Động lực học: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Động học

Vận tốc: v = v₀ + a·t
Độ dời: s = v₀·t + ½·a·t²
Không có thời gian: v² = v₀² + 2·a·s
Đơn vị: 1 m/s = 3,6 km/h

Phương pháp

Liệt kê những gì bạn biết: v₀, v, a, t và s, kèm đơn vị.
Chọn phương trình chứa ba đại lượng đã biết và ẩn số.
Chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các đại lượng ngược chiều.
Giải và kiểm tra xem đáp án có hợp lý về mặt vật lý không.

Các định luật Newton

Định luật hai: ΣF = m·a
Trọng lượng: W = m·g
Ma sát trượt: F_f = μ·N
Trên mặt dốc: dọc theo: m·g·sin θ, pháp tuyến: m·g·cos θ

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do với mọi lực tác dụng lên vật.
Chọn một chiều dương dọc theo chuyển động.
Phân tích các lực thành thành phần dọc và vuông góc với chuyển động (trên mặt dốc: m·g·sin θ dọc theo, m·g·cos θ vuông góc vào mặt dốc).
Áp dụng ΣF = m·a dọc theo chuyển động; ma sát là μ·N ngược chiều chuyển động.

Chuyển động ném

Các thành phần: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Vị trí: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Độ cao cực đại: H = h + v_y²/(2g)
Tầm xa (mặt đất bằng phẳng): R = v₀²·sin 2θ/g

Phương pháp

Phân tích vận tốc ban đầu thành các thành phần: v_x = v₀·cos θ và v_y = v₀·sin θ.
Chuyển động ngang có tốc độ không đổi; chuyển động thẳng đứng có gia tốc −g.
Tìm thời gian bay từ chuyển động thẳng đứng.
Dùng thời gian đó trong chuyển động ngang để tìm tầm xa.

Chuyển động tròn

Gia tốc hướng tâm: a = v²/r = ω²·r
Lực hướng tâm: F = m·v²/r
Tốc độ góc: ω = v/r = 2π/T
Đường cong phẳng, ma sát: v_max = √(μ·g·r)

Công và năng lượng

Động năng: E_k = ½mv²
Thế năng: E_p = mgh
Cân bằng năng lượng: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Công của lực ma sát: W = μ·N·d
Công suất: P = W/t

Động lượng và va chạm

Động lượng: p = m·v
Bảo toàn: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Va chạm hoàn toàn không đàn hồi: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Xung lượng: J = F·Δt = m·Δv

Phương pháp

Chọn một chiều dương và gán dấu cho từng vận tốc.
Viết tổng động lượng trước va chạm: Σm·v.
Với va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật chuyển động cùng nhau sau đó; với va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn.
Cho động lượng trước bằng động lượng sau và giải.

Chuyển động quay của vật rắn

Mô-men quán tính đối với G: thanh mL²/12, đĩa ½mR², vành mR², cầu đặc (2/5)mR², cầu rỗng (2/3)mR²
Định lý trục song song: I = I_G + m·d²
Bán kính quán tính: I = m·k²
Thanh đối với đầu của nó: I = mL²/3
Phương trình chuyển động: ΣM = I·α
Tốc độ theo rad/s: ω = 2π·n/60
Động năng: E = ½·I·ω²
Công và công suất: W = T·θ, P = T·ω
Lăn không trượt: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Mô-men động lượng: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Va chạm quanh một chốt: m·v·d = I·ω

Phương pháp

Chọn trục: một chốt cố định, hoặc khối tâm đối với các vật lăn.
Tìm mô-men quán tính đối với trục đó từ các kết quả chuẩn, dùng I = I_G + m·d² cho trục bị dời.
Chọn phương pháp: ΣM = I·α cho gia tốc và lực, năng lượng (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) cho tốc độ, mô-men động lượng cho va chạm và các thay đổi đột ngột.
Liên hệ chuyển động thẳng và chuyển động quay bằng v = ω·r và a = α·r, và đổi vòng/phút sang rad/s.

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Lò xo và con lắc

Vật nặng trên lò xo: T = 2π·√(m/k)
Con lắc: T = 2π·√(L/g)
Tần số góc: ω = √(k/m) = 2π/T
Tốc độ và gia tốc cực đại: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Năng lượng: E = ½·k·A²

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Động họcTrung bình

Một chiếc ô tô chạy với vận tốc 45 km/h phanh với gia tốc chậm dần không đổi 3 m/s² cho đến khi dừng. Tìm quãng đường phanh s.

v₀ = 45 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.Động họcKhó

Một quả bóng được ném thẳng đứng lên với 14 m/s từ mép một mái nhà cao 40 m so với mặt đất. Bỏ qua lực cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Sau khi ném bao lâu thì nó chạm đất? Tìm t.

v₀ = 14 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Các định luật NewtonTrung bình

Một thùng 40 kg được đẩy lên một dốc nghiêng 25° so với phương ngang với tốc độ không đổi, bởi một lực song song với dốc. Hệ số ma sát trượt là 0,4. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm lực đẩy F.

m = 40 kgθ = 25°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

F = N

4.Các định luật NewtonKhó

Một vật 7 kg trên bàn nằm ngang được nối bằng dây nhẹ vắt qua ròng rọc không ma sát với một khối lượng 4 kg treo. Hệ số ma sát trượt giữa vật và bàn là 0,25. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm gia tốc a của hệ.

m₁ = 7 kgm₂ = 4 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Chuyển động némTrung bình

Một quả bóng được đá từ mặt đất bằng phẳng với tốc độ 26 m/s và hợp góc 50° so với phương ngang về phía một bức tường cách 54 m. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Quả bóng đi qua bức tường ở độ cao y nào?

v₀ = 26 m/sθ = 50°x = 54 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Chuyển động némKhó

Một quả bóng được ném từ mặt đất với tốc độ 20 m/s và hợp góc 40° so với phương ngang. Nó rơi xuống mái bằng của một tòa nhà cao 5 m, trên đường đi xuống. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Tìm khoảng cách theo phương ngang x từ điểm ném đến nơi nó rơi xuống.

v₀ = 20 m/sθ = 40°h_roof = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Chuyển động trònTrung bình

Một chiếc ô tô đi qua khúc cua phẳng bán kính 30 m. Hệ số ma sát nghỉ giữa lốp và mặt đường là 0,7. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ lớn nhất v_max mà ô tô có thể vào cua mà không bị trượt.

r = 30 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Chuyển động trònKhó

Một đường cong bán kính 40 m được nghiêng 18°, và hệ số ma sát nghỉ giữa lốp và mặt đường là 0,15. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ nhỏ nhất v_min mà ô tô có thể đi qua đường cong mà không bị trượt xuống phía dưới.

r = 40 mθ = 18°μ_s = 0,15g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Công và năng lượngTrung bình

Một vật trượt từ trạng thái nghỉ xuống một mặt dốc nghiêng 25° so với phương ngang. Hệ số ma sát trượt là 0,15. Tìm tốc độ v của nó sau khi trượt 18 m dọc theo mặt dốc.

θ = 25°μ = 0,15d = 18 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Công và năng lượngKhó

Một khối 10 kg bắt đầu từ trạng thái nghỉ ở chân một dốc nghiêng 30° và bị kéo lên dốc bởi một lực không đổi 90 N song song với dốc. Hệ số ma sát trượt là 0,15. Tìm vận tốc v của khối sau khi nó đã đi được 7 m lên dốc.

m = 10 kgF = 90 Nθ = 30°μ = 0,15d = 7 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Động lượng và va chạmTrung bình

Một xe trượt 0,5 kg chạy với 7 m/s va chạm trực diện hoàn toàn đàn hồi với một xe trượt 4 kg đang đứng yên trên đường ray không ma sát. Tìm vận tốc v′₂ của xe trượt thứ hai sau va chạm.

m₁ = 0,5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Động lượng và va chạmKhó

Tại một ngã tư, một ô tô 1300 kg đi về phía đông với tốc độ 23 m/s va chạm với một ô tô 1900 kg đi về phía bắc với tốc độ 13 m/s. Hai xe dính vào nhau. Tìm hướng θ của đống đổ nát ngay sau va chạm, đo từ hướng đông về phía bắc.

m₁ = 1300 kgv₁ = 23 m/s (E)m₂ = 1900 kgv₂ = 13 m/s (N)

θ = °

13.Chuyển động quay của vật rắnTrung bình

Một động cơ đưa một bánh đà có mô-men quán tính 39,5 kg·m² từ trạng thái nghỉ lên 600 vòng/phút trong 24 s. Bỏ qua tổn hao, tìm công suất trung bình P_avg mà nó cung cấp, theo kW.

I = 39,5 kg·m²n = 600 rpmt = 24 s

P_avg = kW

14.Chuyển động quay của vật rắnKhó

Một vành mỏng lăn không trượt xuống một mặt dốc nghiêng 20° so với phương ngang. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm gia tốc a của tâm nó.

θ = 20°I = m·r²g = 9,81 m/s²

a = m/s²

15.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một động cơ 7,5 kW chạy ở 960 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 18 răng, ăn khớp với một bánh răng có 45 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 98%. Tìm mômen xoắn T₁ trên trục động cơ.

P = 7,5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 18N₂ = 45η = 98%

T₁ = N·m

16.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (20 răng) trên trục vào quay 1440 rpm dẫn động bánh răng B (45 răng). Bánh răng C (18 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (72 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra n_out.

n_in = 1440 rpmA = 20B = 45C = 18D = 72

n_out = rpm

17.Lò xo và con lắcTrung bình

Một con lắc đơn có chiều dài 1,5 m. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm chu kỳ T của nó với dao động nhỏ.

L = 1,5 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Lò xo và con lắcKhó

Một vật 2,5 kg được gắn vào đầu dưới của một lò xo thẳng đứng chưa giãn có k = 90 N/m và được thả từ trạng thái nghỉ. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ lớn nhất v_max của vật.

m = 2,5 kgk = 90 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 8 kg trên lò xo có độ cứng 2 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,7. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 8 kgk = 2 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

20.Dao động cơ họcKhó

Một vật 50 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 100 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 12 kN/m. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Động học

Đáp số: s = 26,04 m

Chuyển động với gia tốc không đổi: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² và v² = v₀² + 2·a·s. Chọn phương trình chứa ba đại lượng bạn biết và đại lượng bạn muốn tìm, và giữ dấu nhất quán với một chiều dương.

Đơn vị

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Quãng đường phanh

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·3) = 26,04 m

Đáp số

s = 26,04 m

2.Động học

Đáp số: t = 4,62 s

Phương trình chuyển động

Chiều lên là dương và mặt đất thấp hơn điểm xuất phát h₀.

−40 = 14·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 14·t − 40 = 0

Giải phương trình bậc hai

Chỉ nghiệm dương có ý nghĩa vật lý.

t = (14 + √(14² + 2·9,81·40))/9,81 = 4,62 s

Đáp số

t = 4,62 s

3.Các định luật Newton

Đáp số: F = 308,1 N

Định luật hai Newton: hợp lực tác dụng lên một vật bằng khối lượng nhân với gia tốc, ΣF = m·a. Vẽ sơ đồ vật thể tự do, chọn một chiều dương dọc theo chuyển động, và cộng mọi lực theo chiều đó: lực tác dụng, ma sát μ·N ngược chiều chuyển động, và các thành phần của trọng lực.

Các lực dọc theo mặt dốc

Tốc độ không đổi: các lực cân bằng.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Lực đẩy

F = 165,8 + 142,3 = 308,1 N

Đáp số

F = 308,1 N

4.Các định luật Newton

Đáp số: a = 2,007 m/s²

Gia tốc của hệ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 17,17)/11 = 2,007 m/s²

Đáp số

a = 2,007 m/s²

5.Chuyển động ném

Đáp số: y = 13,15 m

Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = v_xt và y = h + v_yt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.

Thời gian đến bức tường

v_x = 26·cos 50° = 16,71 m/s

t = x/v_x = 54/16,71 = 3,231 s

Độ cao tại thời điểm đó

y = 19,92·3,231 − ½·9,81·3,231² = 13,15 m

Đáp số

y = 13,15 m

Tại bức tường, quả bóng đã trên đường rơi xuống.

6.Chuyển động ném

Đáp số: x = 32,88 m

Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = v_xt và y = h + v_yt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.

Phân tích vận tốc ban đầu

v_x = 15,32 m/s, v_y = 12,86 m/s

Thời gian để rơi xuống mái nhà

Nghiệm lớn hơn: quả bóng đang đi xuống.

5 = 12,86·t − 4,905·t²

t = (12,86 + √(12,86² − 2·9,81·5))/9,81 = 2,146 s

Khoảng cách theo phương ngang

x = v_x·t = 15,32·2,146 = 32,88 m

Đáp số

x = 32,88 m

7.Chuyển động tròn

Đáp số: v_max = 14,35 m/s

Chuyển động tròn đều: một vật chuyển động với tốc độ v trên đường tròn bán kính r có gia tốc hướng vào tâm a = v²/r, nên cần một hợp lực hướng vào trong F = m·v²/r. Lực đó do một thứ có thật cung cấp: ma sát, lực căng, trọng lực hoặc phản lực pháp tuyến.

Ma sát cung cấp lực hướng tâm

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·30) = 14,35 m/s

Đáp số

v_max = 14,35 m/s (51,67 km/h)

8.Chuyển động tròn

Đáp số: v_min = 8,09 m/s

Các cân bằng lực

Ma sát hướng lên dốc.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

Tốc độ

v = √(40·9,81·0,1664/0,9974) = 8,09 m/s

Đáp số

v_min = 8,09 m/s

(29,12 km/h)

9.Công và năng lượng

Đáp số: v = 10,06 m/s

Nguyên lý công–năng: độ biến thiên động năng bằng công của mọi lực. Viết trọng lực và lò xo thành thế năng (mgh và ½kx²) biến nó thành một phương trình cân bằng: năng lượng ban đầu = năng lượng cuối + năng lượng mất do ma sát (μN·d).

Cân bằng năng lượng dọc mặt dốc

Vật hạ xuống độ cao d·sin θ trong khi ma sát lấy đi μmg·cos θ·d. Khối lượng triệt tiêu.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·18·(0,4226 − 0,15·0,9063)) = 10,06 m/s

Đáp số

v = 10,06 m/s

10.Công và năng lượng

Đáp số: v = 6,284 m/s

Các lực dọc theo mặt dốc

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 49,05 N

μ·mg·cos θ = 12,74 N

Công–năng lượng

½mv² = (90 − 61,79)·7 = 197,4 J

v = √(2·197,4/10) = 6,284 m/s

Đáp số

v = 6,284 m/s

11.Động lượng và va chạm

Đáp số: v′₂ = 1,556 m/s

Bảo toàn động lượng: khi không có ngoại lực tác dụng trong lúc va chạm, tổng động lượng Σm·v trước bằng tổng sau. Vận tốc có hướng, nên hãy chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các vận tốc ngược chiều. Trong va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn; trong va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật dính vào nhau.

Va chạm đàn hồi với vật bị va chạm đứng yên

Giải đồng thời bảo toàn động lượng và năng lượng cho hai kết quả này.

v′₁ = (0,5 − 4)/(0,5 + 4)·7 = −5,444 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 4)·7 = 1,556 m/s

Đáp số

v′₂ = 1,556 m/s

12.Động lượng và va chạm

Đáp số: θ = 39,56 °

Các thành phần động lượng

p_x = 1300·23 = 29900 kg·m/s

p_y = 1900·13 = 24700 kg·m/s

Hướng

tan θ = p_y/p_x = 0,8261 → θ = 39,56°

Đáp số

θ = 39,56°

13.Chuyển động quay của vật rắn

Đáp số: P_avg = 3,249 kW

Quay quanh một trục cố định: tổng các mô-men quanh trục bằng I·α (ΣM = I·α), giống như ΣF = m·a cho chuyển động tịnh tiến. Ở dạng năng lượng, một mô-men T làm vật quay một góc θ (tính bằng radian) sinh công T·θ, làm thay đổi động năng ½·I·ω²; trọng lực thêm vào hoặc lấy đi m·g·Δh của khối tâm. Công suất là P = T·ω.

Vận tốc góc

ω = 2π·600/60 = 62,83 rad/s

Năng lượng

E = ½·I·ω² = ½·39,5·62,83² = 77970 J

Công suất trung bình

P_avg = E/t = 77970/24 = 3249 W = 3,249 kW

Đáp số

P_avg = 3,249 kW

14.Chuyển động quay của vật rắn

Đáp số: a = 1,678 m/s²

Lăn và mô-men động lượng: vật lăn không trượt có v = ω·r, nên động năng của nó là ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Xuống dốc, điều đó cho a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Khi không có mô-men ngoại lực quanh một trục, mô-men động lượng quanh trục đó được bảo toàn, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, kể cả khi động năng bị mất.

Các phương trình chuyển động

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

Gia tốc

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 20°/2 = 1,678 m/s²

Đáp số

a = 1,678 m/s²

15.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T₁ = 74,6 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/100,5 = 74,6 N·m

Đáp số

T₁ = 74,6 N·m

16.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_out = 160 rpm

Cấp thứ nhất

n_B = 1440·20/45 = 640 rpm = n_C

Cấp thứ hai

n_out = 640·18/72 = 160 rpm

Đáp số

n_out = 160 rpm

tỉ số truyền tổng = 9 : 1

17.Lò xo và con lắc

Đáp số: T = 2,457 s

Dao động điều hòa: một vật khối lượng m trên lò xo độ cứng k dao động với tần số góc ω = √(k/m) và chu kỳ T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Một con lắc đơn chiều dài L có T = 2π·√(L/g). Với biên độ A, tốc độ lớn nhất là A·ω, gia tốc lớn nhất là A·ω² và năng lượng là ½·k·A².

Chu kỳ của con lắc

T = 2π·√(1,5/9,81) = 2,457 s

Đáp số

T = 2,457 s

18.Lò xo và con lắc

Đáp số: v_max = 1,635 m/s

Vị trí cân bằng và biên độ

x₀ = m·g/k = 2,5·9,81/90 = 0,2725 m = A

Tốc độ lớn nhất

Tốc độ lớn nhất tại vị trí cân bằng.

ω = √(90/2,5) = 6 rad/s

v_max = A·ω = 0,2725·6 = 1,635 m/s

Đáp số

v_max = 1,635 m/s

19.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 1,797 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(2000/8) = 15,81 rad/s

f_n = 15,81/(2π) = 2,516 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,516·√(1 − 0,7²) = 1,797 Hz

Đáp số

f_d = 1,797 Hz

20.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 10,71 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/12 → k_eq = 100·12/(100 + 12) = 10,71 kN/m

Đáp số

k_eq = 10,71 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics