Luyện thi FE Xây dựng: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 30 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ứng suất hữu hiệu trong đất

Ứng suất toàn phần: σ = Σγ_i·h_i
Áp suất nước lỗ rỗng: u = γ_w·(z − z_w)
Ứng suất hữu hiệu: σ′ = σ − u
Nước: γ_w = 9,81 kN/m³

Lún cố kết

Cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Ứng suất cuối: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Quá cố kết, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Quá cố kết, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Tỉ số quá cố kết: OCR = σ′_p/σ′₀
Thời gian cố kết: t = T_v·H_dr²/c_v
Đường thoát nước: H_dr = H/2 (thoát nước hai phía), H (thoát nước một phía)
Nhân tố thời gian: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Lực thủy tĩnh

Áp suất tại độ sâu: p = ρgh
Lực lên tường thẳng đứng: F = ρg·h_c·A
Tâm áp lực: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Hình chữ nhật: I_c = bH³/12

Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Số Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Chế độ chảy: chảy tầng dưới Re ≈ 2000, chảy rối trên Re ≈ 4000
Vận tốc trung bình: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Tổn thất cục bộ: h_m = ΣK·V²/(2g)
Giá trị K thường gặp: lối vào 0,5, lối ra 1,0, khúc cua 90° ≈ 0,3
Độ giảm áp suất: Δp = ρ·g·h_f
Hai bể chứa hở: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Cửa ra tự do: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Dòng chảy hở (Manning)

Phương trình Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Lưu lượng: Q = A·V
Bán kính thủy lực: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y
Hình thang (mái dốc z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Ống tròn, đầy hoặc đầy một nửa: R = D/4
Độ dốc yêu cầu: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Máy bơm và công suất bơm

Công suất thủy lực: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Công suất trên trục: P_shaft = P_h/η_pump
Công suất điện: P_el = P_shaft/η_motor
Cột áp của bơm: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Tổn thất của hệ thống: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_B.

L = 5 mP₁ = 10 kN tại 2,5 mP₂ = 50 kN tại 3,5 m

R_B = kN

2.Phản lực gối của dầmKhó

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_A.

L = 10 mP = 15 kN tại 8 mw = 3 kN/m từ 5 đến 7 m

R_A = kN

3.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_BC trong thanh BC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 4 mchiều cao = 4 mB cách A 3 mtải thẳng đứng = 40 kN

F_BC = kN

4.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 5 mchiều cao = 3 mB cách A 2 mtải thẳng đứng = 40 kNtải ngang = 5 kN ←

F_AB = kN

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Dầm công-xôn ngàm tại A. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại vị trí cách A 1,5 m. Tìm mô-men uốn M_A tại ngàm A. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 3 mP = 75 kN tại 1,5 mw = 6 kN/m từ 0 đến 3 m

M_A = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 10 mP = 35 kN tại 5 mw = 5 kN/m từ 0 đến 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 1 m. Tìm độ võng δ_B tại đầu tự do B.

P = 25 kNa = 1 mL = 2 mE = 70 GPa (nhôm)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Độ võng của dầmKhó

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu một lực tập trung P tại giữa nhịp. EI không đổi. Tìm độ lớn của mô-men uốn M_A tại đầu ngàm.

L = 5 mP = 15 kN tại 2,5 m

M_A = kN·m

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tấm 200 mm × 200 mm có một lỗ tròn đường kính 40 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 60 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 200 mmh = 200 mmd = 40 mmtâm lỗ: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một tấm 120 mm × 150 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 60 mm và cao 40 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 52,5 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 150 mmlỗ khoét: 60 × 40 mmtâm lỗ: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ứng suất hữu hiệu trong đấtTrung bình

Với mặt cắt đất như hình, tìm áp suất nước lỗ rỗng u tại điểm X.

z = 10 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 16,5 kN/m³cát: γ_sat = 19,5 kN/m³

u = kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đấtKhó

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất toàn phần theo phương thẳng đứng σ tại điểm X.

z = 8,5 mz_w = 5 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 15 kN/m³cát: γ_sat = 20,5 kN/m³sét: γ_sat = 17 kN/m³

σ = kPa

15.Lún cố kếtTrung bình

Một lớp sét quá cố kết dày 2 m có C_c = 0,35, C_r = 0,05 và e₀ = 1. Ở độ sâu giữa lớp, ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng là 80 kPa và áp lực tiền cố kết là 110 kPa. Một tòa nhà mới thêm 15 kPa ứng suất thẳng đứng ở độ sâu giữa lớp. Tìm độ lún cố kết sơ cấp S theo mm.

H = 2 mC_c = 0,35C_r = 0,05e₀ = 1σ′₀ = 80 kPaσ′_p = 110 kPaΔσ = 15 kPa

S = mm

16.Lún cố kếtKhó

Một lớp sét dày 7,5 m có hệ số cố kết c_v = 2,5 m²/năm. Nó nằm trên đá không thấm, có cát phía trên, nên nước chỉ thoát ra ở đỉnh. Với cố kết trung bình 80%, nhân tố thời gian là T_v = 0,567. Lớp đó mất bao nhiêu năm t để đạt 80% cố kết?

H = 7,5 mc_v = 2,5 m²/nămU = 80%T_v = 0,567thoát nước một phía

t = năm

17.Lực thủy tĩnhTrung bình

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1,5 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 1,5 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Lực thủy tĩnhKhó

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1,5 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 3 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 3 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápTrung bình

Nước chảy với vận tốc trung bình 1,4 m/s qua một ống dài 50 m, đường kính trong 200 mm. Dùng hệ số ma sát Darcy f = 0,015 và g = 9,81 m/s². Tìm tổn thất cột áp do ma sát h_f.

V = 1,4 m/sL = 50 mD = 200 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápKhó

Hai bể chứa hở được nối bằng một ống dài 100 m, đường kính trong 150 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,02. Mặt nước của bể trên cao hơn bể dưới 36 m. Các tổn thất cục bộ là lối vào cạnh vuông (K = 0,5), 3 khúc cua (K = 0,3 mỗi khúc), một van (K = 5) và lối ra vào bể thấp hơn (K = 1,0). Dùng g = 9,81 m/s². Tìm lưu lượng Q theo L/s.

Δz = 36 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Dòng chảy hở (Manning)Trung bình

Một kênh xây gạch hình thang có chiều rộng đáy 1,5 m và mái dốc 1,5:1 (ngang:đứng). Nước chảy đều sâu 1,7 m. Hệ số Manning n = 0,015 và độ dốc đáy là S = 0,005. Tìm lưu lượng Q theo m³/s.

b = 1,5 my = 1,7 mz = 1,5n = 0,015S = 0,005

Q = m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)Khó

Một cống bê tông có đường kính trong 450 mm (hệ số Manning n = 0,013) phải đạt vận tốc tự làm sạch 0,6 m/s khi chảy vừa đầy. Tìm độ dốc tối thiểu S (theo m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

23.Máy bơm và công suất bơmTrung bình

Trong một thử nghiệm, một máy bơm cấp 100 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) ngược với cột áp 24 m trong khi trục của nó nhận 28,7 kW. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm hiệu suất bơm η theo phần trăm.

Q = 100 L/sH = 24 mP_shaft = 28,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Máy bơm và công suất bơmKhó

Một máy bơm chuyển 60 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) từ một bể hở phía dưới lên một bồn phía trên có mặt nước cao hơn 8 m. Ống dài 600 m, đường kính trong 200 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,015; các hệ số tổn thất cục bộ cộng lại là ΣK = 6 (đã gồm lối vào và lối ra). Dùng g = 9,81 m/s². Hiệu suất bơm là 78%. Tìm công suất trên trục P_shaft theo kW.

Q = 60 L/sΔz = 8 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 6η = 78%

P_shaft = kW

25.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn đầu tư €20 000 với lãi suất 5% mỗi năm ghép lãi liên tục. Tìm giá trị FV sau 20 năm.

PV = €20 000r = 5%t = 20

FV = €

26.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn gửi €3 000 vào đầu mỗi năm trong 18 năm, khoản đầu tiên gửi hôm nay. Tài khoản trả lãi 5% mỗi năm. Cuối năm 18 trong tài khoản có bao nhiêu? Tìm FV.

A = €3 000i = 5%n = 18

FV = €

27.NPV và IRRTrung bình

Một khoản đầu tư €60 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €18 000, €20 000, €19 000. Chi phí vốn là 5%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 18 000CF₂ = 20 000CF₃ = 19 000

NPV = €

28.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €150 000 hôm nay. Dòng tiền của nó là €17 000 vào cuối năm thứ 1 và tăng 5% mỗi năm cho đến dòng tiền cuối cùng vào cuối năm 8. Chi phí vốn là 10%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €17 000g = 5%n = 8r = 10%

NPV = €

29.Phân phối chuẩnTrung bình

điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 85,75 và 115 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 100σ = 15x₁ = 85,75x₂ = 115

P =

30.Phân phối chuẩnKhó

tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tìm giá trị x mà 97,5% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 97,5).

μ = 500σ = 40P = 97,5%

x = h

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_B = 40 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·2,5 + 50·3,5

R_B = 200/5 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 40 = 20 kN

Đáp số

R_B = 40 kN

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = 5,4 kN

Sơ đồ vật thể tự do

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN, đặt tại x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·8 + 3·2·6

R_B = 156/10 = 15,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 21 − 15,6 = 5,4 kN

Đáp số

R_A = 5,4 kN

3.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_BC = −30,92 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 40·3 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 30 = 10 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0,9701 = −30,92 kN

Đáp số

F_BC = −30,92 kN (nén)

4.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AB = −32,45 kN

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·2 − 5·3 → C_y = 13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 13 = 27 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −27/0,8321 = −32,45 kN

Đáp số

F_AB = −32,45 kN (nén)

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_A = −139,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Giữ phần đầu tự do

P: −75·1,5 = −112,5 kN·m

w: −6·3²/2 = −27 kN·m

M_A = −112,5 − 27 = −139,5 kN·m

Đáp số

M_A = −139,5 kN·m

Dấu âm nghĩa là uốn võng lên: thớ trên chịu kéo.

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 150 kN·m

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, đặt tại x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·5 + 5·10·5

R_B = 425/10 = 42,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 42,5 = 42,5 kN

Cắt tại x = 5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 42,5·5 − 5·5·2,5 = 150 kN·m

Đáp số

M_x = 150 kN·m

7.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_B = 2,48 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 25000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Độ võng ở đầu tự do

Độ võng tại tải cộng góc xoay tại tải nhân với chiều dài còn lại.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,9921 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001488 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2,48 mm

Đáp số

δ_B = 2,48 mm

8.Độ võng của dầm

Đáp số: M_A = 14,06 kN·m

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống R_B nâng đầu tự do lên một đoạn R_BL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·15/16 = 4,688 kN

Mô-men tại đầu ngàm

Mô-men đối với A của các tải và lực chống.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 37,5 − 23,44 = 14,06 kN·m

Đáp số

M_A = 14,06 kN·m

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 629,4 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/1400² = 629439 N = 629,4 kN

Đáp số

P_cr = 629,4 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 7,676 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Đáp số

σ_cr = 7,676 MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 131,1 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có I_c = bh³/12 và hình tròn có I_c = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (40000·100 − 1257·60)/(40000 − 1257) = 101,3 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

200·200³/12 + 40000·−1,297² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−41,3² = 2,269 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 131,1 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 131,1 × 10⁶ mm⁴

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 32,03 × 10⁶ mm⁴

Trọng tâm

ȳ = (18000·75 − 2400·52,5)/(18000 − 2400) = 78,46 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·150³/12 + 18000·−3,462² = 33,97 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

60·40³/12 + 2400·−25,96² = 1,938 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 32,03 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 32,03 × 10⁶ mm⁴

13.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: u = 58,86 kPa

Ứng suất hữu hiệu (Terzaghi): khung hạt đất chịu σ′ = σ − u. Ứng suất toàn phần σ là trọng lượng của mọi thứ phía trên điểm đó, Σγ·h, dùng trọng lượng riêng khô phía trên mực nước ngầm và trọng lượng riêng bão hòa phía dưới. Dưới mực nước ngầm, áp suất nước lỗ rỗng là thủy tĩnh: u = γ_w·(độ sâu dưới mực nước ngầm).

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Đáp số

u = 58,86 kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ = 138 kPa

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γ_d·5 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2,5

σ = 15·5 + 20,5·1 + 17·2,5 = 138 kPa

Đáp số

σ = 138 kPa

15.Lún cố kết

Đáp số: S = 3,732 mm

Cố kết sơ cấp của một lớp sét dày H, dùng ứng suất hữu hiệu ở giữa lớp: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Sét cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Sét quá cố kết nén lại theo C_r đến áp lực tiền cố kết σ′_p và chỉ theo C_c sau đó. Thời gian: t = T_v·H_dr²/c_v, trong đó đường thoát nước H_dr là H/2 khi nước có thể thoát ở trên và dưới, và H khi chỉ một phía thoát nước.

So sánh với áp lực tiền cố kết

σ′_f = 80 + 15 = 95 kPa ≤ 110 kPa

Độ lún

Sét vẫn nằm trên đường nén lại của nó.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·2/(1 + 1)·log₁₀(95/80) = 3,732 mm

Đáp số

S = 3,732 mm

16.Lún cố kết

Đáp số: t = 12,76 năm

Đường thoát nước

H_dr = H = 7,5 m

Thời gian

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·7,5²/2,5 = 12,76 năm

Đáp số

t = 12,76 năm

17.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 101,2 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·3,75 = 101,2 kN

Đáp số

F = 101,2 kN

18.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 51,5 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·1,5 = 51,5 kN

Đáp số

F = 51,5 kN

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: h_f = 0,3746 m

Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ h_m = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = h_f + h_m, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.

Cột áp vận tốc

V²/(2g) = 1,4²/(2·9,81) = 0,0999 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,2)·1,4²/(2·9,81) = 0,3746 m

Đáp số

h_f = 0,3746 m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: Q = 103,1 L/s

Các hệ số tổn thất

f·L/D = 0,02·100/0,15 = 13,33

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Phương trình năng lượng

Cả hai mặt nước đều thông với không khí và thực tế đứng yên, nên toàn bộ Δz bị mất trong ống.

36 = (13,33 + 7,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·36/20,73) = 5,837 m/s

Lưu lượng

Q = V·π·D²/4 = 5,837·0,01767 = 0,1031 m³/s = 103,1 L/s

Đáp số

Q = 103,1 L/s

21.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: Q = 30,31 m³/s

Phương trình Manning (SI): với dòng chảy đều trong kênh hở V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 và Q = A·V, với n là hệ số nhám, S là độ dốc đáy (m/m) và R = A/P là bán kính thủy lực: diện tích dòng chảy chia cho chu vi ướt. Chỉ phần biên tiếp xúc với nước được tính trong P, không tính mặt thoáng. Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y. Hình thang có mái dốc z:1 (ngang:đứng): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ống tròn chảy đầy hoặc đầy một nửa có R = D/4.

Hình học

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1,5·1,7)·1,7 = 6,885 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,7·√(1 + 1,5²) = 7,629 m

R = A/P = 0,9024 m

Vận tốc

V = (1/0,015)·0,9024^2/3·0,005^1/2 = 4,402 m/s

Lưu lượng

Q = A·V = 6,885·4,402 = 30,31 m³/s

Đáp số

Q = 30,31 m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: S = 0,00112 m/m

Bán kính thủy lực

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

Giải Manning tìm S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,233)² = 0,00112

Đáp số

S = 0,00112

Đó là độ hạ 1,12 m trên mỗi kilômét.

23.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: η = 82,03 %

Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: P_shaft = P_h/η_pump, và động cơ tiêu thụ P_el = P_shaft/η_motor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.

Công suất thủy lực

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·24 = 23,54 kW

Hiệu suất

η = P_h/P_shaft = 23,54/28,7 = 82,03%

Đáp số

η = 82,03%

24.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: P_shaft = 13,19 kW

Vận tốc

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Các tổn thất cột áp

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 6)·0,1859 = 9,481 m

Cột áp của bơm

H = Δz + h_L = 8 + 9,481 = 17,48 m

Công suất trên trục

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·17,48/0,78 = 13,19 kW

Đáp số

P_shaft = 13,19 kW

25.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 54366 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Số mũ

r·t = 0,05·20 = 1

e¹ = 2,718

Giá trị tương lai

FV = 20 000·2,718 = €54 365,64

Đáp số

FV = €54 365,64

26.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 88617 €

Hệ số niên kim thông thường

((1 + 0,05)¹⁸ − 1)/0,05 = 28,13

Niên kim đầu kỳ

Mỗi khoản tiền gửi được đầu tư thêm một năm.

FV = 3 000·28,13·1,05 = €88 617,01

Đáp số

FV = €88 617,01

27.NPV và IRR

Đáp số: NPV = −8304 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 18 000/1,05 = 17 142,86

CF₂/(1 + 0,05)² = 20 000/1,103 = 18 140,59

CF₃/(1 + 0,05)³ = 19 000/1,158 = 16 412,91

Cộng lại

NPV = €−8 303,64

Đáp số

NPV = €−8 303,64

NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.

28.NPV và IRR

Đáp số: NPV = −44343 €

Giá trị hiện tại của niên kim tăng trưởng

((1,05)/(1,1))⁸ = 0,6892

PV = 17 000/(0,1 − 0,05)·(1 − 0,6892) = 105 657,08

NPV

NPV = 105 657,08 − 150 000 = −€44 342,92

Đáp số

NPV = −€44 342,92

NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.

29.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,6703

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (85,75 − 100)/15 = −0,95

z₂ = (115 − 100)/15 = 1

Diện tích ở giữa

P = Φ(1) − Φ(−0,95) = 0,8413 − 0,1711 = 0,6703

Đáp số

P = 0,6703

30.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 578,4 h

z của phân vị

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Quay lại x

x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h

Đáp số

x = 578,4 h

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. Kỳ thi FE exam do NCEES tổ chức; tổ chức này không liên kết với ExamProblems và không bảo trợ nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil