Động lực học: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Động học

Vận tốc: v = v₀ + a·t
Độ dời: s = v₀·t + ½·a·t²
Không có thời gian: v² = v₀² + 2·a·s
Đơn vị: 1 m/s = 3,6 km/h

Phương pháp

Liệt kê những gì bạn biết: v₀, v, a, t và s, kèm đơn vị.
Chọn phương trình chứa ba đại lượng đã biết và ẩn số.
Chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các đại lượng ngược chiều.
Giải và kiểm tra xem đáp án có hợp lý về mặt vật lý không.

Các định luật Newton

Định luật hai: ΣF = m·a
Trọng lượng: W = m·g
Ma sát trượt: F_f = μ·N
Trên mặt dốc: dọc theo: m·g·sin θ, pháp tuyến: m·g·cos θ

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do với mọi lực tác dụng lên vật.
Chọn một chiều dương dọc theo chuyển động.
Phân tích các lực thành thành phần dọc và vuông góc với chuyển động (trên mặt dốc: m·g·sin θ dọc theo, m·g·cos θ vuông góc vào mặt dốc).
Áp dụng ΣF = m·a dọc theo chuyển động; ma sát là μ·N ngược chiều chuyển động.

Chuyển động ném

Các thành phần: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Vị trí: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Độ cao cực đại: H = h + v_y²/(2g)
Tầm xa (mặt đất bằng phẳng): R = v₀²·sin 2θ/g

Phương pháp

Phân tích vận tốc ban đầu thành các thành phần: v_x = v₀·cos θ và v_y = v₀·sin θ.
Chuyển động ngang có tốc độ không đổi; chuyển động thẳng đứng có gia tốc −g.
Tìm thời gian bay từ chuyển động thẳng đứng.
Dùng thời gian đó trong chuyển động ngang để tìm tầm xa.

Chuyển động tròn

Gia tốc hướng tâm: a = v²/r = ω²·r
Lực hướng tâm: F = m·v²/r
Tốc độ góc: ω = v/r = 2π/T
Đường cong phẳng, ma sát: v_max = √(μ·g·r)

Công và năng lượng

Động năng: E_k = ½mv²
Thế năng: E_p = mgh
Cân bằng năng lượng: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Công của lực ma sát: W = μ·N·d
Công suất: P = W/t

Động lượng và va chạm

Động lượng: p = m·v
Bảo toàn: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Va chạm hoàn toàn không đàn hồi: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Xung lượng: J = F·Δt = m·Δv

Phương pháp

Chọn một chiều dương và gán dấu cho từng vận tốc.
Viết tổng động lượng trước va chạm: Σm·v.
Với va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật chuyển động cùng nhau sau đó; với va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn.
Cho động lượng trước bằng động lượng sau và giải.

Chuyển động quay của vật rắn

Mô-men quán tính đối với G: thanh mL²/12, đĩa ½mR², vành mR², cầu đặc (2/5)mR², cầu rỗng (2/3)mR²
Định lý trục song song: I = I_G + m·d²
Bán kính quán tính: I = m·k²
Thanh đối với đầu của nó: I = mL²/3
Phương trình chuyển động: ΣM = I·α
Tốc độ theo rad/s: ω = 2π·n/60
Động năng: E = ½·I·ω²
Công và công suất: W = T·θ, P = T·ω
Lăn không trượt: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Mô-men động lượng: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Va chạm quanh một chốt: m·v·d = I·ω

Phương pháp

Chọn trục: một chốt cố định, hoặc khối tâm đối với các vật lăn.
Tìm mô-men quán tính đối với trục đó từ các kết quả chuẩn, dùng I = I_G + m·d² cho trục bị dời.
Chọn phương pháp: ΣM = I·α cho gia tốc và lực, năng lượng (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) cho tốc độ, mô-men động lượng cho va chạm và các thay đổi đột ngột.
Liên hệ chuyển động thẳng và chuyển động quay bằng v = ω·r và a = α·r, và đổi vòng/phút sang rad/s.

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Lò xo và con lắc

Vật nặng trên lò xo: T = 2π·√(m/k)
Con lắc: T = 2π·√(L/g)
Tần số góc: ω = √(k/m) = 2π/T
Tốc độ và gia tốc cực đại: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Năng lượng: E = ½·k·A²

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Động họcTrung bình

Một chiếc ô tô chạy với vận tốc 90 km/h phanh với gia tốc chậm dần không đổi 4,5 m/s² cho đến khi dừng. Tìm quãng đường phanh s.

v₀ = 90 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

s = m

2.Động họcKhó

Một quả bóng được ném thẳng đứng lên với 17 m/s từ mép một mái nhà cao 15 m so với mặt đất. Bỏ qua lực cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Tìm độ cao lớn nhất h_max so với mặt đất.

v₀ = 17 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Các định luật NewtonTrung bình

Một vật 14 kg trượt xuống một mặt dốc nghiêng 30° so với phương ngang. Hệ số ma sát trượt là 0,3. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm gia tốc a của vật dọc theo mặt dốc.

m = 14 kgθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Các định luật NewtonKhó

Một khối 2 kg trên dốc nghiêng 35° được nối bằng một sợi dây nhẹ qua một ròng rọc không ma sát ở đỉnh dốc với một vật treo 6 kg. Vật treo đi xuống. Hệ số ma sát trượt giữa khối và dốc là 0,2. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm lực căng T của dây.

m₁ = 2 kgm₂ = 6 kgθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Chuyển động némTrung bình

Một quả bóng được đá từ mặt đất bằng phẳng với tốc độ 30 m/s và hợp góc 35° so với phương ngang về phía một bức tường cách 34 m. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Quả bóng đi qua bức tường ở độ cao y nào?

v₀ = 30 m/sθ = 35°x = 34 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Chuyển động némKhó

Một quả bóng được phóng với tốc độ 25 m/s và hợp góc 15° so với phương ngang từ đỉnh một vách đá cao 40 m. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ v khi nó chạm đất.

v₀ = 25 m/sθ = 15°h = 40 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Chuyển động trònTrung bình

Một chiếc ô tô đi qua khúc cua phẳng bán kính 65 m. Hệ số ma sát nghỉ giữa lốp và mặt đường là 0,5. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ lớn nhất v_max mà ô tô có thể vào cua mà không bị trượt.

r = 65 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Chuyển động trònKhó

Một quả bóng 0,4 kg buộc vào sợi dây dài 1,2 m được quay trong mặt phẳng thẳng đứng. Ở điểm thấp nhất nó chuyển động với 4,5 m/s. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm lực căng T của dây ở điểm thấp nhất.

m = 0,4 kgr = 1,2 mv = 4,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Công và năng lượngTrung bình

Một vật trượt từ trạng thái nghỉ xuống một mặt dốc nghiêng 35° so với phương ngang. Hệ số ma sát trượt là 0,4. Tìm tốc độ v của nó sau khi trượt 4 m dọc theo mặt dốc.

θ = 35°μ = 0,4d = 4 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Công và năng lượngKhó

Một vật 10 kg được thả từ trạng thái nghỉ ở độ cao 5 m trên một mặt dốc nhẵn. Ở chân dốc, nó đi qua một đoạn ngang nhám dài 5 m (μ = 0,1) rồi chạy vào một lò xo (k = 1000 N/m) trên mặt nhẵn. Tìm độ nén cực đại x của lò xo.

m = 10 kgh = 5 mL = 5 mμ = 0,1k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Động lượng và va chạmTrung bình

Một xe trượt 0,5 kg chạy với 8 m/s va chạm trực diện hoàn toàn đàn hồi với một xe trượt 3 kg đang đứng yên trên đường ray không ma sát. Tìm vận tốc v′₁ của xe trượt thứ nhất sau va chạm (dương theo chiều ban đầu của nó).

m₁ = 0,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Động lượng và va chạmKhó

Một viên đạn 15 g được bắn theo phương ngang vào một khối 1,5 kg treo trên các sợi dây nhẹ dài 0,5 m, và nằm lại trong đó. Các sợi dây đung đưa ra góc lớn nhất 20° so với phương thẳng đứng. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ v của viên đạn trước khi va chạm.

m = 15 gM = 1,5 kgL = 0,5 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Chuyển động quay của vật rắnTrung bình

Một trục truyền 188,5 kW ở 500 vòng/phút. Tìm mô-men xoắn T trong trục.

P = 188,5 kWn = 500 rpm

T = N·m

14.Chuyển động quay của vật rắnKhó

Một đĩa đặc đồng chất (khối lượng 6 kg, bán kính 0,45 m) quay tự do với 200 vòng/phút quanh một trục thẳng đứng không ma sát. Một vành mỏng khối lượng 3 kg có cùng bán kính được thả từ trạng thái nghỉ xuống đĩa, đồng tâm với trục, và cả hai nhanh chóng quay cùng nhau. Tìm tốc độ chung n₂ của chúng theo vòng/phút.

M_disc = 6 kgM_ring = 3 kgR = 0,45 mn₁ = 200 rpm

n₂ = rpm

15.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một puli 125 mm ở 1440 vòng/phút dẫn động một puli 400 mm bằng dây đai với độ trượt 2,5 %. Tìm tốc độ n₂ của puli bị dẫn.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 400 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

16.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (48 răng) trên trục vào quay 2900 rpm dẫn động bánh răng B (50 răng). Bánh răng C (60 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (80 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra n_out.

n_in = 2900 rpmA = 48B = 50C = 60D = 80

n_out = rpm

17.Lò xo và con lắcTrung bình

Một con lắc đơn phải dài bao nhiêu để có chu kỳ 0,9 s? Dùng g = 9,81 m/s². Tìm L.

T = 0,9 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Lò xo và con lắcKhó

Một vật 2,8 kg trên lò xo có k = 270 N/m được kéo lệch 13 cm khỏi vị trí cân bằng rồi thả ra. Tìm tổng năng lượng E của dao động.

m = 2,8 kgk = 270 N/mA = 13 cm

E = J

19.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 250 kg trên lò xo có độ cứng 100 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,5. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 250 kgk = 100 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

20.Dao động cơ họcKhó

Một vật 25 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 50 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 80 kN/m. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Động học

Đáp số: s = 69,44 m

Chuyển động với gia tốc không đổi: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² và v² = v₀² + 2·a·s. Chọn phương trình chứa ba đại lượng bạn biết và đại lượng bạn muốn tìm, và giữ dấu nhất quán với một chiều dương.

Đơn vị

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Quãng đường phanh

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·4,5) = 69,44 m

Đáp số

s = 69,44 m

2.Động học

Đáp số: h_max = 29,73 m

Độ cao đạt thêm so với mái nhà

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9,81) = 14,73 m

Độ cao so với mặt đất

h_max = 15 + 14,73 = 29,73 m

Đáp số

h_max = 29,73 m

3.Các định luật Newton

Đáp số: a = 2,356 m/s²

Định luật hai Newton: hợp lực tác dụng lên một vật bằng khối lượng nhân với gia tốc, ΣF = m·a. Vẽ sơ đồ vật thể tự do, chọn một chiều dương dọc theo chuyển động, và cộng mọi lực theo chiều đó: lực tác dụng, ma sát μ·N ngược chiều chuyển động, và các thành phần của trọng lực.

Các lực dọc theo mặt dốc

Chiều xuống dốc là dương.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Gia tốc

a = 9,81·(sin 30° − 0,3·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,2598) = 2,356 m/s²

Đáp số

a = 2,356 m/s²

4.Các định luật Newton

Đáp số: T = 25,57 N

Các lực dọc theo dây

m₂·g = 58,86 N

m₁·g·sin θ = 11,25 N

μ·m₁·g·cos θ = 3,214 N

Gia tốc của hệ

a = (58,86 − 11,25 − 3,214)/8 = 5,549 m/s²

Lực căng từ vật treo

m₂·g − T = m₂·a → T = 6·(9,81 − 5,549) = 25,57 N

Đáp số

T = 25,57 N

5.Chuyển động ném

Đáp số: y = 14,42 m

Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = v_xt và y = h + v_yt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.

Thời gian đến bức tường

v_x = 30·cos 35° = 24,57 m/s

t = x/v_x = 34/24,57 = 1,384 s

Độ cao tại thời điểm đó

y = 17,21·1,384 − ½·9,81·1,384² = 14,42 m

Đáp số

y = 14,42 m

Tại bức tường, quả bóng vẫn đang đi lên.

6.Chuyển động ném

Đáp số: v = 37,55 m/s

Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = v_xt và y = h + v_yt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.

Phân tích vận tốc ban đầu

v_x = 25·cos 15° = 24,15 m/s

v_y0 = 25·sin 15° = 6,47 m/s

Tốc độ thẳng đứng khi chạm đất

Năng lượng hoặc v² = v₀² + 2as theo phương thẳng đứng.

v_y = √(6,47² + 2·9,81·40) = 28,75 m/s

Tốc độ khi chạm nước

v = √(24,15² + 28,75²) = 37,55 m/s

Đáp số

v = 37,55 m/s

Kiểm tra bằng năng lượng: v² = v₀² + 2gh.

7.Chuyển động tròn

Đáp số: v_max = 17,86 m/s

Chuyển động tròn đều: một vật chuyển động với tốc độ v trên đường tròn bán kính r có gia tốc hướng vào tâm a = v²/r, nên cần một hợp lực hướng vào trong F = m·v²/r. Lực đó do một thứ có thật cung cấp: ma sát, lực căng, trọng lực hoặc phản lực pháp tuyến.

Ma sát cung cấp lực hướng tâm

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·65) = 17,86 m/s

Đáp số

v_max = 17,86 m/s (64,28 km/h)

8.Chuyển động tròn

Đáp số: T = 10,67 N

Các lực ở điểm thấp nhất

Hướng về tâm (lên) là dương.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,4·9,81 + 0,4·4,5²/1,2 = 3,924 + 6,75 = 10,67 N

Đáp số

T = 10,67 N

9.Công và năng lượng

Đáp số: v = 4,393 m/s

Nguyên lý công–năng: độ biến thiên động năng bằng công của mọi lực. Viết trọng lực và lò xo thành thế năng (mgh và ½kx²) biến nó thành một phương trình cân bằng: năng lượng ban đầu = năng lượng cuối + năng lượng mất do ma sát (μN·d).

Cân bằng năng lượng dọc mặt dốc

Vật hạ xuống độ cao d·sin θ trong khi ma sát lấy đi μmg·cos θ·d. Khối lượng triệt tiêu.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·4·(0,5736 − 0,4·0,8192)) = 4,393 m/s

Đáp số

v = 4,393 m/s

10.Công và năng lượng

Đáp số: x = 93,96 cm

Năng lượng còn lại sau đoạn nhám

Mặt dốc nhẵn, nên chỉ có đoạn nhám lấy đi năng lượng.

mgh − μmgL = 98,1·(5 − 0,1·5) = 441,5 J

Độ nén cực đại

½kx² = 441,5 → x = √(2·441,5/1000) = 0,9396 m = 93,96 cm

Đáp số

x = 93,96 cm

11.Động lượng và va chạm

Đáp số: v′₁ = −5,714 m/s

Bảo toàn động lượng: khi không có ngoại lực tác dụng trong lúc va chạm, tổng động lượng Σm·v trước bằng tổng sau. Vận tốc có hướng, nên hãy chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các vận tốc ngược chiều. Trong va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn; trong va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật dính vào nhau.

Va chạm đàn hồi với vật bị va chạm đứng yên

Giải đồng thời bảo toàn động lượng và năng lượng cho hai kết quả này.

v′₁ = (0,5 − 3)/(0,5 + 3)·8 = −5,714 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 3)·8 = 2,286 m/s

Đáp số

v′₁ = −5,714 m/s

Dấu trừ nghĩa là xe trượt thứ nhất bật ngược lại.

12.Động lượng và va chạm

Đáp số: v = 77,69 m/s

Độ nâng lên của khối

h = L·(1 − cos θ) = 0,5·(1 − cos 20°) = 0,03015 m

Tốc độ sau va chạm

V = √(2·9,81·0,03015) = 0,7692 m/s

Va chạm

v = (m + M)·V/m = 1,515·0,7692/0,015 = 77,69 m/s

Đáp số

v = 77,69 m/s

13.Chuyển động quay của vật rắn

Đáp số: T = 3600 N·m

Quay quanh một trục cố định: tổng các mô-men quanh trục bằng I·α (ΣM = I·α), giống như ΣF = m·a cho chuyển động tịnh tiến. Ở dạng năng lượng, một mô-men T làm vật quay một góc θ (tính bằng radian) sinh công T·θ, làm thay đổi động năng ½·I·ω²; trọng lực thêm vào hoặc lấy đi m·g·Δh của khối tâm. Công suất là P = T·ω.

Vận tốc góc

ω = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

Mômen xoắn

T = P/ω = 188500/52,36 = 3600 N·m

Đáp số

T = 3600 N·m

14.Chuyển động quay của vật rắn

Đáp số: n₂ = 100 rpm

Lăn và mô-men động lượng: vật lăn không trượt có v = ω·r, nên động năng của nó là ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Xuống dốc, điều đó cho a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Khi không có mô-men ngoại lực quanh một trục, mô-men động lượng quanh trục đó được bảo toàn, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, kể cả khi động năng bị mất.

Mô-men quán tính

I₁ = ½·6·0,45² = 0,6075 kg·m²

I₂ = 3·0,45² = 0,6075 kg·m²

Bảo toàn mô-men động lượng

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 200·0,6075/1,215 = 100 rpm

Đáp số

n₂ = 100 rpm

15.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n₂ = 438,8 rpm

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ khi không trượt

1440·125/400 = 450 rpm

Khi có trượt

n₂ = 450·0,975 = 438,8 rpm

Đáp số

n₂ = 438,8 rpm

16.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_out = 2088 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

n_B = 2900·48/50 = 2784 rpm = n_C

Cấp thứ hai

n_out = 2784·60/80 = 2088 rpm

Đáp số

n_out = 2088 rpm

tỉ số truyền tổng = 1,389 : 1

17.Lò xo và con lắc

Đáp số: L = 0,2013 m

Dao động điều hòa: một vật khối lượng m trên lò xo độ cứng k dao động với tần số góc ω = √(k/m) và chu kỳ T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Một con lắc đơn chiều dài L có T = 2π·√(L/g). Với biên độ A, tốc độ lớn nhất là A·ω, gia tốc lớn nhất là A·ω² và năng lượng là ½·k·A².

Giải tìm chiều dài

L = g·(T/2π)² = 9,81·(0,9/2π)² = 0,2013 m

Đáp số

L = 0,2013 m

18.Lò xo và con lắc

Đáp số: E = 2,282 J

Tần số góc

ω = √(270/2,8) = 9,82 rad/s

Năng lượng

E = ½·k·A² = ½·270·0,13² = 2,282 J

Đáp số

E = 2,282 J

19.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 2,757 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(100000/250) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3,183 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,183·√(1 − 0,5²) = 2,757 Hz

Đáp số

f_d = 2,757 Hz

20.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 5,584 Hz

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/80 → k_eq = 50·80/(50 + 80) = 30,77 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(30769/25) = 35,08 rad/s

f_n = 35,08/(2π) = 5,584 Hz

Đáp số

f_n = 5,584 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics