Luyện thi FE Xây dựng: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 30 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ứng suất hữu hiệu trong đất

Ứng suất toàn phần: σ = Σγ_i·h_i
Áp suất nước lỗ rỗng: u = γ_w·(z − z_w)
Ứng suất hữu hiệu: σ′ = σ − u
Nước: γ_w = 9,81 kN/m³

Lún cố kết

Cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Ứng suất cuối: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Quá cố kết, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Quá cố kết, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Tỉ số quá cố kết: OCR = σ′_p/σ′₀
Thời gian cố kết: t = T_v·H_dr²/c_v
Đường thoát nước: H_dr = H/2 (thoát nước hai phía), H (thoát nước một phía)
Nhân tố thời gian: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Lực thủy tĩnh

Áp suất tại độ sâu: p = ρgh
Lực lên tường thẳng đứng: F = ρg·h_c·A
Tâm áp lực: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Hình chữ nhật: I_c = bH³/12

Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Số Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Chế độ chảy: chảy tầng dưới Re ≈ 2000, chảy rối trên Re ≈ 4000
Vận tốc trung bình: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Tổn thất cục bộ: h_m = ΣK·V²/(2g)
Giá trị K thường gặp: lối vào 0,5, lối ra 1,0, khúc cua 90° ≈ 0,3
Độ giảm áp suất: Δp = ρ·g·h_f
Hai bể chứa hở: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Cửa ra tự do: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Dòng chảy hở (Manning)

Phương trình Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Lưu lượng: Q = A·V
Bán kính thủy lực: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y
Hình thang (mái dốc z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Ống tròn, đầy hoặc đầy một nửa: R = D/4
Độ dốc yêu cầu: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Máy bơm và công suất bơm

Công suất thủy lực: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Công suất trên trục: P_shaft = P_h/η_pump
Công suất điện: P_el = P_shaft/η_motor
Cột áp của bơm: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Tổn thất của hệ thống: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối con lăn tại B. Nó chịu một lực tập trung P tại vị trí cách A 5 m và một ngẫu lực ngược chiều kim đồng hồ M tại vị trí cách A 9 m. Tìm phản lực thẳng đứng R_B, lấy chiều hướng lên là dương.

L = 10 mP = 15 kN tại 5 mM = 15 kN·m (ngược chiều kim đồng hồ) tại 9 m

R_B = kN

2.Phản lực gối của dầmKhó

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối con lăn tại B. Một lực P tác dụng tại vị trí cách A 0,5 m, nghiêng 40° so với phương ngang, và một lực thẳng đứng Q tác dụng tại vị trí cách A 2 m. Tìm độ lớn của tổng phản lực R_A tại gối cố định A.

L = 4 mP = 45 kN tại 0,5 m, θ = 40°Q = 30 kN tại 2 m

R_A = kN

3.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

B: 30 kN ↓H: 20 kN ↓

1thanh AB
2thanh BC
3thanh CD
4thanh DE
5thanh FG
6thanh GH
7thanh AF
8thanh HE
9thanh BF
10thanh CG
11thanh DH
12thanh BG
13thanh DG

4.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

B: 20 kN ↓D: 40 kN ↓F: 25 kN ↓F: 15 kN →H: 30 kN ↓

1thanh AB
2thanh BC
3thanh CD
4thanh DE
5thanh FG
6thanh GH
7thanh AF
8thanh HE
9thanh BF
10thanh CG
11thanh DH
12thanh FC
13thanh HC

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 2 m tới đầu tự do C. Dầm chịu một lực tập trung P₁ giữa hai gối và một lực tập trung P₂ tại C. Tìm mô-men uốn M_B tại gối B. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 8 mP₁ = 25 kN tại 1 mP₂ = 25 kN tại 8 mcác gối tại x = 0 và x = 6 m

M_B = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 1,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 6 mP = 35 kN tại 1,5 mw = 2 kN/m từ 0 đến 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 1 m. Tìm độ võng δ_B tại đầu tự do B.

P = 25 kNa = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (nhôm)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối B một đoạn b = 1,5 m. Tìm độ võng lớn nhất δ_max của dầm.

P = 17 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (nhôm)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 15 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 15 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tấm 120 mm × 200 mm có một lỗ tròn đường kính 30 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 120 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 200 mmd = 30 mmtâm lỗ: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 25 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σ_trên ở mép trên.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmM = 25 kN·m

σ_trên = MPa

13.Ứng suất hữu hiệu trong đấtTrung bình

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất toàn phần theo phương thẳng đứng σ tại điểm X.

z = 5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 16,5 kN/m³cát: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ = kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đấtKhó

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng σ′ tại điểm X.

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 15,5 kN/m³cát: γ_sat = 20,5 kN/m³sét: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.Lún cố kếtTrung bình

Một lớp sét quá cố kết dày 8 m có C_c = 0,3, C_r = 0,06 và e₀ = 0,8. Ở độ sâu giữa lớp, ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng là 55 kPa và áp lực tiền cố kết là 165 kPa. Một tòa nhà mới thêm 160 kPa ứng suất thẳng đứng ở độ sâu giữa lớp. Tìm độ lún cố kết sơ cấp S theo mm.

H = 8 mC_c = 0,3C_r = 0,06e₀ = 0,8σ′₀ = 55 kPaσ′_p = 165 kPaΔσ = 160 kPa

S = mm

16.Lún cố kếtKhó

Một lớp sét dày 2 m có hệ số cố kết c_v = 4 m²/năm. Nó nằm trên đá không thấm, có cát phía trên, nên nước chỉ thoát ra ở đỉnh. Với cố kết trung bình 70%, nhân tố thời gian là T_v = 0,403. Lớp đó mất bao nhiêu năm t để đạt 70% cố kết?

H = 2 mc_v = 4 m²/nămU = 70%T_v = 0,403thoát nước một phía

t = năm

17.Lực thủy tĩnhTrung bình

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1,5 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 2,5 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 2,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Lực thủy tĩnhKhó

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 2 m nằm trong thành bể chứa nước biển, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 4 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 4 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápTrung bình

Nước chảy với 60 L/s qua một ống dài 300 m, đường kính trong 300 mm. Dùng hệ số ma sát Darcy f = 0,025 và g = 9,81 m/s². Tìm tổn thất cột áp do ma sát h_f.

Q = 60 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápKhó

Hai bể chứa hở được nối bằng một ống dài 100 m, đường kính trong 300 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,018. Mặt nước của bể trên cao hơn bể dưới 6 m. Các tổn thất cục bộ là lối vào cạnh vuông (K = 0,5), 2 khúc cua (K = 0,3 mỗi khúc), một van (K = 0,2) và lối ra vào bể thấp hơn (K = 1,0). Dùng g = 9,81 m/s². Tìm lưu lượng Q theo L/s.

Δz = 6 mL = 100 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Dòng chảy hở (Manning)Trung bình

Một kênh đất có phủ cỏ hình chữ nhật rộng 1 m. Nước chảy đều sâu 1,8 m. Hệ số Manning n = 0,03 và độ dốc đáy là S = 0,0005. Tìm lưu lượng Q theo m³/s.

b = 1 my = 1,8 mn = 0,03S = 0,0005

Q = m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)Khó

Một kênh bê tông được hoàn thiện hình chữ nhật rộng 2 m phải tải 2,5 m³/s ở dòng chảy đều với độ sâu 0,8 m. Hệ số Manning n = 0,012. Tìm độ dốc đáy yêu cầu S (theo m/m).

Q = 2,5 m³/sb = 2 my = 0,8 mn = 0,012

S = m/m

23.Máy bơm và công suất bơmTrung bình

Một máy bơm có hiệu suất 82% cấp 30 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) ngược với cột áp 38 m. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm công suất trên trục P_shaft cần thiết, theo kW.

Q = 30 L/sH = 38 mη = 82%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Máy bơm và công suất bơmKhó

Một máy bơm chuyển 12 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) từ một bể hở phía dưới lên một bồn phía trên có mặt nước cao hơn 8 m. Ống dài 400 m, đường kính trong 100 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,015; các hệ số tổn thất cục bộ cộng lại là ΣK = 8 (đã gồm lối vào và lối ra). Dùng g = 9,81 m/s². Bồn phía trên đóng kín và không khí phía trên nước ở áp suất dư 200 kPa. Tìm cột áp H mà bơm phải bổ sung.

Q = 12 L/sΔz = 8 mL = 400 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 8p_tank = 200 kPa

H = m

25.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn đầu tư €2 000 với lãi suất 2% mỗi năm ghép lãi liên tục. Tìm giá trị FV sau 12 năm.

PV = €2 000r = 2%t = 12

FV = €

26.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Một khoản vay €20 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 3 năm. Lãi suất là 3,6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản thanh toán hằng tháng A.

P = €20 0003,6% / 12N = 36

A = €

27.NPV và IRRTrung bình

Một chiếc máy tốn €60 000 hôm nay, dùng được 9 năm và tốn €1 000 mỗi năm để vận hành (trả vào cuối mỗi năm). Chi phí vốn là 5%. Tìm chi phí hàng năm tương đương EAC của nó.

C₀ = €60 000M = €1 000n = 9r = 5%

EAC = €

28.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €50 000 và mang lại €19 000, €30 500, €34 500 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −50 000CF₁ = 19 000CF₂ = 30 500CF₃ = 34 500

IRR = %

29.Phân phối chuẩnTrung bình

X có phân bố chuẩn với trung bình 120 mm và độ lệch chuẩn 0,3 mm; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 80 mm và độ lệch chuẩn 0,4 mm. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 199,5 mm. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,5 mm

P =

30.Phân phối chuẩnKhó

Chiều cao X của nam giới và Y của nữ giới trong một nhóm là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 180 cm và độ lệch chuẩn 10 cm, Y có trung bình 170 cm và độ lệch chuẩn 12 cm. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_B = 6 kN

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Mômen quanh A

Ngược chiều kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: R_B·10 − 15·5 + 15 = 0

R_B = 60/10 = 6 kN

Cân bằng theo phương thẳng đứng

R_A = 15 − 6 = 9 kN

Đáp số

R_B = 6 kN

Phản lực âm hướng xuống.

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = 53,04 kN

Các thành phần của P

P_v = 45·sin 40° = 28,93 kN

P_h = 45·cos 40° = 34,47 kN

Các phản lực

ΣM_A = 0: R_B·4 = 28,93·0,5 + 30·2 → R_B = 18,62 kN

A_y = 28,93 + 30 − 18,62 = 40,31 kN

A_x = P_h = 34,47 kN

Hợp lực tại A

R_A = √(34,47² + 40,31²) = 53,04 kN

Đáp số

R_A = 53,04 kN

3.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh CG

Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.

Nút C

BC và CD nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 27,5 kN (T), BC: 25 kN (T), CD: 25 kN (T), DE: 22,5 kN (T), FG: 27,5 kN (C), GH: 22,5 kN (C), AF: 38,89 kN (C), HE: 31,82 kN (C), BF: 27,5 kN (T), CG: 0, DH: 2,5 kN (T), BG: 3,536 kN (T), DG: 3,536 kN (C)

Đáp số

Thanh không lực: CG

4.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh CG

Nút G

FG và GH nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 62,5 kN (T), BC: 62,5 kN (T), CD: 67,5 kN (T), DE: 67,5 kN (T), FG: 65 kN (C), GH: 65 kN (C), AF: 67,18 kN (C), HE: 95,46 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 3,536 kN (T), HC: 3,536 kN (C)

Đáp số

Thanh không lực: CG

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_B = −50 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm. Tải ở đoạn công-xôn cũng gây mô-men đối với A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·1 + 25·8

R_B = 225/6 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 37,5 = 12,5 kN

Cắt tại B và giữ đoạn công-xôn

Chỉ có P₂ tác dụng lên đoạn công-xôn, với cánh tay đòn a. Nó uốn dầm võng lên trên gối (mô-men âm).

M_B = −P₂·a = −25·2 = −50 kN·m

Đáp số

M_B = −50 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 46,13 kN·m

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, đặt tại x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·1,5 + 2·6·3

R_B = 88,5/6 = 14,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 47 − 14,75 = 32,25 kN

Cắt tại x = 1,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 32,25·1,5 − 2·1,5·0,75 = 46,13 kN·m

Đáp số

M_x = 46,13 kN·m

7.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_B = 4,092 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 25000 N, a = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Độ võng ở đầu tự do

Độ võng tại tải cộng góc xoay tại tải nhân với chiều dài còn lại.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,744 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001116 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 4,092 mm

Đáp số

δ_B = 4,092 mm

8.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 5,226 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 17000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Vị trí của giá trị lớn nhất

Cho góc xoay trong đoạn dài hơn bằng không sẽ cho vị trí này.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

Độ võng lớn nhất

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 5,226 mm

Đáp số

δ_max = 5,226 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 3,876 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·4000 = 8000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/8000² = 3876 N = 3,876 kN

Đáp số

P_cr = 3,876 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 36,29 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2·15000 = 30000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 36,29 mm

Đáp số

d = 36,29 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 154,3, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 79,67 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có I_c = bh³/12 và hình tròn có I_c = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (24000·100 − 706,9·120)/(24000 − 706,9) = 99,39 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·200³/12 + 24000·0,6069² = 80,01 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·20,61² = 0,3399 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 79,67 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 79,67 × 10⁶ mm⁴

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_trên = 77,24 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

bụng: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·185 + 2880·90)/5080 = 131,1 mm

Định lý trục song song

cánh: 220·10³/12 + 2200·(185 − 131,1)² = 6,4 × 10⁶ mm⁴

bụng: 16·180³/12 + 2880·(90 − 131,1)² = 1,265 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,4 × 10⁶ + 1,265 × 10⁷ = 1,905 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 190 − 131,1 = 58,86 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·58,86/1,905 × 10⁷ = 77,24 MPa

Đáp số

σ_trên = 77,24 MPa

13.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ = 94,5 kPa

Ứng suất hữu hiệu (Terzaghi): khung hạt đất chịu σ′ = σ − u. Ứng suất toàn phần σ là trọng lượng của mọi thứ phía trên điểm đó, Σγ·h, dùng trọng lượng riêng khô phía trên mực nước ngầm và trọng lượng riêng bão hòa phía dưới. Dưới mực nước ngầm, áp suất nước lỗ rỗng là thủy tĩnh: u = γ_w·(độ sâu dưới mực nước ngầm).

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·2 + 20,5·3 = 94,5 kPa

Đáp số

σ = 94,5 kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ′ = 70,45 kPa

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·4

σ = 15,5·2 + 20,5·1 + 17·4 = 119,5 kPa

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Ứng suất hữu hiệu

σ′ = σ − u = 119,5 − 49,05 = 70,45 kPa

Đáp số

σ′ = 70,45 kPa

15.Lún cố kết

Đáp số: S = 280,5 mm

Cố kết sơ cấp của một lớp sét dày H, dùng ứng suất hữu hiệu ở giữa lớp: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Sét cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Sét quá cố kết nén lại theo C_r đến áp lực tiền cố kết σ′_p và chỉ theo C_c sau đó. Thời gian: t = T_v·H_dr²/c_v, trong đó đường thoát nước H_dr là H/2 khi nước có thể thoát ở trên và dưới, và H khi chỉ một phía thoát nước.

So sánh với áp lực tiền cố kết

σ′_f = 55 + 160 = 215 kPa > 165 kPa

Độ lún

Nén lại đến σ′_p, nén nguyên sinh sau đó.

S = 0,06·8/(1 + 0,8)·log₁₀(165/55) + 0,3·8/(1 + 0,8)·log₁₀(215/165)

S = 127,2 + 153,3 = 280,5 mm

Đáp số

S = 280,5 mm

16.Lún cố kết

Đáp số: t = 0,403 năm

Đường thoát nước

H_dr = H = 2 m

Thời gian

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·2²/4 = 0,403 năm

Đáp số

t = 0,403 năm

17.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 103 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·3 = 103 kN

Đáp số

F = 103 kN

18.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 264 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·5,25·5 = 264 kN

Đáp số

F = 264 kN

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: h_f = 0,9181 m

Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ h_m = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = h_f + h_m, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.

Vận tốc trung bình

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,06/0,07069 = 0,8488 m/s

Cột áp vận tốc

V²/(2g) = 0,8488²/(2·9,81) = 0,03672 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(300/0,3)·0,8488²/(2·9,81) = 0,9181 m

Đáp số

h_f = 0,9181 m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: Q = 266,2 L/s

Các hệ số tổn thất

f·L/D = 0,018·100/0,3 = 6

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3

Phương trình năng lượng

Cả hai mặt nước đều thông với không khí và thực tế đứng yên, nên toàn bộ Δz bị mất trong ống.

6 = (6 + 2,3)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·6/8,3) = 3,766 m/s

Lưu lượng

Q = V·π·D²/4 = 3,766·0,07069 = 0,2662 m³/s = 266,2 L/s

Đáp số

Q = 266,2 L/s

21.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: Q = 0,7178 m³/s

Phương trình Manning (SI): với dòng chảy đều trong kênh hở V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 và Q = A·V, với n là hệ số nhám, S là độ dốc đáy (m/m) và R = A/P là bán kính thủy lực: diện tích dòng chảy chia cho chu vi ướt. Chỉ phần biên tiếp xúc với nước được tính trong P, không tính mặt thoáng. Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y. Hình thang có mái dốc z:1 (ngang:đứng): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ống tròn chảy đầy hoặc đầy một nửa có R = D/4.

Hình học

A = b·y = 1·1,8 = 1,8 m²

P = b + 2y = 1 + 2·1,8 = 4,6 m

R = A/P = 0,3913 m

Vận tốc

V = (1/0,03)·0,3913^2/3·0,0005^1/2 = 0,3988 m/s

Lưu lượng

Q = A·V = 1,8·0,3988 = 0,7178 m³/s

Đáp số

Q = 0,7178 m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: S = 0,001037 m/m

Hình học

A = b·y = 2·0,8 = 1,6 m²

P = b + 2y = 2 + 2·0,8 = 3,6 m

R = A/P = 0,4444 m

Giải Manning tìm S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·2,5/(1,6·0,5824) = 0,0322

S = 0,0322² = 0,001037

Đáp số

S = 0,001037

Đó là độ hạ 1,037 m trên mỗi kilômét.

23.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: P_shaft = 13,64 kW

Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: P_shaft = P_h/η_pump, và động cơ tiêu thụ P_el = P_shaft/η_motor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.

Công suất thủy lực

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·38 = 11,18 kW

Công suất trên trục

P_shaft = P_h/η = 11,18/0,82 = 13,64 kW

Đáp số

P_shaft = 13,64 kW

24.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: H = 36,48 m

Vận tốc

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Các tổn thất cột áp

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 8)·0,119 = 8,091 m

Cột áp áp suất

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Cột áp của bơm

Cả hai mặt nước thực tế đều đứng yên, nên không có số hạng cột áp vận tốc.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 8 + 20,39 + 8,091 = 36,48 m

Đáp số

H = 36,48 m

25.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 2542 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Số mũ

r·t = 0,02·12 = 0,24

e^0,24 = 1,271

Giá trị tương lai

FV = 2 000·1,271 = €2 542,50

Đáp số

FV = €2 542,50

26.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: A = 586,9 €

Lãi suất tháng và số kỳ thanh toán

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·3 = 36

Khoản thanh toán

Giá trị hiện tại của N khoản thanh toán bằng nhau A là A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Cho nó bằng khoản vay và giải tìm A.

(1 + i)^−N = 0,8978

A = 20 000·0,003/(1 − 0,8978) = €586,93

Đáp số

A = €586,93

27.NPV và IRR

Đáp số: EAC = 9441 €

Chi phí hàng năm tương đương: trải giá trị hiện tại của mọi chi phí trên tuổi thọ thành một khoản đều hằng năm (một niên kim): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Nó cho phép bạn so sánh các máy có tuổi thọ khác nhau.

Hệ số niên kim

(1 − 1,05⁻⁹)/0,05 = 7,108

Giá mua quy đổi theo năm

60 000/7,108 = 8 441,40

EAC

EAC = 8 441,40 + 1 000 = €9 441,40

Đáp số

EAC = €9 441,40

28.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 27,89 %

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(25%) = 2 384,00

NPV(30%) = −1 634,05

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 25 + 5·2 384,00/(2 384,00 − (−1 634,05)) = 27,97%

chính xác: NPV(27,89%) = 0 → IRR = 27,89%

Đáp số

IRR = 27,89%

29.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8413

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Chuẩn hóa

z = (199,5 − 200)/0,5 = −1

Đuôi trên

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Đáp số

P = 0,8413

30.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7389

Phân bố của hiệu

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Chuẩn hóa

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Đáp số

P = 0,7389

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. Kỳ thi FE exam do NCEES tổ chức; tổ chức này không liên kết với ExamProblems và không bảo trợ nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil