Luyện thi FE Xây dựng: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 30 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d

Phương pháp

  1. Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
  2. Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
  3. Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
  4. Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt
ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh
dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối cho cả giàn.
  2. Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0.
  3. Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
  4. Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Ứng suất hữu hiệu trong đất

Ứng suất toàn phần
σ = Σγi·hi
Áp suất nước lỗ rỗng
u = γw·(z − zw)
Ứng suất hữu hiệu
σ′ = σ − u
Nước
γw = 9,81 kN/m³

Lún cố kết

Cố kết thông thường
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
Ứng suất cuối
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
Quá cố kết, σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
Quá cố kết, σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
Tỉ số quá cố kết
OCR = σ′p/σ′0
Thời gian cố kết
t = Tv·Hdr²/cv
Đường thoát nước
Hdr = H/2 (thoát nước hai phía), H (thoát nước một phía)
Nhân tố thời gian
U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Lực thủy tĩnh

Áp suất tại độ sâu
p = ρgh
Lực lên tường thẳng đứng
F = ρg·hc·A
Tâm áp lực
yp = yc + Ic/(ycA)
Hình chữ nhật
Ic = bH³/12

Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Số Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Chế độ chảy
chảy tầng dưới Re ≈ 2000, chảy rối trên Re ≈ 4000
Vận tốc trung bình
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Tổn thất cục bộ
hm = ΣK·V²/(2g)
Giá trị K thường gặp
lối vào 0,5, lối ra 1,0, khúc cua 90° ≈ 0,3
Độ giảm áp suất
Δp = ρ·g·hf
Hai bể chứa hở
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Cửa ra tự do
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Dòng chảy hở (Manning)

Phương trình Manning
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Lưu lượng
Q = A·V
Bán kính thủy lực
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Hình chữ nhật
A = b·y, P = b + 2y
Hình thang (mái dốc z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Ống tròn, đầy hoặc đầy một nửa
R = D/4
Độ dốc yêu cầu
S = (n·Q/(A·R2/3))²

Máy bơm và công suất bơm

Công suất thủy lực
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Công suất trên trục
Pshaft = Ph/ηpump
Công suất điện
Pel = Pshaft/ηmotor
Cột áp của bơm
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Tổn thất của hệ thống
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai
FV = PV·(1 + i)n
Giá trị hiện tại
PV = FV/(1 + i)n
Nhiều kỳ trong một năm
i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Niên kim, giá trị tương lai
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

Phương pháp

  1. Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
  2. Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
  3. Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
  4. Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Dòng tiền đều
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ
r tại đó NPV = 0
Quyết định
chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

  1. Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
  2. Chiết khấu từng dòng tiền: CFt/(1 + r)t.
  3. Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
  4. Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình
w0​ = 6 kN/mABRA​ = ?10 m

Dầm đơn giản (gối cố định tại A, gối con lăn tại B) chịu tải thay đổi tuyến tính giảm từ 6 kN/m tại A xuống không tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RA tại gối.

L = 10 mw0 = 6 kN/m
RA = kN
2.Phản lực gối của dầmKhó
P = 15 kNADCMA​ = ?4 m3 m1 m

Một dầm ghép được ngàm vào tường tại A, có một khớp bản lề bên trong tại C (cách A 4 m) và tựa trên một gối con lăn tại D (cách A 8 m). Dầm chịu một lực tập trung P tại vị trí cách A 7 m. Tìm độ lớn của mô-men phản lực MA tại tường.

AC = 4 mAD = 8 mP = 15 kN tại 7 m
MA = kN·m
3.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình
ABCDEFGH25 kN40 kN4 × 3 m4 m

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

D: 25 kN ↓G: 40 kN ↓
  1. 1thanh AB
  2. 2thanh BC
  3. 3thanh CD
  4. 4thanh DE
  5. 5thanh FG
  6. 6thanh GH
  7. 7thanh AF
  8. 8thanh HE
  9. 9thanh BF
  10. 10thanh CG
  11. 11thanh DH
  12. 12thanh BG
  13. 13thanh DG
4.Giàn: phương pháp tách nútKhó
ABCDEFGH30 kN25 kN10 kN30 kN15 kN4 × 3 m4 m

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

B: 30 kN ↓D: 25 kN ↓F: 10 kN ↓H: 30 kN ↓H: 15 kN ←
  1. 1thanh AB
  2. 2thanh BC
  3. 3thanh CD
  4. 4thanh DE
  5. 5thanh FG
  6. 6thanh GH
  7. 7thanh AF
  8. 8thanh HE
  9. 9thanh BF
  10. 10thanh CG
  11. 11thanh DH
  12. 12thanh FC
  13. 13thanh HC
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
M0​ = 35 kN·mAB2 m6 m

Dầm đơn giản chịu một ngẫu lực cùng chiều kim đồng hồ M0 = 35 kN·m tại x = 2 m tính từ A, và không có tải nào khác. Tìm mô-men uốn Mx ngay bên phải ngẫu lực. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 8 mM0 = 35 kN·m cùng chiều kim đồng hồ, tại 2 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 6 kN/mP = 40 kNAB1 m5 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 6 mP = 40 kN tại 1 mw = 6 kN/m từ 0 đến 6 m
Mmax = kN·m
7.Độ võng của dầmTrung bình
P = 28 kNABδ1 m1 m

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 1 m. Tìm độ võng δB tại đầu tự do B.

P = 28 kNa = 1 mL = 2 mE = 70 GPa (nhôm)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Độ võng của dầmKhó
w = 10 kN/mP = 21 kNδL = 3 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δmax.

P = 21 kNw = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (thép)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2 md = 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
P = 5 kNL = 3 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 5 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 5 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
22080t = 14xkích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ U đặt với mặt hở hướng lên: một bản đáy rộng 220 mm với hai cánh đứng, tổng chiều cao 80 mm. Đáy và các cánh đều dày 14 mm. Tìm mô-men quán tính Ix của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

b = 220 mmh = 80 mmt = 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
100151008xM = 5 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 5 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σtrên ở mép trên.

bf = 100 mmtf = 15 mmtw = 8 mmhw = 100 mmM = 5 kN·m
σtrên = MPa
13.Ứng suất hữu hiệu trong đấtTrung bình
cátγd​ = 17 kN/m³γsat​ = 19,5 kN/m³9 mmực nước ngầmXz = 8 m

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất toàn phần theo phương thẳng đứng σ tại điểm X.

z = 8 mzw = 3 mγw = 9,81 kN/m³cát: γd = 17 kN/m³cát: γsat = 19,5 kN/m³
σ = kPa
14.Ứng suất hữu hiệu trong đấtKhó
cátγd​ = 17 kN/m³γsat​ = 19 kN/m³6 msétγsat​ = 19 kN/m³4 mmực nước ngầmXz = 8 m

Với mặt cắt đất như hình, tìm áp suất nước lỗ rỗng u tại điểm X.

z = 8 mzw = 3 mγw = 9,81 kN/m³cát: γd = 17 kN/m³cát: γsat = 19 kN/m³sét: γsat = 19 kN/m³
u = kPa
15.Lún cố kếtTrung bình
Δσ = 10 kPacátsétCc​ = 0,45, Cr​ = 0,02e0​ = 1σ′0​ = 115 kPaσ′p​ = 155 kPa2 mmực nước ngầm

Một lớp sét quá cố kết dày 2 m có Cc = 0,45, Cr = 0,02 và e₀ = 1. Ở độ sâu giữa lớp, ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng là 115 kPa và áp lực tiền cố kết là 155 kPa. Một tòa nhà mới thêm 10 kPa ứng suất thẳng đứng ở độ sâu giữa lớp. Tìm độ lún cố kết sơ cấp S theo mm.

H = 2 mCc = 0,45Cr = 0,02e0 = 1σ′0 = 115 kPaσ′p = 155 kPaΔσ = 10 kPa
S = mm
16.Lún cố kếtKhó
cátsétH = 8,5 m8,5 mcátmực nước ngầm

Trong thí nghiệm nén cố kết oedometer ở phòng thí nghiệm, một mẫu sét dày 25 mm, thoát nước ở đỉnh và đáy, đạt 50% cố kết sau 8 phút. Ngoài hiện trường, cùng loại sét đó tạo thành một lớp dày 8,5 m. Nó nằm giữa hai lớp cát, nên nước thoát ra ở đỉnh và đáy. Lớp ngoài hiện trường mất bao nhiêu ngày t để đạt 50% cố kết?

hlab = 25 mmtlab = 8 minH = 8,5 mhiện trường: thoát nước hai phía
t = ngày
17.Lực thủy tĩnhTrung bình
cửa vand = 2,5 mH = 1 m

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 2 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 2,5 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 2,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
18.Lực thủy tĩnhKhó
cửa vand = 2,5 mH = 1 m

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 2 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 2,5 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 2,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
19.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápTrung bình
V = 2,2 m/sD = 150 mmL = 200 mf = 0,03

Nước chảy với vận tốc trung bình 2,2 m/s qua một ống dài 200 m, đường kính trong 150 mm. Dùng hệ số ma sát Darcy f = 0,03 và g = 9,81 m/s². Tìm tổn thất cột áp do ma sát hf.

V = 2,2 m/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
20.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápKhó
K = 2Δz = ?L = 150 m, D = 300 mm, f = 0,022× khúc cua (K = 0,3)

Hai bể chứa hở được nối bằng một ống dài 150 m, đường kính trong 300 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,02. Các tổn thất cục bộ là lối vào cạnh vuông (K = 0,5), 2 khúc cua (K = 0,3 mỗi khúc), một van (K = 2) và lối ra vào bể thấp hơn (K = 1,0). Dùng g = 9,81 m/s². Chênh lệch mực nước Δz giữa các bể là bao nhiêu để có lưu lượng 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
21.Dòng chảy hở (Manning)Trung bình
b = 1,5 my = 2 m3 : 1n = 0,025, S = 0,004

Một kênh sỏi hình thang có chiều rộng đáy 1,5 m và mái dốc 3:1 (ngang:đứng). Nước chảy đều sâu 2 m. Hệ số Manning n = 0,025 và độ dốc đáy là S = 0,004. Tìm lưu lượng Q theo m³/s.

b = 1,5 my = 2 mz = 3n = 0,025S = 0,004
Q = m³/s
22.Dòng chảy hở (Manning)Khó
b = 2,5 my = 1,5 m1,5 : 1n = 0,015, Q = 17 m³/s

Một kênh xây gạch hình thang có chiều rộng đáy 2,5 m và mái dốc 1,5:1 (ngang:đứng) phải tải 17 m³/s ở dòng chảy đều với độ sâu 1,5 m. Hệ số Manning n = 0,015. Tìm độ dốc đáy yêu cầu S (theo m/m).

Q = 17 m³/sb = 2,5 my = 1,5 mz = 1,5n = 0,015
S = m/m
23.Máy bơm và công suất bơmTrung bình
PQ = 20 L/sH = 16 m

Trong một thử nghiệm, một máy bơm cấp 20 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) ngược với cột áp 16 m trong khi trục của nó nhận 4,8 kW. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm hiệu suất bơm η theo phần trăm.

Q = 20 L/sH = 16 mPshaft = 4,8 kWg = 9,81 m/s²
η = %
24.Máy bơm và công suất bơmKhó
PQ = 20 L/sΔz = 7 mL = 150 m, D = 100 mm, f = 0,018, ΣK = 4

Một máy bơm chuyển 20 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) từ một bể hở phía dưới lên một bồn phía trên có mặt nước cao hơn 7 m. Ống dài 150 m, đường kính trong 100 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,018; các hệ số tổn thất cục bộ cộng lại là ΣK = 4 (đã gồm lối vào và lối ra). Dùng g = 9,81 m/s². Hiệu suất bơm là 70%. Tìm công suất trên trục Pshaft theo kW.

Q = 20 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,018ΣK = 4η = 70%
Pshaft = kW
25.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình
năm0123…19PV = ?€1 000€1 000€1 000€1 000

Một niên kim trả €1 000 vào cuối mỗi năm trong 19 năm. Lãi suất là 7% mỗi năm. Tìm giá trị hiện tại PV của niên kim.

A = €1 000i = 7%n = 19
PV = €
26.Giá trị thời gian của tiềnKhó
tháng0123…72€150€150€150FV = ?

Bạn tiết kiệm €150 vào cuối mỗi tháng trong 6 năm. Tài khoản trả lãi 3,6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Cuối cùng bạn tiết kiệm được bao nhiêu? Tìm FV.

A = €1503,6% / 12N = 72
FV = €
27.NPV và IRRTrung bình
năm01234−75 00037 00015 00037 00029 000

Một khoản đầu tư €75 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 4: €37 000, €15 000, €37 000, €29 000. Chi phí vốn là 12%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 12%CF0 = −75 000CF1 = 37 000CF2 = 15 000CF3 = 37 000CF4 = 29 000
NPV = €
28.NPV và IRRKhó
năm012−25 00014 50013 000

Một dự án tốn €25 000 và mang lại €14 500, €13 000 vào cuối các năm 1 đến 2. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF0 = −25 000CF1 = 14 500CF2 = 13 000
IRR = %
29.Phân phối chuẩnTrung bình
−3−2−10123zvùng tô bóng giữa −z và z = 0,9729

Kéo z sao cho diện tích tô bóng giữa −z và z dưới đường cong chuẩn tắc bằng 0,9729. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,9729
z =
30.Phân phối chuẩnKhó
10 cm0X − Y?

Chiều cao X của nam giới và Y của nữ giới trong một nhóm là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 180 cm và độ lệch chuẩn 10 cm, Y có trung bình 170 cm và độ lệch chuẩn 12 cm. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RA = 20 kN

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Hợp lực của tải tam giác

W = ½·6·10 = 30 kN
x̄ = L/3 = 3,333 m

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣMA = 0: RB·10 = 30·3,333
RB = 10 kN
RA = 30 − 10 = 20 kN

Đáp số

RA = 20 kN
2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: MA = 15 kN·m

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình. Một khớp bản lề bên trong không truyền được mô-men uốn, điều này cho thêm một phương trình: mô-men đối với khớp của các lực ở mỗi phía bằng không.

Phần CD

Khớp không có mô-men, nên mô-men đối với C chỉ trên CD phải cân bằng.

ΣMC = 0: RD·4 = 15·3
RD = 11,25 kN
VC = 15 − 11,25 = 3,75 kN

Phần AC

Lực khớp VC tác dụng hướng xuống lên AC (bằng và ngược chiều với tác dụng của nó lên CD).

RA = 3,75 = 3,75 kN
MA = 3,75·4 = 15 kN·m

Đáp số

MA = 15 kN·m
3.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh CG

Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.

Nút C

BC và CD nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 19,69 kN (T), BC: 39,38 kN (T), CD: 39,38 kN (T), DE: 29,06 kN (T), FG: 19,69 kN (C), GH: 29,06 kN (C), AF: 32,81 kN (C), HE: 48,44 kN (C), BF: 26,25 kN (T), CG: 0, DH: 38,75 kN (T), BG: 32,81 kN (C), DG: 17,19 kN (C)

Đáp số

Thanh không lực: CG
4.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh CG

Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.

Nút G

FG và GH nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 21,56 kN (T), BC: 21,56 kN (T), CD: 34,69 kN (T), DE: 34,69 kN (T), FG: 43,13 kN (C), GH: 43,13 kN (C), AF: 60,94 kN (C), HE: 57,81 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 10,94 kN (T), HC: 10,94 kN (C)

Đáp số

Thanh không lực: CG
5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 26,25 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Một ngẫu lực đặt vào làm biểu đồ mô-men uốn nhảy một đoạn bằng độ lớn của ngẫu lực.

Phản lực gối

Mô-men đối với A, chiều ngược chiều kim đồng hồ là dương: RB·L − M0 = 0. Cân bằng theo phương thẳng đứng: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 35/8 = 4,375 kN (hướng lên)
RA = −RB = −4,375 kN (hướng xuống)

Cắt ngay bên phải ngẫu lực

Bây giờ phần bên trái chứa RA và ngẫu lực.

Mx = RA·a + M0 = −4,375·2 + 35 = 26,25 kN·m

Đáp số

Mx = 26,25 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 50,7 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, đặt tại x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 40·1 + 6·6·3
RB = 148/6 = 24,67 kN
ΣFy = 0: RA = 76 − 24,67 = 51,33 kN

V = 0 ở đâu?

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (51,33 − 40)/6 = 1,889 m

Mô-men lớn nhất

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1) − w·x0²/2 = 50,7 kN·m

Đáp số

Mmax = 50,7 kN·m

Nó xảy ra tại x = 1,889 m tính từ A.

7.Độ võng của dầm

Đáp số: δB = 3,968 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 28000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Độ võng ở đầu tự do

Độ võng tại tải cộng góc xoay tại tải nhân với chiều dài còn lại.

δP = Pa³/(3EI) = 1,587 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,002381 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3,968 mm

Đáp số

δB = 3,968 mm
8.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 4,861 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 21000 N, w = 10 N/mm, L = 3000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(48EI) = 21000·3000³/(48·4,6 × 10¹²) = 2,568 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 2,293 mm

Cộng lại

δmax = 2,568 + 2,293 = 4,861 mm

Đáp số

δmax = 4,861 mm
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 992,2 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·2000 = 2000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992,2 kN

Đáp số

Pcr = 992,2 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 28,74 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 3·5000 = 15000 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 28,74 mm

Đáp số

d = 28,74 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 292,2, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 2,569 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành các hình chữ nhật

Lấy đáy với toàn bộ chiều rộng và hai cánh phía trên nó (cao h − t), để không có phần nào bị tính hai lần.

nền: A1 = 220·14 = 3080 mm², y1 = 7 mm
hai cánh: A2 = 2·14·66 = 1848 mm², y2 = 14 + 66/2 = 47 mm

Trọng tâm

ȳ = (3080·7 + 1848·47)/4928 = 22 mm

Định lý trục song song

nền: 220·14³/12 + 3080·(7 − 22)² = 743307 mm⁴
hai cánh: 2·14·66³/12 + 1848·(47 − 22)² = 1,826 × 10⁶ mm⁴
Ix = 743307 + 1,826 × 10⁶
Ix = 2,569 × 10⁶ mm⁴ = 2,569 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 2,569 × 10⁶ mm⁴
12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σtrên = 56,82 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 100·15 = 1500 mm², yf = 100 + 15/2 = 107,5 mm
bụng: Aw = 8·100 = 800 mm², yw = 100/2 = 50 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1500·107,5 + 800·50)/2300 = 87,5 mm

Định lý trục song song

cánh: 100·15³/12 + 1500·(107,5 − 87,5)² = 628125 mm⁴
bụng: 8·100³/12 + 800·(50 − 87,5)² = 1,792 × 10⁶ mm⁴
Ix = 628125 + 1,792 × 10⁶ = 2,42 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 115 − 87,5 = 27,5 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·27,5/2,42 × 10⁶ = 56,82 MPa

Đáp số

σtrên = 56,82 MPa
13.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ = 148,5 kPa

Ứng suất hữu hiệu (Terzaghi): khung hạt đất chịu σ′ = σ − u. Ứng suất toàn phần σ là trọng lượng của mọi thứ phía trên điểm đó, Σγ·h, dùng trọng lượng riêng khô phía trên mực nước ngầm và trọng lượng riêng bão hòa phía dưới. Dưới mực nước ngầm, áp suất nước lỗ rỗng là thủy tĩnh: u = γw·(độ sâu dưới mực nước ngầm).

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 17·3 + 19,5·5 = 148,5 kPa

Đáp số

σ = 148,5 kPa
14.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: u = 49,05 kPa

Ứng suất hữu hiệu (Terzaghi): khung hạt đất chịu σ′ = σ − u. Ứng suất toàn phần σ là trọng lượng của mọi thứ phía trên điểm đó, Σγ·h, dùng trọng lượng riêng khô phía trên mực nước ngầm và trọng lượng riêng bão hòa phía dưới. Dưới mực nước ngầm, áp suất nước lỗ rỗng là thủy tĩnh: u = γw·(độ sâu dưới mực nước ngầm).

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γw·(z − zw) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Đáp số

u = 49,05 kPa
15.Lún cố kết

Đáp số: S = 0,7242 mm

Cố kết sơ cấp của một lớp sét dày H, dùng ứng suất hữu hiệu ở giữa lớp: σ′f = σ′0 + Δσ. Sét cố kết thông thường: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Sét quá cố kết nén lại theo Cr đến áp lực tiền cố kết σ′p và chỉ theo Cc sau đó. Thời gian: t = Tv·Hdr²/cv, trong đó đường thoát nước Hdr là H/2 khi nước có thể thoát ở trên và dưới, và H khi chỉ một phía thoát nước.

So sánh với áp lực tiền cố kết

σ′f = 115 + 10 = 125 kPa ≤ 155 kPa

Độ lún

Sét vẫn nằm trên đường nén lại của nó.

S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0,02·2/(1 + 1)·log₁₀(125/115) = 0,7242 mm

Đáp số

S = 0,7242 mm
16.Lún cố kết

Đáp số: t = 642,2 ngày

Cố kết sơ cấp của một lớp sét dày H, dùng ứng suất hữu hiệu ở giữa lớp: σ′f = σ′0 + Δσ. Sét cố kết thông thường: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Sét quá cố kết nén lại theo Cr đến áp lực tiền cố kết σ′p và chỉ theo Cc sau đó. Thời gian: t = Tv·Hdr²/cv, trong đó đường thoát nước Hdr là H/2 khi nước có thể thoát ở trên và dưới, và H khi chỉ một phía thoát nước.

Các đường thoát nước

Hdr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m
Hdr,field = 8,5/2 = 4,25 m

Quy đổi thời gian

t = Tv·Hdr²/cv với cùng T_v và cv ở phòng thí nghiệm và hiện trường.

tfield = 8·(4,25/0,0125)² = 924800 min
tfield = 924800/1440 = 642,2 ngày

Đáp số

t = 642,2 ngày
17.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 58,86 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·yc·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, ycp = yc + Ic/(ycA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

yc = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
cửa vand = 2,5 mH = 1 mF

Hợp lực

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN

Đáp số

F = 58,86 kN
18.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 58,86 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·yc·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, ycp = yc + Ic/(ycA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

yc = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
cửa vand = 2,5 mH = 1 mF

Hợp lực

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN

Đáp số

F = 58,86 kN
19.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: hf = 9,867 m

Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ hm = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = hf + hm, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.

Cột áp vận tốc

V²/(2g) = 2,2²/(2·9,81) = 0,2467 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(200/0,15)·2,2²/(2·9,81) = 9,867 m

Đáp số

hf = 9,867 m
20.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: Δz = 0,8091 m

Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ hm = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = hf + hm, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.

Vận tốc

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s
V²/(2g) = 0,05738 m

Các hệ số tổn thất

f·L/D = 0,02·150/0,3 = 10
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Tổng tổn thất cột áp

hf = 10·0,05738 = 0,5738 m
hm = 4,1·0,05738 = 0,2353 m
Δz = hf + hm = 0,8091 m

Đáp số

Δz = 0,8091 m
21.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: Q = 39,45 m³/s

Phương trình Manning (SI): với dòng chảy đều trong kênh hở V = (1/n)·R2/3·S1/2 và Q = A·V, với n là hệ số nhám, S là độ dốc đáy (m/m) và R = A/P là bán kính thủy lực: diện tích dòng chảy chia cho chu vi ướt. Chỉ phần biên tiếp xúc với nước được tính trong P, không tính mặt thoáng. Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y. Hình thang có mái dốc z:1 (ngang:đứng): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ống tròn chảy đầy hoặc đầy một nửa có R = D/4.

Hình học

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 3·2)·2 = 15 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·2·√(1 + 3²) = 14,15 m
R = A/P = 1,06 m

Vận tốc

V = (1/0,025)·1,062/3·0,0041/2 = 2,63 m/s

Lưu lượng

Q = A·V = 15·2,63 = 39,45 m³/s

Đáp số

Q = 39,45 m³/s
22.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: S = 0,001472 m/m

Phương trình Manning (SI): với dòng chảy đều trong kênh hở V = (1/n)·R2/3·S1/2 và Q = A·V, với n là hệ số nhám, S là độ dốc đáy (m/m) và R = A/P là bán kính thủy lực: diện tích dòng chảy chia cho chu vi ướt. Chỉ phần biên tiếp xúc với nước được tính trong P, không tính mặt thoáng. Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y. Hình thang có mái dốc z:1 (ngang:đứng): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ống tròn chảy đầy hoặc đầy một nửa có R = D/4.

Hình học

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1,5·1,5)·1,5 = 7,125 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,5·√(1 + 1,5²) = 7,908 m
R = A/P = 0,9009 m

Giải Manning tìm S

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,015·17/(7,125·0,9328) = 0,03837
S = 0,03837² = 0,001472

Đáp số

S = 0,001472

Đó là độ hạ 1,472 m trên mỗi kilômét.

23.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: η = 65,4 %

Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: Pshaft = Ph/ηpump, và động cơ tiêu thụ Pel = Pshaft/ηmotor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.

Công suất thủy lực

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·16 = 3,139 kW

Hiệu suất

η = Ph/Pshaft = 3,139/4,8 = 65,4%

Đáp số

η = 65,4%
24.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: Pshaft = 4,834 kW

Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: Pshaft = Ph/ηpump, và động cơ tiêu thụ Pel = Pshaft/ηmotor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.

Vận tốc

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m

Các tổn thất cột áp

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 4)·0,3305 = 10,25 m

Cột áp của bơm

H = Δz + hL = 7 + 10,25 = 17,25 m

Công suất trên trục

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·17,25/0,7 = 4,834 kW

Đáp số

Pshaft = 4,834 kW
25.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 10336 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Hệ số niên kim

(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,2765)/0,07 = 10,34

Giá trị hiện tại

PV = 1 000·10,34 = €10 335,60

Đáp số

PV = €10 335,60
26.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 12035 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất tháng và số khoản gửi

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·6 = 72

Giá trị tương lai của các khoản gửi

FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 150·(1,241 − 1)/0,003 = €12 035,06

Đáp số

FV = €12 035,06

Bạn tự nộp vào €10 800; phần còn lại là tiền lãi.

27.NPV và IRR

Đáp số: NPV = 14760 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 37 000/1,12 = 33 035,71
CF2/(1 + 0,12)2 = 15 000/1,254 = 11 957,91
CF3/(1 + 0,12)3 = 37 000/1,405 = 26 335,87
CF4/(1 + 0,12)4 = 29 000/1,574 = 18 430,02

Cộng lại

NPV = €14 759,52

Đáp số

NPV = €14 759,52

NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.

28.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 6,724 %

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(5%) = 600,91
NPV(10%) = −1 074,38

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 5 + 5·600,91/(600,91 − (−1 074,38)) = 6,793%
chính xác: NPV(6,724%) = 0 → IRR = 6,724%

Đáp số

IRR = 6,724%
29.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = 2,21

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = (1 + 0,9729)/2 = 0,9864

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,9864 bên trong bảng và đọc ra z.

z = 2,21

Đáp số

z = 2,21
30.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7389

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Chuẩn hóa

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Đáp số

P = 0,7389

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. Kỳ thi FE exam do NCEES tổ chức; tổ chức này không liên kết với ExamProblems và không bảo trợ nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil