Luyện thi FE Xây dựng: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 30 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ứng suất hữu hiệu trong đất

Ứng suất toàn phần: σ = Σγ_i·h_i
Áp suất nước lỗ rỗng: u = γ_w·(z − z_w)
Ứng suất hữu hiệu: σ′ = σ − u
Nước: γ_w = 9,81 kN/m³

Lún cố kết

Cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Ứng suất cuối: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Quá cố kết, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Quá cố kết, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Tỉ số quá cố kết: OCR = σ′_p/σ′₀
Thời gian cố kết: t = T_v·H_dr²/c_v
Đường thoát nước: H_dr = H/2 (thoát nước hai phía), H (thoát nước một phía)
Nhân tố thời gian: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Lực thủy tĩnh

Áp suất tại độ sâu: p = ρgh
Lực lên tường thẳng đứng: F = ρg·h_c·A
Tâm áp lực: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Hình chữ nhật: I_c = bH³/12

Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Số Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Chế độ chảy: chảy tầng dưới Re ≈ 2000, chảy rối trên Re ≈ 4000
Vận tốc trung bình: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Tổn thất cục bộ: h_m = ΣK·V²/(2g)
Giá trị K thường gặp: lối vào 0,5, lối ra 1,0, khúc cua 90° ≈ 0,3
Độ giảm áp suất: Δp = ρ·g·h_f
Hai bể chứa hở: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Cửa ra tự do: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Dòng chảy hở (Manning)

Phương trình Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Lưu lượng: Q = A·V
Bán kính thủy lực: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y
Hình thang (mái dốc z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Ống tròn, đầy hoặc đầy một nửa: R = D/4
Độ dốc yêu cầu: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Máy bơm và công suất bơm

Công suất thủy lực: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Công suất trên trục: P_shaft = P_h/η_pump
Công suất điện: P_el = P_shaft/η_motor
Cột áp của bơm: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Tổn thất của hệ thống: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm công-xôn được ngàm vào tường tại A. Nó chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại vị trí cách tường 8 m. Tìm phản lực thẳng đứng R_A tại tường.

L = 8 mP = 75 kN tại 8 mw = 8 kN/m từ 0 đến 8 m

R_A = kN

2.Phản lực gối của dầmKhó

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_B.

L = 5 mP = 10 kN tại 3 mw = 10 kN/m từ 1 đến 3 m

R_B = kN

3.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 4 mchiều cao = 2 mB cách A 3 mtải thẳng đứng = 60 kN

F_AB = kN

4.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

D: 20 kN ↓F: 20 kN ↓H: 20 kN ↓H: 20 kN ←

1thanh AB
2thanh BC
3thanh CD
4thanh DE
5thanh FG
6thanh GH
7thanh AF
8thanh HE
9thanh BF
10thanh CG
11thanh DH
12thanh BG
13thanh DG

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 7,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 10 mw = 6 kN/m từ 0 đến 10 mx = 7,5 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất M_max trong dầm.

L = 10 mP = 70 kN tại 4 mw = 5 kN/m từ 0 đến 10 m

M_max = kN·m

7.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 1 m. Tìm độ võng δ_P dưới tải.

P = 29 kNa = 1 mL = 3 mE = 200 GPa (thép)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Độ võng của dầmKhó

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài. EI không đổi. Tìm độ lớn của mô-men uốn M_A tại đầu ngàm.

L = 3 mw = 8 kN/m

M_A = kN·m

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tiết diện chữ U đặt với mặt hở hướng lên: một bản đáy rộng 160 mm với hai cánh đứng, tổng chiều cao 80 mm. Đáy và các cánh đều dày 8 mm. Tìm độ cao ȳ của trọng tâm so với cạnh đáy.

b = 160 mmh = 80 mmt = 8 mm

ȳ = mm

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 15 kN·m. Tìm ứng suất uốn σ_dưới ở mép dưới.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mmM = 15 kN·m

σ_dưới = MPa

13.Ứng suất hữu hiệu trong đấtTrung bình

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất toàn phần theo phương thẳng đứng σ tại điểm X.

z = 10 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 16 kN/m³cát: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ = kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đấtKhó

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất toàn phần theo phương thẳng đứng σ tại điểm X.

z = 5,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 15,5 kN/m³cát: γ_sat = 19 kN/m³sét: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

15.Lún cố kếtTrung bình

Một lớp sét quá cố kết dày 7,5 m có C_c = 0,45, C_r = 0,04 và e₀ = 0,9. Ở độ sâu giữa lớp, ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng là 65 kPa và áp lực tiền cố kết là 155 kPa. Một tòa nhà mới thêm 100 kPa ứng suất thẳng đứng ở độ sâu giữa lớp. Tìm độ lún cố kết sơ cấp S theo mm.

H = 7,5 mC_c = 0,45C_r = 0,04e₀ = 0,9σ′₀ = 65 kPaσ′_p = 155 kPaΔσ = 100 kPa

S = mm

16.Lún cố kếtKhó

Trong thí nghiệm nén cố kết oedometer ở phòng thí nghiệm, một mẫu sét dày 19 mm, thoát nước ở đỉnh và đáy, đạt 50% cố kết sau 12 phút. Ngoài hiện trường, cùng loại sét đó tạo thành một lớp dày 3 m. Nó nằm giữa hai lớp cát, nên nước thoát ra ở đỉnh và đáy. Lớp ngoài hiện trường mất bao nhiêu ngày t để đạt 50% cố kết?

h_lab = 19 mmt_lab = 12 minH = 3 mhiện trường: thoát nước hai phía

t = ngày

17.Lực thủy tĩnhTrung bình

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 0,5 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Lực thủy tĩnhKhó

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1 m nằm trong thành bể chứa nước biển, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 1 m. Tìm độ sâu y_cp của tâm áp lực dưới mặt thoáng.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápTrung bình

Nước chảy với vận tốc trung bình 2,5 m/s qua một ống dài 400 m, đường kính trong 75 mm. Dùng hệ số ma sát Darcy f = 0,03 và g = 9,81 m/s². Tìm tổn thất cột áp do ma sát h_f.

V = 2,5 m/sL = 400 mD = 75 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápKhó

Hai bể chứa hở được nối bằng một ống dài 150 m, đường kính trong 100 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,018. Mặt nước của bể trên cao hơn bể dưới 19 m. Các tổn thất cục bộ là lối vào cạnh vuông (K = 0,5), 2 khúc cua (K = 0,3 mỗi khúc), một van (K = 2) và lối ra vào bể thấp hơn (K = 1,0). Dùng g = 9,81 m/s². Tìm lưu lượng Q theo L/s.

Δz = 19 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Dòng chảy hở (Manning)Trung bình

Một kênh đất sạch hình thang có chiều rộng đáy 5,5 m và mái dốc 2:1 (ngang:đứng). Nước chảy đều sâu 0,7 m. Hệ số Manning n = 0,022 và độ dốc đáy là S = 0,0008. Tìm lưu lượng Q theo m³/s.

b = 5,5 my = 0,7 mz = 2n = 0,022S = 0,0008

Q = m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)Khó

Một cống bê tông có đường kính trong 450 mm (hệ số Manning n = 0,013) phải đạt vận tốc tự làm sạch 0,9 m/s khi chảy vừa đầy. Tìm độ dốc tối thiểu S (theo m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.Máy bơm và công suất bơmTrung bình

Một máy bơm có hiệu suất 65% cấp 30 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) ngược với cột áp 68 m. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm công suất trên trục P_shaft cần thiết, theo kW.

Q = 30 L/sH = 68 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Máy bơm và công suất bơmKhó

Một máy bơm chuyển 40 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) từ một bể hở phía dưới lên một bồn phía trên có mặt nước cao hơn 13 m. Ống dài 200 m, đường kính trong 150 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,015; các hệ số tổn thất cục bộ cộng lại là ΣK = 4 (đã gồm lối vào và lối ra). Dùng g = 9,81 m/s². Bồn phía trên đóng kín và không khí phía trên nước ở áp suất dư 200 kPa. Tìm cột áp H mà bơm phải bổ sung.

Q = 40 L/sΔz = 13 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 4p_tank = 200 kPa

H = m

25.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn đầu tư €10 000 với lãi suất 4% mỗi năm ghép lãi liên tục. Tìm giá trị FV sau 13 năm.

PV = €10 000r = 4%t = 13

FV = €

26.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Một khoản vay thế chấp €250 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 20 năm với lãi suất 2,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Ngay sau khoản thanh toán cuối năm 9 còn nợ bao nhiêu? Tìm số dư nợ B.

P = €250 0002,4% / 12N = 240k = 108

B = €

27.NPV và IRRTrung bình

Một dự án tốn €30 000 hôm nay và mang về €12 500, €9 500, €9 500, €8 500, €13 000, €9 500 vào cuối các năm từ 1 đến 6. Chi phí vốn là 10%. Giả sử các dòng tiền đến đều đặn trong mỗi năm. Tìm thời gian hoàn vốn có chiết khấu DPB theo năm.

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 12 500CF₂ = 9 500CF₃ = 9 500CF₄ = 8 500CF₅ = 13 000CF₆ = 9 500

DPB = năm

28.NPV và IRRKhó

Dự án A tốn €40 000 và mang về €22 500, €16 000, €8 500 vào cuối các năm từ 1 đến 3. Dự án B tốn €42 000 và mang về €11 000, €16 500, €23 000. Tìm tỉ suất giao nhau r* mà tại đó hai dự án có cùng NPV, theo phần trăm.

A: −40 000, 22 500, 16 000, 8 500B: −42 000, 11 000, 16 500, 23 000

r* = %

29.Phân phối chuẩnTrung bình

tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tỉ lệ nào nằm giữa 490 và 580 h? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 500σ = 40x₁ = 490x₂ = 580

P =

30.Phân phối chuẩnKhó

tuổi thọ pin tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Kéo ngưỡng sao cho 95% thấp nhất được tô bóng nằm bên trái nó. Tìm ngưỡng x.

μ = 500 hσ = 40 h95%

x = h

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = 139 kN

Cân bằng của dầm công-xôn: một gối ngàm có thể đẩy lên và còn chống lại sự quay, nên nó cho một phản lực thẳng đứng R_A và một mô-men phản lực M_A. ΣF_y = 0 cho R_A, và mô-men đối với tường cho M_A = Σ(tải × khoảng cách đến tường). Tải phân bố tác dụng như hợp lực của nó tại trọng tâm của biểu đồ tải.

Hợp lực của tải phân bố

W = 8·8 = 64 kN, x̄ = 4 m

Cân bằng theo phương thẳng đứng

R_A = P + W = 75 + 64 = 139 kN

Đáp số

R_A = 139 kN

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_B = 14 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, đặt tại x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3 + 10·2·2

R_B = 70/5 = 14 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 14 = 16 kN

Đáp số

R_B = 14 kN

3.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AB = −27,04 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·3 → C_y = 45 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 45 = 15 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −15/0,5547 = −27,04 kN

Đáp số

F_AB = −27,04 kN (nén)

4.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh CG

Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.

Nút C

BC và CD nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 3,75 kN (T), BC: 12,5 kN (T), CD: 12,5 kN (T), DE: 21,25 kN (T), FG: 23,75 kN (C), GH: 41,25 kN (C), AF: 39,58 kN (C), HE: 35,42 kN (C), BF: 11,67 kN (T), CG: 0, DH: 8,333 kN (T), BG: 14,58 kN (C), DG: 14,58 kN (T)

Đáp số

Thanh không lực: CG

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 56,25 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, đặt tại x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Cắt tại x = 7,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 30·7,5 − 6·7,5·3,75 = 56,25 kN·m

Đáp số

M_x = 56,25 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 228 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, đặt tại x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 70·4 + 5·10·5

R_B = 530/10 = 53 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 53 = 67 kN

V = 0 ở đâu?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 47 kN

V(4⁺) = 47 − 70 = −23 kN

Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 67·4 − 5·4²/2 = 228 kN·m

Đáp số

M_max = 228 kN·m

Nó xảy ra tại x = 4 m tính từ A.

7.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_P = 7,582 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 29000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Độ võng dưới tải

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 29000·1000²·2000²/(3·1,7 × 10¹²·3000) = 7,582 mm

Đáp số

δ_P = 7,582 mm

8.Độ võng của dầm

Đáp số: M_A = 9 kN·m

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống R_B nâng đầu tự do lên một đoạn R_BL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·3/8 = 9 kN

Mô-men tại đầu ngàm

Mô-men đối với A của các tải và lực chống.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 36 − 27 = 9 kN·m

Đáp số

M_A = 9 kN·m

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 4,858 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·4000 = 4000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/4000² = 4858 N = 4,858 kN

Đáp số

P_cr = 4,858 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 6,94 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/15 = 533,3

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa

Đáp số

σ_cr = 6,94 MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: ȳ = 22,95 mm

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành các hình chữ nhật

Lấy đáy với toàn bộ chiều rộng và hai cánh phía trên nó (cao h − t), để không có phần nào bị tính hai lần.

nền: A₁ = 160·8 = 1280 mm², y₁ = 4 mm

hai cánh: A₂ = 2·8·72 = 1152 mm², y₂ = 8 + 72/2 = 44 mm

Trọng tâm

ȳ = (1280·4 + 1152·44)/2432 = 22,95 mm

Đáp số

ȳ = 22,95 mm

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_dưới = 45,87 MPa

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

bụng: A_w = 12·300 = 3600 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·310 + 3600·150)/8000 = 238 mm

Định lý trục song song

cánh: 220·20³/12 + 4400·(310 − 238)² = 2,296 × 10⁷ mm⁴

bụng: 12·300³/12 + 3600·(150 − 238)² = 5,488 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,296 × 10⁷ + 5,488 × 10⁷ = 7,783 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép dưới cách trục ȳ.

y = 238 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·238/7,783 × 10⁷ = 45,87 MPa

Đáp số

σ_dưới = 45,87 MPa

13.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ = 184,5 kPa

Ứng suất hữu hiệu (Terzaghi): khung hạt đất chịu σ′ = σ − u. Ứng suất toàn phần σ là trọng lượng của mọi thứ phía trên điểm đó, Σγ·h, dùng trọng lượng riêng khô phía trên mực nước ngầm và trọng lượng riêng bão hòa phía dưới. Dưới mực nước ngầm, áp suất nước lỗ rỗng là thủy tĩnh: u = γ_w·(độ sâu dưới mực nước ngầm).

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·3 + 19,5·7 = 184,5 kPa

Đáp số

σ = 184,5 kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ = 101 kPa

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2,5

σ = 15,5·1 + 19·2 + 19·2,5 = 101 kPa

Đáp số

σ = 101 kPa

15.Lún cố kết

Đáp số: S = 107,8 mm

Cố kết sơ cấp của một lớp sét dày H, dùng ứng suất hữu hiệu ở giữa lớp: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Sét cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Sét quá cố kết nén lại theo C_r đến áp lực tiền cố kết σ′_p và chỉ theo C_c sau đó. Thời gian: t = T_v·H_dr²/c_v, trong đó đường thoát nước H_dr là H/2 khi nước có thể thoát ở trên và dưới, và H khi chỉ một phía thoát nước.

So sánh với áp lực tiền cố kết

σ′_f = 65 + 100 = 165 kPa > 155 kPa

Độ lún

Nén lại đến σ′_p, nén nguyên sinh sau đó.

S = 0,04·7,5/(1 + 0,9)·log₁₀(155/65) + 0,45·7,5/(1 + 0,9)·log₁₀(165/155)

S = 59,59 + 48,23 = 107,8 mm

Đáp số

S = 107,8 mm

16.Lún cố kết

Đáp số: t = 207,8 ngày

Các đường thoát nước

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 3/2 = 1,5 m

Quy đổi thời gian

t = T_v·H_dr²/c_v với cùng T_v và c_v ở phòng thí nghiệm và hiện trường.

t_field = 12·(1,5/0,0095)² = 299169 min

t_field = 299169/1440 = 207,8 ngày

Đáp số

t = 207,8 ngày

17.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 9,81 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1·1 = 9,81 kN

Đáp số

F = 9,81 kN

18.Lực thủy tĩnh

Đáp số: y_cp = 1,857 m

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,75·1,5 = 26,4 kN

Tâm áp lực

Áp suất tăng theo độ sâu, nên hợp lực tác dụng phía dưới trọng tâm.

I_c = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,75 + 0,2813/(1,75·1,5) = 1,857 m

Đáp số

y_cp = 1,857 m

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: h_f = 50,97 m

Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ h_m = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = h_f + h_m, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.

Cột áp vận tốc

V²/(2g) = 2,5²/(2·9,81) = 0,3186 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(400/0,075)·2,5²/(2·9,81) = 50,97 m

Đáp số

h_f = 50,97 m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: Q = 27,19 L/s

Các hệ số tổn thất

f·L/D = 0,018·150/0,1 = 27

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Phương trình năng lượng

Cả hai mặt nước đều thông với không khí và thực tế đứng yên, nên toàn bộ Δz bị mất trong ống.

19 = (27 + 4,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·19/31,1) = 3,462 m/s

Lưu lượng

Q = V·π·D²/4 = 3,462·0,007854 = 0,02719 m³/s = 27,19 L/s

Đáp số

Q = 27,19 L/s

21.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: Q = 4,217 m³/s

Phương trình Manning (SI): với dòng chảy đều trong kênh hở V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 và Q = A·V, với n là hệ số nhám, S là độ dốc đáy (m/m) và R = A/P là bán kính thủy lực: diện tích dòng chảy chia cho chu vi ướt. Chỉ phần biên tiếp xúc với nước được tính trong P, không tính mặt thoáng. Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y. Hình thang có mái dốc z:1 (ngang:đứng): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ống tròn chảy đầy hoặc đầy một nửa có R = D/4.

Hình học

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 2·0,7)·0,7 = 4,83 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·0,7·√(1 + 2²) = 8,63 m

R = A/P = 0,5596 m

Vận tốc

V = (1/0,022)·0,5596^2/3·0,0008^1/2 = 0,8731 m/s

Lưu lượng

Q = A·V = 4,83·0,8731 = 4,217 m³/s

Đáp số

Q = 4,217 m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: S = 0,002521 m/m

Bán kính thủy lực

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

Giải Manning tìm S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,233)² = 0,002521

Đáp số

S = 0,002521

Đó là độ hạ 2,521 m trên mỗi kilômét.

23.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: P_shaft = 30,79 kW

Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: P_shaft = P_h/η_pump, và động cơ tiêu thụ P_el = P_shaft/η_motor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.

Công suất thủy lực

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·68 = 20,01 kW

Công suất trên trục

P_shaft = P_h/η = 20,01/0,65 = 30,79 kW

Đáp số

P_shaft = 30,79 kW

24.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: H = 39,65 m

Vận tốc

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Các tổn thất cột áp

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 4)·0,2611 = 6,267 m

Cột áp áp suất

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Cột áp của bơm

Cả hai mặt nước thực tế đều đứng yên, nên không có số hạng cột áp vận tốc.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 13 + 20,39 + 6,267 = 39,65 m

Đáp số

H = 39,65 m

25.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 16820 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Số mũ

r·t = 0,04·13 = 0,52

e^0,52 = 1,682

Giá trị tương lai

FV = 10 000·1,682 = €16 820,28

Đáp số

FV = €16 820,28

26.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: B = 152147 €

Khoản thanh toán hằng tháng

i = 0,002, N = 240

A = 250 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻²⁴⁰) = €1 312,61

Giá trị hiện tại của các khoản thanh toán còn lại

Số còn nợ phải được trả hết đúng bằng các khoản thanh toán còn lại.

N − k = 240 − 108 = 132

B = 1313·(1 − (1 + 0,002)⁻¹³²)/0,002 = €152 147,44

Đáp số

B = €152 147,44

27.NPV và IRR

Đáp số: DPB = 3,628 năm

Thời gian hoàn vốn: thời gian cho đến khi dòng tiền tích lũy hoàn trả khoản đầu tư ban đầu. Giả định tiền về đều trong mỗi năm, nên phần cuối là một phần của năm. Thời gian hoàn vốn đơn giản bỏ qua giá trị thời gian của tiền; thời gian hoàn vốn có chiết khấu dùng các dòng tiền đã chiết khấu.

Dòng tiền đã chiết khấu và tích lũy

năm 1: 12 500/1,1 = 11 363,64 → Σ = 11 363,64

năm 2: 9 500/1,21 = 7 851,24 → Σ = 19 214,88

năm 3: 9 500/1,331 = 7 137,49 → Σ = 26 352,37

năm 4: 8 500/1,464 = 5 805,61 → Σ = 32 157,98

Phần của năm cuối

DPB = 3 + 3 647,63/5 805,61 = 3,628

Đáp số

DPB = 3,628 năm

Thời gian hoàn vốn có chiết khấu luôn dài hơn thời gian hoàn vốn đơn giản (2,842 năm).

28.NPV và IRR

Đáp số: r* = 5,102 %

Tỉ suất giao nhau: tỉ suất chiết khấu mà tại đó hai dự án có cùng NPV. Nó là IRR của hiệu các dòng tiền của chúng (B − A). Dưới mức này, dự án có dòng tiền lớn hơn đến muộn hơn có NPV cao hơn; trên mức này, dự án kia thắng.

Hiệu các dòng tiền

ΔCF₀ = −42 000 − (−40 000) = −2 000

ΔCF₁ = 11 000 − 22 500 = −11 500

ΔCF₂ = 16 500 − 16 000 = 500

ΔCF₃ = 23 000 − 8 500 = 14 500

IRR của hiệu

NPV_Δ(5%) = 26,78

NPV_Δ(6%) = −229,58

r* = 5,102%

Đáp số

r* = 5,102%

Kiểm tra: tại 5,102% cả hai NPV đều là €3 213,10.

29.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,576

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (490 − 500)/40 = −0,25

z₂ = (580 − 500)/40 = 2

Diện tích ở giữa

P = Φ(2) − Φ(−0,25) = 0,9772 − 0,4013 = 0,576

Đáp số

P = 0,576

30.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 566 h

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái

Φ(z) = 0,95

z từ bảng

z ≈ 1,64

Trở lại đơn vị ban đầu

x = 500 + 1,64·40 = 566 h

Đáp số

x = 566 h

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. Kỳ thi FE exam do NCEES tổ chức; tổ chức này không liên kết với ExamProblems và không bảo trợ nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil