Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
Một chiếc ô tô chạy với vận tốc 50 km/h phanh với gia tốc chậm dần không đổi 8 m/s² cho đến khi dừng. Phanh mất bao lâu? Tìm t.
Một quả bóng được ném thẳng đứng lên với 5 m/s từ mép một mái nhà cao 15 m so với mặt đất. Bỏ qua lực cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Sau khi ném bao lâu thì nó chạm đất? Tìm t.
Một vật 16 kg trượt xuống một mặt dốc nghiêng 20° so với phương ngang. Hệ số ma sát trượt là 0,3. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm gia tốc a của vật dọc theo mặt dốc.
Một khối 5 kg trên dốc nghiêng 30° được nối bằng một sợi dây nhẹ qua một ròng rọc không ma sát ở đỉnh dốc với một vật treo 4,5 kg. Vật treo đi xuống. Hệ số ma sát trượt giữa khối và dốc là 0,2. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm lực căng T của dây.
Một quả bóng được đá từ mặt đất bằng phẳng với tốc độ 22 m/s và hợp góc 35° so với phương ngang về phía một bức tường cách 28 m. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Quả bóng đi qua bức tường ở độ cao y nào?
Một quả bóng được ném với góc 40° so với phương ngang từ đỉnh một vách đá cao 45 m. Bỏ qua lực cản không khí. Tìm thời gian bay t cho đến khi quả bóng chạm đất.
Một kỹ sư đường bộ muốn ô tô đi qua một đường cong bán kính 320 m với tốc độ 90 km/h mà không dựa vào ma sát. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm góc nghiêng θ.
Một xe đẩy 4 kg được thả từ trạng thái nghỉ ở độ cao 2 m trên đường ray không ma sát và chạy qua một vòng tròn thẳng đứng bán kính 0,5 m. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm phản lực pháp tuyến Ntop của đường ray lên xe đẩy tại đỉnh vòng.
Một vật trượt từ trạng thái nghỉ xuống một mặt dốc nghiêng 35° so với phương ngang. Hệ số ma sát trượt là 0,3. Tìm tốc độ v của nó sau khi trượt 6 m dọc theo mặt dốc.
Một vật 0,5 kg được thả từ trạng thái nghỉ ở độ cao 1 m trên một mặt dốc nhẵn. Ở chân dốc, nó đi qua một đoạn ngang nhám dài 2,5 m (μ = 0,15) rồi chạy vào một lò xo (k = 2500 N/m) trên mặt nhẵn. Tìm độ nén cực đại x của lò xo.
Một xe trượt 2,5 kg chạy với 11 m/s va chạm trực diện hoàn toàn đàn hồi với một xe trượt 0,5 kg đang đứng yên trên đường ray không ma sát. Tìm vận tốc v′2 của xe trượt thứ hai sau va chạm.
Tại một ngã tư, một ô tô 1700 kg đi về phía đông với tốc độ 11 m/s va chạm với một ô tô 800 kg đi về phía bắc với tốc độ 8 m/s. Hai xe dính vào nhau. Tìm tốc độ v′ của đống đổ nát ngay sau va chạm.
Một thanh mảnh đồng chất khối lượng 3 kg và chiều dài 2 m có chốt ở một đầu và được thả từ trạng thái nghỉ ở vị trí nằm ngang. Bỏ qua ma sát và dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ v của đầu tự do khi thanh đi qua vị trí thẳng đứng.
Một trụ đặc khối lượng 7 kg lăn không trượt với 8 m/s. Tìm động năng quay Erot của nó.
Hai trục song song cách nhau 160 mm. Chúng phải được nối bằng một cặp bánh răng trụ răng thẳng có mô-đun 4 mm và tỉ số giảm tốc 3 : 1. Bánh răng lớn phải có bao nhiêu răng N2?
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (15 răng) trên trục vào quay 2900 rpm dẫn động bánh răng B (24 răng). Bánh răng C (12 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (30 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.
Một con lắc đơn có chiều dài 2,6 m. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm chu kỳ T của nó với dao động nhỏ.
Một vật 1,8 kg được gắn vào đầu dưới của một lò xo thẳng đứng chưa giãn có k = 120 N/m và được thả từ trạng thái nghỉ. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ lớn nhất vmax của vật.
Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 25 mm được theo sau 4 chu kỳ sau bởi đỉnh 0,6 mm. Tìm hệ số cản ζ.
Một vật 25 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 50 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 40 kN/m. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.
Đáp số: t = 1,736 s
Chuyển động với gia tốc không đổi: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² và v² = v₀² + 2·a·s. Chọn phương trình chứa ba đại lượng bạn biết và đại lượng bạn muốn tìm, và giữ dấu nhất quán với một chiều dương.
Đáp số: t = 2,331 s
Chuyển động với gia tốc không đổi: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² và v² = v₀² + 2·a·s. Chọn phương trình chứa ba đại lượng bạn biết và đại lượng bạn muốn tìm, và giữ dấu nhất quán với một chiều dương.
Chiều lên là dương và mặt đất thấp hơn điểm xuất phát h₀.
Chỉ nghiệm dương có ý nghĩa vật lý.
Đáp số: a = 0,5897 m/s²
Định luật hai Newton: hợp lực tác dụng lên một vật bằng khối lượng nhân với gia tốc, ΣF = m·a. Vẽ sơ đồ vật thể tự do, chọn một chiều dương dọc theo chuyển động, và cộng mọi lực theo chiều đó: lực tác dụng, ma sát μ·N ngược chiều chuyển động, và các thành phần của trọng lực.
Chiều xuống dốc là dương.
Đáp số: T = 38,88 N
Định luật hai Newton: hợp lực tác dụng lên một vật bằng khối lượng nhân với gia tốc, ΣF = m·a. Vẽ sơ đồ vật thể tự do, chọn một chiều dương dọc theo chuyển động, và cộng mọi lực theo chiều đó: lực tác dụng, ma sát μ·N ngược chiều chuyển động, và các thành phần của trọng lực.
Đáp số: y = 7,765 m
Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = vxt và y = h + vyt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.
Tại bức tường, quả bóng đã trên đường rơi xuống.
Đáp số: t = 5,376 s
Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = vxt và y = h + vyt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.
Vận tốc ngang không đổi; chuyển động thẳng đứng có gia tốc không đổi g = 9,81 m/s² hướng xuống.
Giải y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 và lấy nghiệm dương.
Đáp số: θ = 11,26 °
Chuyển động tròn đều: một vật chuyển động với tốc độ v trên đường tròn bán kính r có gia tốc hướng vào tâm a = v²/r, nên cần một hợp lực hướng vào trong F = m·v²/r. Lực đó do một thứ có thật cung cấp: ma sát, lực căng, trọng lực hoặc phản lực pháp tuyến.
Đáp số: Ntop = 117,7 N
Chuyển động tròn đều: một vật chuyển động với tốc độ v trên đường tròn bán kính r có gia tốc hướng vào tâm a = v²/r, nên cần một hợp lực hướng vào trong F = m·v²/r. Lực đó do một thứ có thật cung cấp: ma sát, lực căng, trọng lực hoặc phản lực pháp tuyến.
Chiều về phía tâm là dương.
Đáp số: v = 6,212 m/s
Nguyên lý công–năng: độ biến thiên động năng bằng công của mọi lực. Viết trọng lực và lò xo thành thế năng (mgh và ½kx²) biến nó thành một phương trình cân bằng: năng lượng ban đầu = năng lượng cuối + năng lượng mất do ma sát (μN·d).
Vật hạ xuống độ cao d·sin θ trong khi ma sát lấy đi μmg·cos θ·d. Khối lượng triệt tiêu.
Đáp số: x = 4,952 cm
Nguyên lý công–năng: độ biến thiên động năng bằng công của mọi lực. Viết trọng lực và lò xo thành thế năng (mgh và ½kx²) biến nó thành một phương trình cân bằng: năng lượng ban đầu = năng lượng cuối + năng lượng mất do ma sát (μN·d).
Mặt dốc nhẵn, nên chỉ có đoạn nhám lấy đi năng lượng.
Đáp số: v′2 = 18,33 m/s
Bảo toàn động lượng: khi không có ngoại lực tác dụng trong lúc va chạm, tổng động lượng Σm·v trước bằng tổng sau. Vận tốc có hướng, nên hãy chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các vận tốc ngược chiều. Trong va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn; trong va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật dính vào nhau.
Giải đồng thời bảo toàn động lượng và năng lượng cho hai kết quả này.
Đáp số: v′ = 7,906 m/s
Bảo toàn động lượng: khi không có ngoại lực tác dụng trong lúc va chạm, tổng động lượng Σm·v trước bằng tổng sau. Vận tốc có hướng, nên hãy chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các vận tốc ngược chiều. Trong va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn; trong va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật dính vào nhau.
Đáp số: v = 7,672 m/s
Quay quanh một trục cố định: tổng các mô-men quanh trục bằng I·α (ΣM = I·α), giống như ΣF = m·a cho chuyển động tịnh tiến. Ở dạng năng lượng, một mô-men T làm vật quay một góc θ (tính bằng radian) sinh công T·θ, làm thay đổi động năng ½·I·ω²; trọng lực thêm vào hoặc lấy đi m·g·Δh của khối tâm. Công suất là P = T·ω.
Đáp số: Erot = 112 J
Lăn và mô-men động lượng: vật lăn không trượt có v = ω·r, nên động năng của nó là ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Xuống dốc, điều đó cho a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Khi không có mô-men ngoại lực quanh một trục, mô-men động lượng quanh trục đó được bảo toàn, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, kể cả khi động năng bị mất.
Đáp số: N2 = 60
Hình học bánh răng: mô-đun m quyết định kích thước răng. Bánh răng có N răng có đường kính vòng chia d = m·N, hai bánh răng ăn khớp có cùng mô-đun, và khoảng cách trục của chúng là a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Vận tốc trên vòng chia là v = π·d·n/60, và lực vòng trên răng suy ra từ mô-men: Ft = 2T/d.
Đáp số: nout = 725 rpm
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
tỉ số truyền tổng = 4 : 1
Đáp số: T = 3,235 s
Dao động điều hòa: một vật khối lượng m trên lò xo độ cứng k dao động với tần số góc ω = √(k/m) và chu kỳ T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Một con lắc đơn chiều dài L có T = 2π·√(L/g). Với biên độ A, tốc độ lớn nhất là A·ω, gia tốc lớn nhất là A·ω² và năng lượng là ½·k·A².
Đáp số: vmax = 1,201 m/s
Dao động điều hòa: một vật khối lượng m trên lò xo độ cứng k dao động với tần số góc ω = √(k/m) và chu kỳ T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Một con lắc đơn chiều dài L có T = 2π·√(L/g). Với biên độ A, tốc độ lớn nhất là A·ω, gia tốc lớn nhất là A·ω² và năng lượng là ½·k·A².
Tốc độ lớn nhất tại vị trí cân bằng.
Đáp số: ζ = 0,1468
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Đáp số: keq = 22,22 kN/m
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics