·N ngược chiều chuyển động.

Chuyển động ném

Các thành phần: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Vị trí: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Độ cao cực đại: H = h + v_y²/(2g)
Tầm xa (mặt đất bằng phẳng): R = v₀²·sin 2θ/g

Phương pháp

Phân tích vận tốc ban đầu thành các thành phần: v_x = v₀·cos θ và v_y = v₀·sin θ.
Chuyển động ngang có tốc độ không đổi; chuyển động thẳng đứng có gia tốc −g.
Tìm thời gian bay từ chuyển động thẳng đứng.
Dùng thời gian đó trong chuyển động ngang để tìm tầm xa.

Chuyển động tròn

Gia tốc hướng tâm: a = v²/r = ω²·r
Lực hướng tâm: F = m·v²/r
Tốc độ góc: ω = v/r = 2π/T
Đường cong phẳng, ma sát: v_max = √(μ·g·r)

Công và năng lượng

Động năng: E_k = ½mv²
Thế năng: E_p = mgh
Cân bằng năng lượng: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Công của lực ma sát: W = μ·N·d
Công suất: P = W/t

Động lượng và va chạm

Động lượng: p = m·v
Bảo toàn: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Va chạm hoàn toàn không đàn hồi: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Xung lượng: J = F·Δt = m·Δv

Phương pháp

Chọn một chiều dương và gán dấu cho từng vận tốc.
Viết tổng động lượng trước va chạm: Σm·v.
Với va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật chuyển động cùng nhau sau đó; với va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn.
Cho động lượng trước bằng động lượng sau và giải.

Chuyển động quay của vật rắn

Mô-men quán tính đối với G: thanh mL²/12, đĩa ½mR², vành mR², cầu đặc (2/5)mR², cầu rỗng (2/3)mR²
Định lý trục song song: I = I_G + m·d²
Bán kính quán tính: I = m·k²
Thanh đối với đầu của nó: I = mL²/3
Phương trình chuyển động: ΣM = I·α
Tốc độ theo rad/s: ω = 2π·n/60
Động năng: E = ½·I·ω²
Công và công suất: W = T·θ, P = T·ω
Lăn không trượt: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Mô-men động lượng: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Va chạm quanh một chốt: m·v·d = I·ω

Phương pháp

Chọn trục: một chốt cố định, hoặc khối tâm đối với các vật lăn.
Tìm mô-men quán tính đối với trục đó từ các kết quả chuẩn, dùng I = I_G + m·d² cho trục bị dời.
Chọn phương pháp: ΣM = I·α cho gia tốc và lực, năng lượng (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) cho tốc độ, mô-men động lượng cho va chạm và các thay đổi đột ngột.
Liên hệ chuyển động thẳng và chuyển động quay bằng v = ω·r và a = α·r, và đổi vòng/phút sang rad/s.

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Lò xo và con lắc

Vật nặng trên lò xo: T = 2π·√(m/k)
Con lắc: T = 2π·√(L/g)
Tần số góc: ω = √(k/m) = 2π/T
Tốc độ và gia tốc cực đại: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Năng lượng: E = ½·k·A²

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Động họcTrung bình

Một chiếc ô tô chạy với vận tốc 100 km/h phanh với gia tốc chậm dần không đổi 6 m/s² cho đến khi dừng. Tìm quãng đường phanh s.

v₀ = 100 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.Động họcKhó

Một tên lửa mô hình được phóng thẳng lên từ trạng thái nghỉ. Động cơ cho nó gia tốc hướng lên không đổi 30 m/s² trong 2,5 s, sau đó động cơ tắt và tên lửa chuyển động tự do. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Tìm độ cao lớn nhất h_max mà tên lửa đạt được.

a = 30 m/s²t₁ = 2,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Các định luật NewtonTrung bình

Một xe trượt 25 kg được kéo trên tuyết bằng phẳng bằng một sợi dây hợp góc 30° phía trên phương ngang với lực 130 N. Hệ số ma sát trượt là 0,2. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm gia tốc a của xe trượt.

m = 25 kgF = 130 Nθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Các định luật NewtonKhó

Một vật 9,5 kg trên bàn nằm ngang được nối bằng dây nhẹ vắt qua ròng rọc không ma sát với một khối lượng 0,5 kg treo. Mặt bàn không ma sát. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm gia tốc a của hệ.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 0,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Chuyển động némTrung bình

Một quả bóng được phóng từ mặt đất bằng phẳng hợp góc 45° so với phương ngang và rơi cách 110 m. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ phóng v₀.

θ = 45°R = 110 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Chuyển động némKhó

Một quả bóng được ném từ mặt đất với tốc độ 27 m/s và hợp góc 70° so với phương ngang. Nó rơi xuống mái bằng của một tòa nhà cao 5 m, trên đường đi xuống. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Tìm khoảng cách theo phương ngang x từ điểm ném đến nơi nó rơi xuống.

v₀ = 27 m/sθ = 70°h_roof = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Chuyển động trònTrung bình

Một đường cong bán kính 320 m được nghiêng 12°. Ô tô có thể đi qua với tốc độ v nào mà hoàn toàn không cần ma sát? Dùng g = 9,81 m/s².

r = 320 mθ = 12°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Chuyển động trònKhó

Một quả bóng buộc vào sợi dây dài 0,9 m được quay trong mặt phẳng thẳng đứng. Dùng g = 9,81 m/s². Tốc độ nhỏ nhất v_min ở đỉnh để dây vừa đủ còn căng là bao nhiêu?

r = 0,9 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Công và năng lượngTrung bình

Một bộ phóng đồ chơi có lò xo thẳng đứng độ cứng 400 N/m. Một quả cầu 0,2 kg được đặt lên nó và lò xo bị nén 8 cm, rồi được thả ra. Bỏ qua sức cản không khí và khối lượng của lò xo, tìm độ cao h mà quả cầu bay lên, đo từ vị trí của nó khi lò xo bị nén.

m = 0,2 kgk = 400 N/mx = 8 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Công và năng lượngKhó

Một khối 8 kg nằm trên mặt bàn nằm ngang nhám (μ = 0,2). Một sợi dây nhẹ đi từ nó qua một ròng rọc nhẵn ở mép bàn tới một khối 4 kg treo. Hệ được thả từ trạng thái nghỉ. Tìm vận tốc v của các khối sau khi khối treo hạ xuống 2 m.

m₁ = 8 kgm₂ = 4 kgμ = 0,2d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Động lượng và va chạmTrung bình

Một đầu đạn 20 kg đang chuyển động theo phương ngang với tốc độ 18 m/s nổ thành hai mảnh chuyển động trên cùng một đường thẳng. Mảnh 13 kg tiếp tục đi về phía trước với tốc độ 63 m/s. Tìm vận tốc v′₂ của mảnh 7 kg (dương theo hướng ban đầu).

M = 20 kgu = 18 m/sm₁ = 13 kgv′₁ = 63 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

12.Động lượng và va chạmKhó

Một quả bóng 0,3 kg đập vào tường với 9 m/s và bật thẳng ngược lại với 15 m/s. Thời gian tiếp xúc là 25 ms. Tìm lực trung bình F_avg của tường lên quả bóng.

m = 0,3 kgv_in = 9 m/sv_out = 15 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.Chuyển động quay của vật rắnTrung bình

Một bánh đà có mô-men quán tính 26,5 kg·m² quay với 500 vòng/phút. Một phanh tạo mô-men ma sát không đổi 85 N·m. Bánh đà quay được bao nhiêu vòng N trước khi dừng?

I = 26,5 kg·m²n = 500 rpmT_b = 85 N·m

N = rev

14.Chuyển động quay của vật rắnKhó

Một thanh mảnh đồng chất khối lượng 8,5 kg và chiều dài 0,9 m treo đứng yên trên một chốt không ma sát ở đầu trên của nó. Một viên đạn 10 g chuyển động nằm ngang với 260 m/s va vào thanh ở 0,71 m dưới chốt và găm lại trong thanh. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm góc lớn nhất φ so với phương thẳng đứng mà thanh lắc tới.

M = 8,5 kgL = 0,9 mm = 10 gv = 260 m/sd = 0,71 mg = 9,81 m/s²

φ = °

15.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một puli 125 mm ở 1500 vòng/phút dẫn động một puli 500 mm bằng dây đai với độ trượt 3 %. Tìm tốc độ n₂ của puli bị dẫn.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 500 mms = 3 %

n₂ = rpm

16.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (30 răng) trên trục vào quay ở 1440 rpm và dẫn động bánh răng B (45 răng). Bánh răng C (36 răng) được gắn cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D trên trục ra. Trục ra phải quay ở 768 rpm. Bánh răng D phải có bao nhiêu răng N_D?

n_in = 1440 rpmA = 30B = 45C = 36n_out = 768 rpm

N_D =

17.Lò xo và con lắcTrung bình

Một phi hành gia trên hành tinh khác thấy rằng một con lắc đơn dài 1,9 m có chu kỳ 1,74 s với các dao động nhỏ. Tìm gia tốc trọng trường g trên hành tinh đó.

L = 1,9 mT = 1,74 s

g = m/s²

18.Lò xo và con lắcKhó

Một vật trên lò xo có k = 100 N/m dao động trên bề mặt không ma sát với biên độ 6 cm. Tìm năng lượng U tích trữ trong lò xo khi vật cách vị trí cân bằng 4 cm.

k = 100 N/mA = 6 cmx = 4 cm

U = J

19.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 12 kg trên lò xo có độ cứng 150 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,45. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 12 kgk = 150 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

20.Dao động cơ họcKhó

Một vật 10 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 10 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 20 kN/m. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 10 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Động học

Đáp số: s = 64,3 m

Chuyển động với gia tốc không đổi: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² và v² = v₀² + 2·a·s. Chọn phương trình chứa ba đại lượng bạn biết và đại lượng bạn muốn tìm, và giữ dấu nhất quán với một chiều dương.

Đơn vị

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Quãng đường phanh

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·6) = 64,3 m

Đáp số

s = 64,3 m

2.Động học

Đáp số: h_max = 380,4 m

Giai đoạn có động cơ

v₁ = 30·2,5 = 75 m/s

h₁ = ½·30·2,5² = 93,75 m

Bay tự do đi lên

Ở đỉnh vận tốc bằng không.

Δh = v₁²/(2g) = 75²/(2·9,81) = 286,7 m

h_max = 93,75 + 286,7 = 380,4 m

Đáp số

h_max = 380,4 m

3.Các định luật Newton

Đáp số: a = 3,061 m/s²

Định luật hai Newton: hợp lực tác dụng lên một vật bằng khối lượng nhân với gia tốc, ΣF = m·a. Vẽ sơ đồ vật thể tự do, chọn một chiều dương dọc theo chuyển động, và cộng mọi lực theo chiều đó: lực tác dụng, ma sát μ·N ngược chiều chuyển động, và các thành phần của trọng lực.

Phản lực pháp tuyến

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 130·sin 30° = 180,3 N

Các lực nằm ngang

m·a = F·cos θ − μ·N = 112,6 − 36,05

a = 76,53/25 = 3,061 m/s²

Đáp số

a = 3,061 m/s²

4.Các định luật Newton

Đáp số: a = 0,4905 m/s²

Gia tốc của hệ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (4,905 − 0)/10 = 0,4905 m/s²

Đáp số

a = 0,4905 m/s²

5.Chuyển động ném

Đáp số: v₀ = 32,85 m/s

Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = v_xt và y = h + v_yt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.

Giải công thức tầm xa tìm v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·110/sin 90°) = 32,85 m/s

Đáp số

v₀ = 32,85 m/s

6.Chuyển động ném

Đáp số: x = 45,87 m

Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = v_xt và y = h + v_yt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.

Phân tích vận tốc ban đầu

v_x = 9,235 m/s, v_y = 25,37 m/s

Thời gian để rơi xuống mái nhà

Nghiệm lớn hơn: quả bóng đang đi xuống.

5 = 25,37·t − 4,905·t²

t = (25,37 + √(25,37² − 2·9,81·5))/9,81 = 4,967 s

Khoảng cách theo phương ngang

x = v_x·t = 9,235·4,967 = 45,87 m

Đáp số

x = 45,87 m

7.Chuyển động tròn

Đáp số: v = 25,83 m/s

Chuyển động tròn đều: một vật chuyển động với tốc độ v trên đường tròn bán kính r có gia tốc hướng vào tâm a = v²/r, nên cần một hợp lực hướng vào trong F = m·v²/r. Lực đó do một thứ có thật cung cấp: ma sát, lực căng, trọng lực hoặc phản lực pháp tuyến.

Cân bằng lực

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Tốc độ

v = √(r·g·tan θ) = √(320·9,81·tan 12°) = 25,83 m/s

Đáp số

v = 25,83 m/s

(92,99 km/h)

8.Chuyển động tròn

Đáp số: v_min = 2,971 m/s

Lực căng bằng không ở đỉnh

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,9) = 2,971 m/s

Đáp số

v_min = 2,971 m/s

9.Công và năng lượng

Đáp số: h = 0,6524 m

Nguyên lý công–năng: độ biến thiên động năng bằng công của mọi lực. Viết trọng lực và lò xo thành thế năng (mgh và ½kx²) biến nó thành một phương trình cân bằng: năng lượng ban đầu = năng lượng cuối + năng lượng mất do ma sát (μN·d).

Thế năng đàn hồi

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·400·0,08² = 1,28 J

Độ cao

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

h = ½kx²/(mg) = 1,28/1,962 = 0,6524 m

Đáp số

h = 0,6524 m

10.Công và năng lượng

Đáp số: v = 2,801 m/s

Năng lượng giải phóng và mất đi

m₂g·d = 39,24·2 = 78,48 J

μ·m₁g·d = 0,2·78,48·2 = 31,39 J

Động năng của cả hai khối

½(m₁ + m₂)v² = 47,09 → v = √(2·47,09/12) = 2,801 m/s

Đáp số

v = 2,801 m/s

11.Động lượng và va chạm

Đáp số: v′₂ = −65,57 m/s

Bảo toàn động lượng: khi không có ngoại lực tác dụng trong lúc va chạm, tổng động lượng Σm·v trước bằng tổng sau. Vận tốc có hướng, nên hãy chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các vận tốc ngược chiều. Trong va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn; trong va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật dính vào nhau.

Động lượng trước va chạm

p = M·u = 20·18 = 360 kg·m/s

Động lượng sau va chạm

360 = 13·63 + 7·v′₂

v′₂ = (360 − 819)/7 = −65,57 m/s

Đáp số

v′₂ = −65,57 m/s

Dấu trừ nghĩa là mảnh thứ hai bay ngược về phía sau.

12.Động lượng và va chạm

Đáp số: F_avg = 288 N

Độ biến thiên động lượng

J = m·Δv = 0,3·(15 + 9) = 7,2 N·s

Lực trung bình

F_avg = J/Δt = 7,2/0,025 = 288 N

Đáp số

F_avg = 288 N

13.Chuyển động quay của vật rắn

Đáp số: N = 68,02 rev

Quay quanh một trục cố định: tổng các mô-men quanh trục bằng I·α (ΣM = I·α), giống như ΣF = m·a cho chuyển động tịnh tiến. Ở dạng năng lượng, một mô-men T làm vật quay một góc θ (tính bằng radian) sinh công T·θ, làm thay đổi động năng ½·I·ω²; trọng lực thêm vào hoặc lấy đi m·g·Δh của khối tâm. Công suất là P = T·ω.

Vận tốc góc

ω = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

Công của phanh bằng động năng

½·I·ω² = ½·26,5·52,36² = 36326 J

θ = 36326/85 = 427,4 rad

Số vòng

N = θ/2π = 68,02 rev

Đáp số

N = 68,02 rev

14.Chuyển động quay của vật rắn

Đáp số: φ = 11,39 °

Lăn và mô-men động lượng: vật lăn không trượt có v = ω·r, nên động năng của nó là ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Xuống dốc, điều đó cho a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Khi không có mô-men ngoại lực quanh một trục, mô-men động lượng quanh trục đó được bảo toàn, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, kể cả khi động năng bị mất.

Mô-men quán tính sau va chạm

I = M·L²/3 + m·d² = 8,5·0,9²/3 + 0,01·0,71² = 2,3 kg·m²

Mô-men động lượng quanh chốt

Lực của chốt đi qua chốt, nên nó không có mô-men tại đó trong lúc va chạm.

m·v·d = I·ω → ω = 0,01·260·0,71/2,3 = 0,8026 rad/s

Năng lượng trong lúc dao động

½·I·ω² = ½·2,3·0,8026² = 0,7408 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 37,59·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 0,7408/37,59 = 0,9803 → φ = 11,39°

Đáp số

φ = 11,39°

15.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n₂ = 363,8 rpm

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ khi không trượt

1500·125/500 = 375 rpm

Khi có trượt

n₂ = 375·0,97 = 363,8 rpm

Đáp số

n₂ = 363,8 rpm

16.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: N_D = 45

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Tốc độ của trục trung gian

n_B = n_C = 1440·30/45 = 960 rpm

Số răng của bánh răng D

N_D = C·n_C/n_out = 36·960/768 = 45

Đáp số

N_D = 45

17.Lò xo và con lắc

Đáp số: g = 24,78 m/s²

Dao động điều hòa: một vật khối lượng m trên lò xo độ cứng k dao động với tần số góc ω = √(k/m) và chu kỳ T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Một con lắc đơn chiều dài L có T = 2π·√(L/g). Với biên độ A, tốc độ lớn nhất là A·ω, gia tốc lớn nhất là A·ω² và năng lượng là ½·k·A².

Giải tìm g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,9/1,74² = 24,78 m/s²

Đáp số

g = 24,78 m/s²

18.Lò xo và con lắc

Đáp số: U = 0,08 J

Tổng năng lượng

E = ½·k·A² = ½·100·0,06² = 0,18 J

Thế năng lò xo tại x

U = ½·k·x² = ½·100·0,04² = 0,08 J

Đáp số

U = 0,08 J

19.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 15,89 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(150000/12) = 111,8 rad/s

f_n = 111,8/(2π) = 17,79 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 17,79·√(1 − 0,45²) = 15,89 Hz

Đáp số

f_d = 15,89 Hz

20.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 4,109 Hz

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/10 + 1/20 → k_eq = 10·20/(10 + 20) = 6,667 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(6667/10) = 25,82 rad/s

f_n = 25,82/(2π) = 4,109 Hz

Đáp số

f_n = 4,109 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics