Luyện thi FE Xây dựng: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 30 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ứng suất hữu hiệu trong đất

Ứng suất toàn phần: σ = Σγ_i·h_i
Áp suất nước lỗ rỗng: u = γ_w·(z − z_w)
Ứng suất hữu hiệu: σ′ = σ − u
Nước: γ_w = 9,81 kN/m³

Lún cố kết

Cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Ứng suất cuối: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Quá cố kết, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Quá cố kết, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Tỉ số quá cố kết: OCR = σ′_p/σ′₀
Thời gian cố kết: t = T_v·H_dr²/c_v
Đường thoát nước: H_dr = H/2 (thoát nước hai phía), H (thoát nước một phía)
Nhân tố thời gian: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Lực thủy tĩnh

Áp suất tại độ sâu: p = ρgh
Lực lên tường thẳng đứng: F = ρg·h_c·A
Tâm áp lực: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Hình chữ nhật: I_c = bH³/12

Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Số Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Chế độ chảy: chảy tầng dưới Re ≈ 2000, chảy rối trên Re ≈ 4000
Vận tốc trung bình: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Tổn thất cục bộ: h_m = ΣK·V²/(2g)
Giá trị K thường gặp: lối vào 0,5, lối ra 1,0, khúc cua 90° ≈ 0,3
Độ giảm áp suất: Δp = ρ·g·h_f
Hai bể chứa hở: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Cửa ra tự do: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Dòng chảy hở (Manning)

Phương trình Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Lưu lượng: Q = A·V
Bán kính thủy lực: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y
Hình thang (mái dốc z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Ống tròn, đầy hoặc đầy một nửa: R = D/4
Độ dốc yêu cầu: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Máy bơm và công suất bơm

Công suất thủy lực: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Công suất trên trục: P_shaft = P_h/η_pump
Công suất điện: P_el = P_shaft/η_motor
Cột áp của bơm: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Tổn thất của hệ thống: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_A.

L = 8 mP₁ = 10 kN tại 5 mP₂ = 60 kN tại 6 m

R_A = kN

2.Phản lực gối của dầmKhó

Dầm công-xôn được ngàm vào tường tại A. Nó chịu tải thay đổi tuyến tính bằng không tại tường và tăng đến 10 kN/m tại đầu tự do B, cùng một lực tập trung P tại vị trí cách tường 4,5 m. Tìm độ lớn của mô-men phản lực M_A tại tường.

L = 6 mw₀ = 10 kN/mP = 20 kN tại 4,5 m

M_A = kN·m

3.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

B: 25 kN ↓C: 25 kN ↓F: 40 kN ↓G: 40 kN ↓

1thanh AB
2thanh BC
3thanh CD
4thanh DE
5thanh FG
6thanh GH
7thanh AF
8thanh HE
9thanh BF
10thanh CG
11thanh DH
12thanh FC
13thanh HC

4.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 4 mchiều cao = 3 mB cách A 1 mtải thẳng đứng = 35 kNtải ngang = 30 kN →

F_AB = kN

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

10 kN @ 3 m45 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất M_max trong dầm.

L = 8 mP = 60 kN tại 4 mw = 6 kN/m từ 0 đến 8 m

M_max = kN·m

7.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 1,5 m. Tìm độ võng δ_P dưới tải.

P = 25 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 4 kN/mL = 8 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tiết diện hộp chữ nhật rỗng có chiều rộng ngoài B = 160 mm, chiều cao ngoài H = 250 mm và chiều dày thành đều t = 6 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

B = 160 mmH = 250 mmt = 6 mm

r = mm

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một tiết diện chữ I đối xứng có các cánh rộng 100 mm và dày 14 mm, chiều cao tổng thể 380 mm và bụng dày 14 mm. Nó chịu mô-men uốn 150 kN·m quanh trục x. Tìm độ lớn của ứng suất uốn lớn nhất σ_max trong tiết diện.

B = 100 mmH = 380 mmt_f = 14 mmt_w = 14 mmM = 150 kN·m

σ_max = MPa

13.Ứng suất hữu hiệu trong đấtTrung bình

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất toàn phần theo phương thẳng đứng σ tại điểm X.

z = 9 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 16,5 kN/m³cát: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đấtKhó

Với mặt cắt đất như hình, tìm áp suất nước lỗ rỗng u tại điểm X.

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 15,5 kN/m³cát: γ_sat = 20 kN/m³sét: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

15.Lún cố kếtTrung bình

Một lớp sét quá cố kết dày 2 m có C_c = 0,4, C_r = 0,06 và e₀ = 0,6. Ở độ sâu giữa lớp, ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng là 120 kPa và áp lực tiền cố kết là 170 kPa. Một tòa nhà mới thêm 70 kPa ứng suất thẳng đứng ở độ sâu giữa lớp. Tìm độ lún cố kết sơ cấp S theo mm.

H = 2 mC_c = 0,4C_r = 0,06e₀ = 0,6σ′₀ = 120 kPaσ′_p = 170 kPaΔσ = 70 kPa

S = mm

16.Lún cố kếtKhó

Một lớp sét dày 10 m có hệ số cố kết c_v = 0,8 m²/năm. Nó nằm trên đá không thấm, có cát phía trên, nên nước chỉ thoát ra ở đỉnh. Với cố kết trung bình 90%, nhân tố thời gian là T_v = 0,848. Lớp đó mất bao nhiêu năm t để đạt 90% cố kết?

H = 10 mc_v = 0,8 m²/nămU = 90%T_v = 0,848thoát nước một phía

t = năm

17.Lực thủy tĩnhTrung bình

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1,5 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 3 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 3 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Lực thủy tĩnhKhó

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1,5 m nằm trong thành bể chứa dầu, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 1 m. Tìm độ sâu y_cp của tâm áp lực dưới mặt thoáng.

d = 1 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápTrung bình

Nước chảy với vận tốc trung bình 1 m/s qua một ống dài 500 m, đường kính trong 250 mm. Dùng hệ số ma sát Darcy f = 0,02 và g = 9,81 m/s². Tìm tổn thất cột áp do ma sát h_f.

V = 1 m/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápKhó

Hai bể chứa hở được nối bằng một ống dài 150 m, đường kính trong 100 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,018. Mặt nước của bể trên cao hơn bể dưới 27 m. Các tổn thất cục bộ là lối vào cạnh vuông (K = 0,5), 2 khúc cua (K = 0,3 mỗi khúc), một van (K = 10) và lối ra vào bể thấp hơn (K = 1,0). Dùng g = 9,81 m/s². Tìm lưu lượng Q theo L/s.

Δz = 27 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Dòng chảy hở (Manning)Trung bình

Một kênh bê tông chưa hoàn thiện hình thang có chiều rộng đáy 6 m và mái dốc 3:1 (ngang:đứng). Nước chảy đều sâu 2,4 m. Hệ số Manning n = 0,014 và độ dốc đáy là S = 0,003. Tìm lưu lượng Q theo m³/s.

b = 6 my = 2,4 mz = 3n = 0,014S = 0,003

Q = m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)Khó

Một kênh đất có phủ cỏ hình thang có chiều rộng đáy 1,5 m và mái dốc 1:1 (ngang:đứng) phải tải 12 m³/s ở dòng chảy đều với độ sâu 2,3 m. Hệ số Manning n = 0,03. Tìm độ dốc đáy yêu cầu S (theo m/m).

Q = 12 m³/sb = 1,5 my = 2,3 mz = 1n = 0,03

S = m/m

23.Máy bơm và công suất bơmTrung bình

Một máy bơm có hiệu suất 82% cấp 50 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) ngược với cột áp 16 m. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm công suất trên trục P_shaft cần thiết, theo kW.

Q = 50 L/sH = 16 mη = 82%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Máy bơm và công suất bơmKhó

Một máy bơm chuyển 75 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) từ một bể hở phía dưới lên một bồn phía trên có mặt nước cao hơn 5 m. Ống dài 600 m, đường kính trong 200 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,022; các hệ số tổn thất cục bộ cộng lại là ΣK = 6 (đã gồm lối vào và lối ra). Dùng g = 9,81 m/s². Hiệu suất bơm là 78%. Tìm công suất trên trục P_shaft theo kW.

Q = 75 L/sΔz = 5 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 6η = 78%

P_shaft = kW

25.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn đầu tư €1 000 với lãi suất danh nghĩa 6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 6 năm.

PV = €1 0006% / 12n = 6

FV = €

26.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn muốn có €30 000 sau 7 năm. Bạn gửi cùng một số tiền vào cuối mỗi tháng vào một tài khoản trả lãi 4,8% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản tiền gửi hằng tháng A.

FV = €30 0004,8% / 12N = 84

A = €

27.NPV và IRRTrung bình

Một khoản đầu tư €30 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 4: €14 000, €11 000, €8 000, €10 000. Chi phí vốn là 5%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 14 000CF₂ = 11 000CF₃ = 8 000CF₄ = 10 000

NPV = €

28.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €20 000 và mang lại €9 500, €14 500 vào cuối các năm 1 đến 2. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −20 000CF₁ = 9 500CF₂ = 14 500

IRR = %

29.Phân phối chuẩnTrung bình

Kéo z sao cho diện tích tô bóng dưới đường cong chuẩn tắc, bên phải z, bằng 0,2709. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,2709

z =

30.Phân phối chuẩnKhó

Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,02 mm và độ lệch chuẩn 0,01 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

lỗ: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = 18,75 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·5 + 60·6

R_B = 410/8 = 51,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 51,25 = 18,75 kN

Đáp số

R_A = 18,75 kN

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: M_A = 210 kN·m

Cân bằng của dầm công-xôn: một gối ngàm có thể đẩy lên và còn chống lại sự quay, nên nó cho một phản lực thẳng đứng R_A và một mô-men phản lực M_A. ΣF_y = 0 cho R_A, và mô-men đối với tường cho M_A = Σ(tải × khoảng cách đến tường). Tải phân bố tác dụng như hợp lực của nó tại trọng tâm của biểu đồ tải.

Hợp lực của tải tam giác

W = ½·10·6 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Mô-men đối với tường

M_A = W·x̄ + P·a = 30·4 + 20·4,5 = 210 kN·m

Đáp số

M_A = 210 kN·m

3.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh DH

Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.

Nút D

CD và DE nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 81,25 kN (T), BC: 81,25 kN (T), CD: 48,75 kN (T), DE: 48,75 kN (T), FG: 97,5 kN (C), GH: 97,5 kN (C), AF: 114,9 kN (C), HE: 68,94 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 22,98 kN (T), HC: 68,94 kN (T)

Đáp số

Thanh không lực: DH

4.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AB = −3,953 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·1 + 30·3 → C_y = 31,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 31,25 = 3,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −3,75/0,9487 = −3,953 kN

Đáp số

F_AB = −3,953 kN (nén)

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: C (x = 2 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 35 kN, R₂ = 20 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 35, M_C = 70 kN·m, M_D = 60, M_E = 40, M_F = 20, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu C: M_C = 70 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 168 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, đặt tại x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·4 + 6·8·4

R_B = 432/8 = 54 kN

ΣF_y = 0: R_A = 108 − 54 = 54 kN

V = 0 ở đâu?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 30 kN

V(4⁺) = 30 − 60 = −30 kN

Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 54·4 − 6·4²/2 = 168 kN·m

Đáp số

M_max = 168 kN·m

Nó xảy ra tại x = 4 m tính từ A.

7.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_P = 77,21 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 25000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng dưới tải

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 25000·1500²·3500²/(3·5,95 × 10¹¹·5000) = 77,21 mm

Đáp số

δ_P = 77,21 mm

8.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 872,7 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·8000⁴/(384·11000·22,22) = 8,727 × 10⁸ mm⁴

I_req = 872,7 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 872,7 × 10⁶ mm⁴

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 81,59 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/1050² = 81594 N = 81,59 kN

Đáp số

P_cr = 81,59 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 38,86 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/7,5 = 133,3

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Đáp số

σ_cr = 38,86 MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 93,85 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = I_c + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

b = 148 mm, h = 238 mm

A = BH − bh = 160·250 − 148·238 = 4776 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 4,206 × 10⁷ mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(4,206 × 10⁷/4776) = 93,85 mm

Đáp số

r = 93,85 mm

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_max = 197 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Hình chữ nhật ngoài trừ hai phần khuyết hai bên

Hai phần khuyết cộng lại rộng (B − t_w) và cao h_w = H − 2t_f, và có chung trục x.

h_w = 380 − 2·14 = 352 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·380³ − 86·352³)/12

I_x = 1,447 × 10⁸ mm⁴

Ứng suất uốn

y = 190 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·190/1,447 × 10⁸ = 197 MPa

Đáp số

σ_max = 197 MPa

13.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ = 168,5 kPa

Ứng suất hữu hiệu (Terzaghi): khung hạt đất chịu σ′ = σ − u. Ứng suất toàn phần σ là trọng lượng của mọi thứ phía trên điểm đó, Σγ·h, dùng trọng lượng riêng khô phía trên mực nước ngầm và trọng lượng riêng bão hòa phía dưới. Dưới mực nước ngầm, áp suất nước lỗ rỗng là thủy tĩnh: u = γ_w·(độ sâu dưới mực nước ngầm).

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·1 + 19·8 = 168,5 kPa

Đáp số

σ = 168,5 kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: u = 49,05 kPa

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Đáp số

u = 49,05 kPa

15.Lún cố kết

Đáp số: S = 35,5 mm

Cố kết sơ cấp của một lớp sét dày H, dùng ứng suất hữu hiệu ở giữa lớp: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Sét cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Sét quá cố kết nén lại theo C_r đến áp lực tiền cố kết σ′_p và chỉ theo C_c sau đó. Thời gian: t = T_v·H_dr²/c_v, trong đó đường thoát nước H_dr là H/2 khi nước có thể thoát ở trên và dưới, và H khi chỉ một phía thoát nước.

So sánh với áp lực tiền cố kết

σ′_f = 120 + 70 = 190 kPa > 170 kPa

Độ lún

Nén lại đến σ′_p, nén nguyên sinh sau đó.

S = 0,06·2/(1 + 0,6)·log₁₀(170/120) + 0,4·2/(1 + 0,6)·log₁₀(190/170)

S = 11,35 + 24,15 = 35,5 mm

Đáp số

S = 35,5 mm

16.Lún cố kết

Đáp số: t = 106 năm

Đường thoát nước

H_dr = H = 10 m

Thời gian

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·10²/0,8 = 106 năm

Đáp số

t = 106 năm

17.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 156,3 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·3,75 = 156,3 kN

Đáp số

F = 156,3 kN

18.Lực thủy tĩnh

Đáp số: y_cp = 2,167 m

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2·3 = 51,8 kN

Tâm áp lực

Áp suất tăng theo độ sâu, nên hợp lực tác dụng phía dưới trọng tâm.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 1/(2·3) = 2,167 m

Đáp số

y_cp = 2,167 m

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: h_f = 2,039 m

Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ h_m = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = h_f + h_m, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.

Cột áp vận tốc

V²/(2g) = 1²/(2·9,81) = 0,05097 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(500/0,25)·1²/(2·9,81) = 2,039 m

Đáp số

h_f = 2,039 m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: Q = 28,91 L/s

Các hệ số tổn thất

f·L/D = 0,018·150/0,1 = 27

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Phương trình năng lượng

Cả hai mặt nước đều thông với không khí và thực tế đứng yên, nên toàn bộ Δz bị mất trong ống.

27 = (27 + 12,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·27/39,1) = 3,681 m/s

Lưu lượng

Q = V·π·D²/4 = 3,681·0,007854 = 0,02891 m³/s = 28,91 L/s

Đáp số

Q = 28,91 L/s

21.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: Q = 162,1 m³/s

Phương trình Manning (SI): với dòng chảy đều trong kênh hở V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 và Q = A·V, với n là hệ số nhám, S là độ dốc đáy (m/m) và R = A/P là bán kính thủy lực: diện tích dòng chảy chia cho chu vi ướt. Chỉ phần biên tiếp xúc với nước được tính trong P, không tính mặt thoáng. Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y. Hình thang có mái dốc z:1 (ngang:đứng): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ống tròn chảy đầy hoặc đầy một nửa có R = D/4.

Hình học

A = (b + z·y)·y = (6 + 3·2,4)·2,4 = 31,68 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2,4·√(1 + 3²) = 21,18 m

R = A/P = 1,496 m

Vận tốc

V = (1/0,014)·1,496^2/3·0,003^1/2 = 5,117 m/s

Lưu lượng

Q = A·V = 31,68·5,117 = 162,1 m³/s

Đáp số

Q = 162,1 m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: S = 0,001509 m/m

Hình học

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1·2,3)·2,3 = 8,74 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·2,3·√(1 + 1²) = 8,005 m

R = A/P = 1,092 m

Giải Manning tìm S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·12/(8,74·1,06) = 0,03885

S = 0,03885² = 0,001509

Đáp số

S = 0,001509

Đó là độ hạ 1,509 m trên mỗi kilômét.

23.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: P_shaft = 9,571 kW

Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: P_shaft = P_h/η_pump, và động cơ tiêu thụ P_el = P_shaft/η_motor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.

Công suất thủy lực

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·16 = 7,848 kW

Công suất trên trục

P_shaft = P_h/η = 7,848/0,82 = 9,571 kW

Đáp số

P_shaft = 9,571 kW

24.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: P_shaft = 24,44 kW

Vận tốc

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Các tổn thất cột áp

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (66 + 6)·0,2905 = 20,91 m

Cột áp của bơm

H = Δz + h_L = 5 + 20,91 = 25,91 m

Công suất trên trục

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·25,91/0,78 = 24,44 kW

Đáp số

P_shaft = 24,44 kW

25.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 1432 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = r/m = 0,06/12 = 0,005

N = m·n = 12·6 = 72

Giá trị tương lai

FV = 1 000·(1 + 0,005)⁷² = 1 000·1,432 = €1 432,04

Đáp số

FV = €1 432,04

26.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: A = 301,2 €

Lãi suất tháng và số khoản gửi

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·7 = 84

Khoản tiền gửi

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0,004/(1,398 − 1) = €301,20

Đáp số

A = €301,20

27.NPV và IRR

Đáp số: NPV = 8448 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 14 000/1,05 = 13 333,33

CF₂/(1 + 0,05)² = 11 000/1,103 = 9 977,32

CF₃/(1 + 0,05)³ = 8 000/1,158 = 6 910,70

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 10 000/1,216 = 8 227,02

Cộng lại

NPV = €8 448,38

Đáp số

NPV = €8 448,38

NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.

28.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 12,15 %

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(10%) = 619,83

NPV(15%) = −775,05

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 10 + 5·619,83/(619,83 − (−775,05)) = 12,22%

chính xác: NPV(12,15%) = 0 → IRR = 12,15%

Đáp số

IRR = 12,15%

29.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = 0,61

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = 1 − 0,2709 = 0,7291

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,7291 bên trong bảng và đọc ra z.

z = 0,61

Đáp số

z = 0,61

30.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8665

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

Chuẩn hóa

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

Xác suất

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

Đáp số

P = 0,8665

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil