Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
Một chiếc ô tô chạy với vận tốc 72 km/h phanh với gia tốc chậm dần không đổi 3,5 m/s² cho đến khi dừng. Tìm quãng đường phanh s.
Quả bóng A được thả từ trạng thái nghỉ ở độ cao 15 m. Cùng lúc đó quả bóng B được ném thẳng lên từ mặt đất ngay bên dưới với tốc độ 17 m/s. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Chúng gặp nhau ở độ cao y bao nhiêu so với mặt đất?
Một vật 7 kg trượt xuống một mặt dốc nghiêng 20° so với phương ngang. Hệ số ma sát trượt là 0,15. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm gia tốc a của vật dọc theo mặt dốc.
Một khối 8,5 kg trên dốc nghiêng 35° được nối bằng một sợi dây nhẹ qua một ròng rọc không ma sát ở đỉnh dốc với một vật treo 9,5 kg. Vật treo đi xuống. Dốc không có ma sát. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm lực căng T của dây.
Một quả bóng được ném với góc 30° so với phương ngang từ mặt đất bằng phẳng. Bỏ qua lực cản không khí. Tìm quãng đường ngang x mà quả bóng đi được trước khi chạm đất.
Một quả bóng được ném với góc 30° so với phương ngang từ đỉnh một vách đá cao 50 m. Bỏ qua lực cản không khí. Tìm quãng đường ngang x mà quả bóng đi được trước khi chạm đất.
Một chiếc ô tô đi qua khúc cua phẳng bán kính 40 m. Hệ số ma sát nghỉ giữa lốp và mặt đường là 0,8. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ lớn nhất vmax mà ô tô có thể vào cua mà không bị trượt.
Một đường cong bán kính 270 m được nghiêng 12°, và hệ số ma sát nghỉ giữa lốp và mặt đường là 0,4. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ lớn nhất vmax mà ô tô có thể đi qua đường cong mà không bị trượt lên và văng ra ngoài.
Một bộ phóng đồ chơi có lò xo thẳng đứng độ cứng 1500 N/m. Một quả cầu 0,1 kg được đặt lên nó và lò xo bị nén 8 cm, rồi được thả ra. Bỏ qua sức cản không khí và khối lượng của lò xo, tìm độ cao h mà quả cầu bay lên, đo từ vị trí của nó khi lò xo bị nén.
Một vật 4 kg được thả từ trạng thái nghỉ ở độ cao 5 m trên một mặt dốc nhẵn. Ở chân dốc, nó đi qua một đoạn ngang nhám dài 2,5 m (μ = 0,1) rồi chạy vào một lò xo (k = 4000 N/m) trên mặt nhẵn. Tìm tốc độ v của vật khi nó đến lò xo.
Một ô tô 1800 kg đang chuyển động với tốc độ 25 m/s đâm vào một ô tô 1000 kg đang đứng yên và hai xe dính vào nhau. Động năng ΔK bị mất trong va chạm là bao nhiêu?
Một ô tô 1500 kg đâm vào một xe 1900 kg đang đỗ. Hai xe dính vào nhau và trượt 14,5 m trước khi dừng. Hệ số ma sát trượt giữa lốp và mặt đường là 0,75. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ v1 của xe thứ nhất ngay trước va chạm.
Một bánh đà có mô-men quán tính 31 kg·m² quay với 1100 vòng/phút. Một phanh tạo mô-men ma sát không đổi 125 N·m. Bánh đà quay được bao nhiêu vòng N trước khi dừng?
Một cầu đặc khối lượng 6,5 kg lăn không trượt với 9 m/s. Động năng quay chiếm bao nhiêu phần trăm p của tổng động năng?
Một động cơ 1,1 kW chạy ở 1450 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 16 răng, ăn khớp với một bánh răng có 20 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 96%. Tìm mômen xoắn ra T2 trên trục bánh răng.
Một dây đai hở nối puli dẫn 125 mm ở 2880 vòng/phút với puli 300 mm; tâm cách nhau 500 mm. Hệ số ma sát là 0,3 và lực căng nhánh căng không được vượt quá 600 N. Tìm công suất lớn nhất P mà dây đai có thể truyền mà không trượt, theo kW (bỏ qua hiệu ứng ly tâm).
Một con lắc đơn có chiều dài 0,5 m. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm chu kỳ T của nó với dao động nhỏ.
Một vật 3,9 kg trên lò xo có k = 140 N/m được kéo lệch 8 cm khỏi vị trí cân bằng rồi thả ra. Tìm gia tốc lớn nhất amax của nó.
Một vật 20 kg trên lò xo có độ cứng 150 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,3. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.
Một vật 10 kg treo vào lò xo k₃ = 50 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 80 kN/m và k₂ = 12 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
Đáp số: s = 57,14 m
Chuyển động với gia tốc không đổi: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² và v² = v₀² + 2·a·s. Chọn phương trình chứa ba đại lượng bạn biết và đại lượng bạn muốn tìm, và giữ dấu nhất quán với một chiều dương.
Đáp số: y = 11,18 m
Chuyển động với gia tốc không đổi: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² và v² = v₀² + 2·a·s. Chọn phương trình chứa ba đại lượng bạn biết và đại lượng bạn muốn tìm, và giữ dấu nhất quán với một chiều dương.
Chiều lên là dương, mặt đất là y = 0.
Đáp số: a = 1,972 m/s²
Định luật hai Newton: hợp lực tác dụng lên một vật bằng khối lượng nhân với gia tốc, ΣF = m·a. Vẽ sơ đồ vật thể tự do, chọn một chiều dương dọc theo chuyển động, và cộng mọi lực theo chiều đó: lực tác dụng, ma sát μ·N ngược chiều chuyển động, và các thành phần của trọng lực.
Chiều xuống dốc là dương.
Đáp số: T = 69,25 N
Định luật hai Newton: hợp lực tác dụng lên một vật bằng khối lượng nhân với gia tốc, ΣF = m·a. Vẽ sơ đồ vật thể tự do, chọn một chiều dương dọc theo chuyển động, và cộng mọi lực theo chiều đó: lực tác dụng, ma sát μ·N ngược chiều chuyển động, và các thành phần của trọng lực.
Đáp số: x = 8,828 m
Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = vxt và y = h + vyt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.
Vận tốc ngang không đổi; chuyển động thẳng đứng có gia tốc không đổi g = 9,81 m/s² hướng xuống.
Xuất phát và rơi xuống cùng độ cao: t = 2vy/g.
Đáp số: x = 144,6 m
Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = vxt và y = h + vyt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.
Vận tốc ngang không đổi; chuyển động thẳng đứng có gia tốc không đổi g = 9,81 m/s² hướng xuống.
Giải y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 và lấy nghiệm dương.
Đáp số: vmax = 17,72 m/s
Chuyển động tròn đều: một vật chuyển động với tốc độ v trên đường tròn bán kính r có gia tốc hướng vào tâm a = v²/r, nên cần một hợp lực hướng vào trong F = m·v²/r. Lực đó do một thứ có thật cung cấp: ma sát, lực căng, trọng lực hoặc phản lực pháp tuyến.
Đáp số: vmax = 42,11 m/s
Chuyển động tròn đều: một vật chuyển động với tốc độ v trên đường tròn bán kính r có gia tốc hướng vào tâm a = v²/r, nên cần một hợp lực hướng vào trong F = m·v²/r. Lực đó do một thứ có thật cung cấp: ma sát, lực căng, trọng lực hoặc phản lực pháp tuyến.
Ma sát hướng xuống dốc.
Đáp số: h = 4,893 m
Nguyên lý công–năng: độ biến thiên động năng bằng công của mọi lực. Viết trọng lực và lò xo thành thế năng (mgh và ½kx²) biến nó thành một phương trình cân bằng: năng lượng ban đầu = năng lượng cuối + năng lượng mất do ma sát (μN·d).
Đáp số: v = 9,654 m/s
Nguyên lý công–năng: độ biến thiên động năng bằng công của mọi lực. Viết trọng lực và lò xo thành thế năng (mgh và ½kx²) biến nó thành một phương trình cân bằng: năng lượng ban đầu = năng lượng cuối + năng lượng mất do ma sát (μN·d).
Mặt dốc nhẵn, nên chỉ có đoạn nhám lấy đi năng lượng.
Đáp số: ΔK = 200893 J
Bảo toàn động lượng: khi không có ngoại lực tác dụng trong lúc va chạm, tổng động lượng Σm·v trước bằng tổng sau. Vận tốc có hướng, nên hãy chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các vận tốc ngược chiều. Trong va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn; trong va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật dính vào nhau.
Năng lượng mất đi biến thành biến dạng, nhiệt và âm thanh.
Đáp số: v1 = 33,11 m/s
Bảo toàn động lượng: khi không có ngoại lực tác dụng trong lúc va chạm, tổng động lượng Σm·v trước bằng tổng sau. Vận tốc có hướng, nên hãy chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các vận tốc ngược chiều. Trong va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn; trong va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật dính vào nhau.
Đáp số: N = 261,9 rev
Quay quanh một trục cố định: tổng các mô-men quanh trục bằng I·α (ΣM = I·α), giống như ΣF = m·a cho chuyển động tịnh tiến. Ở dạng năng lượng, một mô-men T làm vật quay một góc θ (tính bằng radian) sinh công T·θ, làm thay đổi động năng ½·I·ω²; trọng lực thêm vào hoặc lấy đi m·g·Δh của khối tâm. Công suất là P = T·ω.
Đáp số: p = 28,57 %
Lăn và mô-men động lượng: vật lăn không trượt có v = ω·r, nên động năng của nó là ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Xuống dốc, điều đó cho a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Khi không có mô-men ngoại lực quanh một trục, mô-men động lượng quanh trục đó được bảo toàn, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, kể cả khi động năng bị mất.
Tỷ lệ này chỉ phụ thuộc vào hình dạng, không phụ thuộc khối lượng hay tốc độ.
Đáp số: T2 = 8,693 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Đáp số: P = 6,412 kW
Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.
Đáp số: T = 1,419 s
Dao động điều hòa: một vật khối lượng m trên lò xo độ cứng k dao động với tần số góc ω = √(k/m) và chu kỳ T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Một con lắc đơn chiều dài L có T = 2π·√(L/g). Với biên độ A, tốc độ lớn nhất là A·ω, gia tốc lớn nhất là A·ω² và năng lượng là ½·k·A².
Đáp số: amax = 2,872 m/s²
Dao động điều hòa: một vật khối lượng m trên lò xo độ cứng k dao động với tần số góc ω = √(k/m) và chu kỳ T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Một con lắc đơn chiều dài L có T = 2π·√(L/g). Với biên độ A, tốc độ lớn nhất là A·ω, gia tốc lớn nhất là A·ω² và năng lượng là ½·k·A².
Đáp số: fd = 13,15 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Đáp số: fn = 9,058 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics