Luyện thi FE Xây dựng: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 30 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ứng suất hữu hiệu trong đất

Ứng suất toàn phần: σ = Σγ_i·h_i
Áp suất nước lỗ rỗng: u = γ_w·(z − z_w)
Ứng suất hữu hiệu: σ′ = σ − u
Nước: γ_w = 9,81 kN/m³

Lún cố kết

Cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Ứng suất cuối: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Quá cố kết, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Quá cố kết, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Tỉ số quá cố kết: OCR = σ′_p/σ′₀
Thời gian cố kết: t = T_v·H_dr²/c_v
Đường thoát nước: H_dr = H/2 (thoát nước hai phía), H (thoát nước một phía)
Nhân tố thời gian: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Lực thủy tĩnh

Áp suất tại độ sâu: p = ρgh
Lực lên tường thẳng đứng: F = ρg·h_c·A
Tâm áp lực: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Hình chữ nhật: I_c = bH³/12

Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Số Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Chế độ chảy: chảy tầng dưới Re ≈ 2000, chảy rối trên Re ≈ 4000
Vận tốc trung bình: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Tổn thất cục bộ: h_m = ΣK·V²/(2g)
Giá trị K thường gặp: lối vào 0,5, lối ra 1,0, khúc cua 90° ≈ 0,3
Độ giảm áp suất: Δp = ρ·g·h_f
Hai bể chứa hở: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Cửa ra tự do: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Dòng chảy hở (Manning)

Phương trình Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Lưu lượng: Q = A·V
Bán kính thủy lực: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y
Hình thang (mái dốc z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Ống tròn, đầy hoặc đầy một nửa: R = D/4
Độ dốc yêu cầu: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Máy bơm và công suất bơm

Công suất thủy lực: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Công suất trên trục: P_shaft = P_h/η_pump
Công suất điện: P_el = P_shaft/η_motor
Cột áp của bơm: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Tổn thất của hệ thống: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm công-xôn được ngàm vào tường tại A. Nó chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại vị trí cách tường 4 m. Tìm độ lớn của mô-men phản lực M_A tại tường.

L = 8 mP = 55 kN tại 4 mw = 3 kN/m từ 0 đến 8 m

M_A = kN·m

2.Phản lực gối của dầmKhó

Dầm có gối cố định tại A và gối con lăn tại B, cách A 7 m, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B tới đầu tự do C. Dầm chịu một lực tập trung P tại vị trí cách A 5 m và tải phân bố đều w từ 4 m đến đầu tự do tại 10 m. Tìm phản lực thẳng đứng R_A, lấy chiều hướng lên là dương.

AB = 7 mAC = 10 mP = 25 kN tại 5 mw = 3 kN/m từ 4 đến 10 m

R_A = kN

3.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 5 mchiều cao = 4 mB cách A 2 mtải thẳng đứng = 45 kN

F_AB = kN

4.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AC trong thanh AC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 6 mchiều cao = 3 mB cách A 5 mtải thẳng đứng = 50 kNtải ngang = 25 kN →

F_AC = kN

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm lực cắt V_x tại mặt cắt x = 4 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mw = 8 kN/m từ 0 đến 5 mx = 4 m

V_x = kN

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều trên một phần nhịp. Tìm mô-men uốn lớn nhất M_max trong dầm.

L = 5 mw = 6 kN/m từ 2 đến 5 m

M_max = kN·m

7.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối A một đoạn a = 1,5 m. Tìm độ võng δ_P dưới tải.

P = 22 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 200 GPa (thép)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δ_max.

P = 18 kNw = 6 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một ống tròn có đường kính ngoài D = 110 mm và đường kính trong d = 102 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

D = 110 mmd = 102 mm

r = mm

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 20 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σ_trên ở mép trên.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mmM = 20 kN·m

σ_trên = MPa

13.Ứng suất hữu hiệu trong đấtTrung bình

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất toàn phần theo phương thẳng đứng σ tại điểm X.

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 15 kN/m³cát: γ_sat = 20 kN/m³

σ = kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đấtKhó

Với mặt cắt đất như hình, tìm áp suất nước lỗ rỗng u tại điểm X.

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 15,5 kN/m³cát: γ_sat = 18,5 kN/m³sét: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

15.Lún cố kếtTrung bình

Một lớp sét quá cố kết dày 3,5 m có C_c = 0,5, C_r = 0,05 và e₀ = 1,2. Ở độ sâu giữa lớp, ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng là 55 kPa và áp lực tiền cố kết là 175 kPa. Một tòa nhà mới thêm 260 kPa ứng suất thẳng đứng ở độ sâu giữa lớp. Tìm độ lún cố kết sơ cấp S theo mm.

H = 3,5 mC_c = 0,5C_r = 0,05e₀ = 1,2σ′₀ = 55 kPaσ′_p = 175 kPaΔσ = 260 kPa

S = mm

16.Lún cố kếtKhó

Một lớp sét dày 9,5 m có hệ số cố kết c_v = 0,5 m²/năm. Nó nằm trên đá không thấm, có cát phía trên, nên nước chỉ thoát ra ở đỉnh. Với cố kết trung bình 70%, nhân tố thời gian là T_v = 0,403. Lớp đó mất bao nhiêu năm t để đạt 70% cố kết?

H = 9,5 mc_v = 0,5 m²/nămU = 70%T_v = 0,403thoát nước một phía

t = năm

17.Lực thủy tĩnhTrung bình

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1,5 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 0,5 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 0,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Lực thủy tĩnhKhó

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 3 m nằm trong thành bể chứa nước biển, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 4 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápTrung bình

Nước chảy với vận tốc trung bình 1,8 m/s qua một ống dài 300 m, đường kính trong 75 mm. Dùng hệ số ma sát Darcy f = 0,015 và g = 9,81 m/s². Tìm tổn thất cột áp do ma sát h_f.

V = 1,8 m/sL = 300 mD = 75 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápKhó

Hai bể chứa hở được nối bằng một ống dài 400 m, đường kính trong 250 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,015. Mặt nước của bể trên cao hơn bể dưới 36 m. Các tổn thất cục bộ là lối vào cạnh vuông (K = 0,5), 2 khúc cua (K = 0,3 mỗi khúc), một van (K = 2) và lối ra vào bể thấp hơn (K = 1,0). Dùng g = 9,81 m/s². Tìm lưu lượng Q theo L/s.

Δz = 36 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Dòng chảy hở (Manning)Trung bình

Một kênh xây gạch hình thang có chiều rộng đáy 4,5 m và mái dốc 2:1 (ngang:đứng). Nước chảy đều sâu 2 m. Hệ số Manning n = 0,015 và độ dốc đáy là S = 0,0008. Tìm lưu lượng Q theo m³/s.

b = 4,5 my = 2 mz = 2n = 0,015S = 0,0008

Q = m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)Khó

Một kênh sỏi hình thang có chiều rộng đáy 2 m và mái dốc 1,5:1 (ngang:đứng) phải tải 15 m³/s ở dòng chảy đều với độ sâu 1,9 m. Hệ số Manning n = 0,025. Tìm độ dốc đáy yêu cầu S (theo m/m).

Q = 15 m³/sb = 2 my = 1,9 mz = 1,5n = 0,025

S = m/m

23.Máy bơm và công suất bơmTrung bình

Trong một thử nghiệm, một máy bơm cấp 10 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) ngược với cột áp 44 m trong khi trục của nó nhận 5,5 kW. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm hiệu suất bơm η theo phần trăm.

Q = 10 L/sH = 44 mP_shaft = 5,5 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Máy bơm và công suất bơmKhó

Một máy bơm chuyển 50 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) từ một bể hở phía dưới lên một bồn phía trên có mặt nước cao hơn 20 m. Ống dài 400 m, đường kính trong 150 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,015; các hệ số tổn thất cục bộ cộng lại là ΣK = 8 (đã gồm lối vào và lối ra). Dùng g = 9,81 m/s². Hiệu suất bơm là 85%. Tìm công suất trên trục P_shaft theo kW.

Q = 50 L/sΔz = 20 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 8η = 85%

P_shaft = kW

25.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Một niên kim trả €1 000 vào cuối mỗi năm trong 14 năm. Lãi suất là 7% mỗi năm. Tìm giá trị hiện tại PV của niên kim.

A = €1 000i = 7%n = 14

PV = €

26.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn tiết kiệm €100 vào cuối mỗi tháng trong 23 năm. Tài khoản trả lãi 2,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Cuối cùng bạn tiết kiệm được bao nhiêu? Tìm FV.

A = €1002,4% / 12N = 276

FV = €

27.NPV và IRRTrung bình

Một khoản đầu tư €30 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 4: €8 000, €8 000, €7 000, €8 000. Chi phí vốn là 8%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 8%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 000CF₂ = 8 000CF₃ = 7 000CF₄ = 8 000

NPV = €

28.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €10 000 và mang về €3 000, €4 500, €4 000, €3 500 vào cuối các năm từ 1 đến 4. Các dòng tiền có thể được tái đầu tư với chi phí vốn 10%. Tìm tỉ suất hoàn vốn nội bộ điều chỉnh MIRR theo phần trăm.

r = 10%CF₀ = −10 000CF₁ = 3 000CF₂ = 4 500CF₃ = 4 000CF₄ = 3 500

MIRR = %

29.Phân phối chuẩnTrung bình

Kéo z sao cho diện tích tô bóng giữa −z và z dưới đường cong chuẩn tắc bằng 0,6319. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,6319

z =

30.Phân phối chuẩnKhó

điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Tìm giá trị x mà 5% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 5).

μ = 65σ = 10P = 5%

x = điểm

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: M_A = 316 kN·m

Cân bằng của dầm công-xôn: một gối ngàm có thể đẩy lên và còn chống lại sự quay, nên nó cho một phản lực thẳng đứng R_A và một mô-men phản lực M_A. ΣF_y = 0 cho R_A, và mô-men đối với tường cho M_A = Σ(tải × khoảng cách đến tường). Tải phân bố tác dụng như hợp lực của nó tại trọng tâm của biểu đồ tải.

Hợp lực của tải phân bố

W = 3·8 = 24 kN, x̄ = 4 m

Mô-men đối với tường

M_A = P·a + W·x̄ = 55·4 + 24·4 = 316 kN·m

Đáp số

M_A = 316 kN·m

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = 7,143 kN

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Hợp lực của tải phân bố

W = 3·6 = 18 kN, x̄ = (4 + 10)/2 = 7 m

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣM_A = 0: R_B·7 = 25·5 + 18·7

R_B = 251/7 = 35,86 kN

R_A = 43 − 35,86 = 7,143 kN

Đáp số

R_A = 7,143 kN

3.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AB = −30,19 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·2 → C_y = 18 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 18 = 27 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −27/0,8944 = −30,19 kN

Đáp số

F_AB = −30,19 kN (nén)

4.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AC = 18,06 kN

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·5 + 25·3 → C_y = 54,17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 54,17 = −4,167 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −54,17/0,9487 = −57,1 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−57,1)·0,3162 = 18,06 kN

Đáp số

F_AC = 18,06 kN (kéo)

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: V_x = −12 kN

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2,5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Cắt tại x = 4 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

V = R_A − (mọi tải hướng xuống bên trái mặt cắt)

V_x = 20 − 8·4 = −12 kN

Đáp số

V_x = −12 kN

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 13,23 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, đặt tại x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·3·3,5

R_B = 63/5 = 12,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 12,6 = 5,4 kN

Lực cắt bằng không

Lực cắt bắt đầu bằng R_A, không đổi trên mọi đoạn không chịu tải và giảm với độ dốc w bên trong đoạn tải.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 5,4/6 = 2,9 m

Mô-men lớn nhất

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 5,4·2,9 − 6·0,9²/2 = 13,23 kN·m

Đáp số

M_max = 13,23 kN·m

7.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_P = 8,788 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 22000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Độ võng dưới tải

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 22000·1500²·3500²/(3·4,6 × 10¹²·5000) = 8,788 mm

Đáp số

δ_P = 8,788 mm

8.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 54,38 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 18000 N, w = 6 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δ_P = PL³/(48EI) = 18000·5000³/(48·1,76 × 10¹²) = 26,63 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 27,74 mm

Cộng lại

δ_max = 26,63 + 27,74 = 54,38 mm

Đáp số

δ_max = 54,38 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 110,2 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·6000 = 6000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/6000² = 110245 N = 110,2 kN

Đáp số

P_cr = 110,2 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 30,71 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Đáp số

σ_cr = 30,71 MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 37,5 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = I_c + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

A = π(D² − d²)/4 = 1332 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,874 × 10⁶ mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(1,874 × 10⁶/1332) = 37,5 mm

Đáp số

r = 37,5 mm

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_trên = 58,01 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

bụng: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·225 + 4400·110)/5800 = 137,8 mm

Định lý trục song song

cánh: 140·10³/12 + 1400·(225 − 137,8)² = 1,067 × 10⁷ mm⁴

bụng: 20·220³/12 + 4400·(110 − 137,8)² = 2,114 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,067 × 10⁷ + 2,114 × 10⁷ = 3,18 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 230 − 137,8 = 92,24 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·92,24/3,18 × 10⁷ = 58,01 MPa

Đáp số

σ_trên = 58,01 MPa

13.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ = 120 kPa

Ứng suất hữu hiệu (Terzaghi): khung hạt đất chịu σ′ = σ − u. Ứng suất toàn phần σ là trọng lượng của mọi thứ phía trên điểm đó, Σγ·h, dùng trọng lượng riêng khô phía trên mực nước ngầm và trọng lượng riêng bão hòa phía dưới. Dưới mực nước ngầm, áp suất nước lỗ rỗng là thủy tĩnh: u = γ_w·(độ sâu dưới mực nước ngầm).

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·4 + 20·3 = 120 kPa

Đáp số

σ = 120 kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: u = 49,05 kPa

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Đáp số

u = 49,05 kPa

15.Lún cố kết

Đáp số: S = 243 mm

Cố kết sơ cấp của một lớp sét dày H, dùng ứng suất hữu hiệu ở giữa lớp: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Sét cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Sét quá cố kết nén lại theo C_r đến áp lực tiền cố kết σ′_p và chỉ theo C_c sau đó. Thời gian: t = T_v·H_dr²/c_v, trong đó đường thoát nước H_dr là H/2 khi nước có thể thoát ở trên và dưới, và H khi chỉ một phía thoát nước.

So sánh với áp lực tiền cố kết

σ′_f = 55 + 260 = 315 kPa > 175 kPa

Độ lún

Nén lại đến σ′_p, nén nguyên sinh sau đó.

S = 0,05·3,5/(1 + 1,2)·log₁₀(175/55) + 0,5·3,5/(1 + 1,2)·log₁₀(315/175)

S = 39,99 + 203,1 = 243 mm

Đáp số

S = 243 mm

16.Lún cố kết

Đáp số: t = 72,74 năm

Đường thoát nước

H_dr = H = 9,5 m

Thời gian

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·9,5²/0,5 = 72,74 năm

Đáp số

t = 72,74 năm

17.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 44,15 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·3 = 44,15 kN

Đáp số

F = 44,15 kN

18.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 301,7 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·5·6 = 301,7 kN

Đáp số

F = 301,7 kN

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: h_f = 9,908 m

Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ h_m = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = h_f + h_m, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.

Cột áp vận tốc

V²/(2g) = 1,8²/(2·9,81) = 0,1651 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(300/0,075)·1,8²/(2·9,81) = 9,908 m

Đáp số

h_f = 9,908 m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: Q = 246,1 L/s

Các hệ số tổn thất

f·L/D = 0,015·400/0,25 = 24

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Phương trình năng lượng

Cả hai mặt nước đều thông với không khí và thực tế đứng yên, nên toàn bộ Δz bị mất trong ống.

36 = (24 + 4,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·36/28,1) = 5,014 m/s

Lưu lượng

Q = V·π·D²/4 = 5,014·0,04909 = 0,2461 m³/s = 246,1 L/s

Đáp số

Q = 246,1 L/s

21.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: Q = 37,48 m³/s

Phương trình Manning (SI): với dòng chảy đều trong kênh hở V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 và Q = A·V, với n là hệ số nhám, S là độ dốc đáy (m/m) và R = A/P là bán kính thủy lực: diện tích dòng chảy chia cho chu vi ướt. Chỉ phần biên tiếp xúc với nước được tính trong P, không tính mặt thoáng. Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y. Hình thang có mái dốc z:1 (ngang:đứng): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ống tròn chảy đầy hoặc đầy một nửa có R = D/4.

Hình học

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 2·2)·2 = 17 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·2·√(1 + 2²) = 13,44 m

R = A/P = 1,264 m

Vận tốc

V = (1/0,015)·1,264^2/3·0,0008^1/2 = 2,205 m/s

Lưu lượng

Q = A·V = 17·2,205 = 37,48 m³/s

Đáp số

Q = 37,48 m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: S = 0,001569 m/m

Hình học

A = (b + z·y)·y = (2 + 1,5·1,9)·1,9 = 9,215 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1,9·√(1 + 1,5²) = 8,851 m

R = A/P = 1,041 m

Giải Manning tìm S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·15/(9,215·1,027) = 0,03961

S = 0,03961² = 0,001569

Đáp số

S = 0,001569

Đó là độ hạ 1,569 m trên mỗi kilômét.

23.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: η = 78,48 %

Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: P_shaft = P_h/η_pump, và động cơ tiêu thụ P_el = P_shaft/η_motor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.

Công suất thủy lực

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·44 = 4,316 kW

Hiệu suất

η = P_h/P_shaft = 4,316/5,5 = 78,48%

Đáp số

η = 78,48%

24.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: P_shaft = 22,84 kW

Vận tốc

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Các tổn thất cột áp

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 8)·0,408 = 19,59 m

Cột áp của bơm

H = Δz + h_L = 20 + 19,59 = 39,59 m

Công suất trên trục

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·39,59/0,85 = 22,84 kW

Đáp số

P_shaft = 22,84 kW

25.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 8745 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Hệ số niên kim

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3878)/0,07 = 8,745

Giá trị hiện tại

PV = 1 000·8,745 = €8 745,47

Đáp số

PV = €8 745,47

26.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 36788 €

Lãi suất tháng và số khoản gửi

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·23 = 276

Giá trị tương lai của các khoản gửi

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1,736 − 1)/0,002 = €36 788,29

Đáp số

FV = €36 788,29

Bạn tự nộp vào €27 600; phần còn lại là tiền lãi.

27.NPV và IRR

Đáp số: NPV = −4297 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 8 000/1,08 = 7 407,41

CF₂/(1 + 0,08)² = 8 000/1,166 = 6 858,71

CF₃/(1 + 0,08)³ = 7 000/1,26 = 5 556,83

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 8 000/1,36 = 5 880,24

Cộng lại

NPV = €−4 296,82

Đáp số

NPV = €−4 296,82

NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.

28.NPV và IRR

Đáp số: MIRR = 14,75 %

IRR điều chỉnh: ghép lãi mọi dòng tiền vào đến cuối dự án theo lãi suất tái đầu tư (thường là chi phí vốn) để được giá trị cuối kỳ TV. MIRR là tỉ suất biến khoản đầu tư ban đầu thành TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Giá trị cuối kỳ của các dòng tiền vào

3 000·1,1³ = 3 993,00

4 500·1,1² = 5 445,00

4 000·1,1¹ = 4 400,00

3 500·1,1⁰ = 3 500,00

TV = 17 338,00

MIRR

MIRR = (17 338,00/10 000)^1/4 − 1 = 14,75%

Đáp số

MIRR = 14,75%

29.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = 0,9

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = (1 + 0,6319)/2 = 0,8159

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,8159 bên trong bảng và đọc ra z.

z = 0,90

Đáp số

z = 0,90

30.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 48,55 điểm

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Quay lại x

x = 65 + −1,645·10 = 48,55 điểm

Đáp số

x = 48,55 điểm

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. Kỳ thi FE exam do NCEES tổ chức; tổ chức này không liên kết với ExamProblems và không bảo trợ nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil