Luyện thi FE Xây dựng: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 30 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ứng suất hữu hiệu trong đất

Ứng suất toàn phần: σ = Σγ_i·h_i
Áp suất nước lỗ rỗng: u = γ_w·(z − z_w)
Ứng suất hữu hiệu: σ′ = σ − u
Nước: γ_w = 9,81 kN/m³

Lún cố kết

Cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Ứng suất cuối: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Quá cố kết, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Quá cố kết, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Tỉ số quá cố kết: OCR = σ′_p/σ′₀
Thời gian cố kết: t = T_v·H_dr²/c_v
Đường thoát nước: H_dr = H/2 (thoát nước hai phía), H (thoát nước một phía)
Nhân tố thời gian: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Lực thủy tĩnh

Áp suất tại độ sâu: p = ρgh
Lực lên tường thẳng đứng: F = ρg·h_c·A
Tâm áp lực: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Hình chữ nhật: I_c = bH³/12

Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Số Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Chế độ chảy: chảy tầng dưới Re ≈ 2000, chảy rối trên Re ≈ 4000
Vận tốc trung bình: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Tổn thất cục bộ: h_m = ΣK·V²/(2g)
Giá trị K thường gặp: lối vào 0,5, lối ra 1,0, khúc cua 90° ≈ 0,3
Độ giảm áp suất: Δp = ρ·g·h_f
Hai bể chứa hở: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Cửa ra tự do: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Dòng chảy hở (Manning)

Phương trình Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Lưu lượng: Q = A·V
Bán kính thủy lực: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y
Hình thang (mái dốc z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Ống tròn, đầy hoặc đầy một nửa: R = D/4
Độ dốc yêu cầu: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Máy bơm và công suất bơm

Công suất thủy lực: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Công suất trên trục: P_shaft = P_h/η_pump
Công suất điện: P_el = P_shaft/η_motor
Cột áp của bơm: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Tổn thất của hệ thống: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_B.

L = 8 mP₁ = 15 kN tại 4 mP₂ = 25 kN tại 7 m

R_B = kN

2.Phản lực gối của dầmKhó

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_A.

L = 5 mP = 10 kN tại 2 mw = 5 kN/m từ 3 đến 4 m

R_A = kN

3.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 6 mchiều cao = 2 mB cách A 5 mtải thẳng đứng = 20 kN

F_AB = kN

4.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

D: 35 kN ↓G: 40 kN ↓H: 15 kN ↓H: 35 kN ←

1thanh AB
2thanh BC
3thanh CD
4thanh DE
5thanh FG
6thanh GH
7thanh AF
8thanh HE
9thanh BF
10thanh CG
11thanh DH
12thanh FC
13thanh HC

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Dầm đơn giản chịu một ngẫu lực cùng chiều kim đồng hồ M₀ = 25 kN·m tại x = 1 m tính từ A, và không có tải nào khác. Tìm mô-men uốn M_x ngay bên phải ngẫu lực. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 4 mM₀ = 25 kN·m cùng chiều kim đồng hồ, tại 1 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 7 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 8 mP = 35 kN tại 7 mw = 3 kN/m từ 0 đến 8 mx = 7 m

M_x = kN·m

7.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Tìm góc xoay θ_A của dầm tại gối A, theo radian.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Độ võng của dầmKhó

Một dầm gỗ đơn giản có tiết diện chữ nhật, rộng 75 mm, chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Độ võng tại giữa nhịp không được vượt quá nhịp/300. Tìm chiều cao tiết diện nhỏ nhất h_req.

w = 4 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)b = 75 mm

h_req = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 40 kN·m. Tìm ứng suất uốn σ_dưới ở mép dưới.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmM = 40 kN·m

σ_dưới = MPa

13.Ứng suất hữu hiệu trong đấtTrung bình

Với mặt cắt đất như hình, tìm áp suất nước lỗ rỗng u tại điểm X.

z = 8 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 17 kN/m³cát: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đấtKhó

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng σ′ tại điểm X.

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 15 kN/m³cát: γ_sat = 20 kN/m³sét: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Lún cố kếtTrung bình

Một lớp sét quá cố kết dày 6 m có C_c = 0,2, C_r = 0,03 và e₀ = 1,1. Ở độ sâu giữa lớp, ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng là 65 kPa và tỉ số quá cố kết là OCR = 2,5. Một tòa nhà mới thêm 70 kPa ứng suất thẳng đứng ở độ sâu giữa lớp. Tìm độ lún cố kết sơ cấp S theo mm.

H = 6 mC_c = 0,2C_r = 0,03e₀ = 1,1σ′₀ = 65 kPaOCR = 2,5Δσ = 70 kPa

S = mm

16.Lún cố kếtKhó

Một lớp sét dày 7 m có hệ số cố kết c_v = 1 m²/năm. Nó nằm giữa hai lớp cát, nên nước thoát ra ở đỉnh và đáy. Với cố kết trung bình 70%, nhân tố thời gian là T_v = 0,403. Lớp đó mất bao nhiêu năm t để đạt 70% cố kết?

H = 7 mc_v = 1 m²/nămU = 70%T_v = 0,403thoát nước hai phía

t = năm

17.Lực thủy tĩnhTrung bình

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 3 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 1 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Lực thủy tĩnhKhó

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1,5 m nằm trong thành bể chứa glycerin, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 0,5 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápTrung bình

Nước chảy với vận tốc trung bình 3 m/s qua một ống dài 200 m, đường kính trong 75 mm. Dùng hệ số ma sát Darcy f = 0,025 và g = 9,81 m/s². Tìm tổn thất cột áp do ma sát h_f.

V = 3 m/sL = 200 mD = 75 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápKhó

Hai bể chứa hở được nối bằng một ống dài 300 m, đường kính trong 300 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,015. Mặt nước của bể trên cao hơn bể dưới 30 m. Các tổn thất cục bộ là lối vào cạnh vuông (K = 0,5), 4 khúc cua (K = 0,3 mỗi khúc), một van (K = 10) và lối ra vào bể thấp hơn (K = 1,0). Dùng g = 9,81 m/s². Tìm lưu lượng Q theo L/s.

Δz = 30 mL = 300 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Dòng chảy hở (Manning)Trung bình

Một cống thoát nước mưa bằng bê tông có đường kính trong 750 mm chảy vừa đầy (như kênh hở, không có áp). Hệ số Manning n = 0,013 và độ dốc là S = 0,001. Tìm lưu lượng Q theo m³/s.

D = 750 mmn = 0,013S = 0,001

Q = m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)Khó

Một kênh bê tông chưa hoàn thiện hình thang có chiều rộng đáy 1 m và mái dốc 1,5:1 (ngang:đứng) phải tải 4,6 m³/s ở dòng chảy đều với độ sâu 1,1 m. Hệ số Manning n = 0,014. Tìm độ dốc đáy yêu cầu S (theo m/m).

Q = 4,6 m³/sb = 1 my = 1,1 mz = 1,5n = 0,014

S = m/m

23.Máy bơm và công suất bơmTrung bình

Trong một thử nghiệm, một máy bơm cấp 15 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) ngược với cột áp 58 m trong khi trục của nó nhận 10,4 kW. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm hiệu suất bơm η theo phần trăm.

Q = 15 L/sH = 58 mP_shaft = 10,4 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Máy bơm và công suất bơmKhó

Một máy bơm chuyển 80 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) từ một bể hở phía dưới lên một bồn phía trên có mặt nước cao hơn 10 m. Ống dài 150 m, đường kính trong 200 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,022; các hệ số tổn thất cục bộ cộng lại là ΣK = 5 (đã gồm lối vào và lối ra). Dùng g = 9,81 m/s². Bồn phía trên đóng kín và không khí phía trên nước ở áp suất dư 150 kPa. Tìm cột áp H mà bơm phải bổ sung.

Q = 80 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 5p_tank = 150 kPa

H = m

25.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn cần €40 000 sau 6 năm. Một tài khoản trả lãi 6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.

FV = €40 0006% / 12n = 6

PV = €

26.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Một khoản vay €150 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 30 năm. Lãi suất là 7,2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản thanh toán hằng tháng A.

P = €150 0007,2% / 12N = 360

A = €

27.NPV và IRRTrung bình

Một dự án tốn €60 000 hôm nay và mang về €16 000 vào cuối mỗi năm trong 5 năm. Chi phí vốn là 6%. Giả sử các dòng tiền đến đều đặn trong mỗi năm. Tìm thời gian hoàn vốn có chiết khấu DPB theo năm.

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 16 000CF₂ = 16 000CF₃ = 16 000CF₄ = 16 000CF₅ = 16 000

DPB = năm

28.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €10 000 và mang về €3 000, €4 000, €5 500, €4 000 vào cuối các năm từ 1 đến 4. Các dòng tiền có thể được tái đầu tư với chi phí vốn 6%. Tìm tỉ suất hoàn vốn nội bộ điều chỉnh MIRR theo phần trăm.

r = 6%CF₀ = −10 000CF₁ = 3 000CF₂ = 4 000CF₃ = 5 500CF₄ = 4 000

MIRR = %

29.Phân phối chuẩnTrung bình

Kéo z sao cho diện tích tô bóng dưới đường cong chuẩn tắc, bên phải z, bằng 0,0869. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,0869

z =

30.Phân phối chuẩnKhó

Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,02 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

lỗ: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_B = 29,38 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·4 + 25·7

R_B = 235/8 = 29,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 29,38 = 10,63 kN

Đáp số

R_B = 29,38 kN

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = 7,5 kN

Sơ đồ vật thể tự do

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN, đặt tại x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·2 + 5·1·3,5

R_B = 37,5/5 = 7,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 7,5 = 7,5 kN

Đáp số

R_A = 7,5 kN

3.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AB = −8,975 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·5 → C_y = 16,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 16,67 = 3,333 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 2/5,385 = 0,3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −3,333/0,3714 = −8,975 kN

Đáp số

F_AB = −8,975 kN (nén)

4.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh BF

Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.

Nút B

AB và BC nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 6,25 kN (T), BC: 6,25 kN (T), CD: 48,75 kN (T), DE: 48,75 kN (T), FG: 82,5 kN (C), GH: 82,5 kN (C), AF: 58,34 kN (C), HE: 68,94 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 58,34 kN (T), HC: 1,768 kN (C)

Đáp số

Thanh không lực: BF

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 18,75 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Một ngẫu lực đặt vào làm biểu đồ mô-men uốn nhảy một đoạn bằng độ lớn của ngẫu lực.

Phản lực gối

Mô-men đối với A, chiều ngược chiều kim đồng hồ là dương: R_B·L − M₀ = 0. Cân bằng theo phương thẳng đứng: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/4 = 6,25 kN (hướng lên)

R_A = −R_B = −6,25 kN (hướng xuống)

Cắt ngay bên phải ngẫu lực

Bây giờ phần bên trái chứa R_A và ngẫu lực.

M_x = R_A·a + M₀ = −6,25·1 + 25 = 18,75 kN·m

Đáp số

M_x = 18,75 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 41,13 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, đặt tại x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·7 + 3·8·4

R_B = 341/8 = 42,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 59 − 42,63 = 16,38 kN

Cắt tại x = 7 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 16,38·7 − 3·7·3,5 = 41,13 kN·m

Đáp số

M_x = 41,13 kN·m

7.Độ võng của dầm

Đáp số: θ_A = 0,01772 rad

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Góc xoay θ = dv/dx là tích phân bậc một của M/(EI); với các đơn vị nhất quán, nó có đơn vị radian.

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 5000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Góc xoay ở đầu

θ_A = wL³/(24EI) = 20·5000³/(24·5,88 × 10¹²) = 0,01772 rad

Đáp số

θ_A = 0,01772 rad

Đó là 1,015°.

8.Độ võng của dầm

Đáp số: h_req = 213,6 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3500⁴/(384·11000·11,67) = 6,09 × 10⁷ mm⁴

Chiều cao cần thiết

bh³/12 = I_req → h = (12·6,09 × 10⁷/75)^1/3 = 213,6 mm

Đáp số

h_req = 213,6 mm

Trong thực tế, hãy chọn chiều cao tiêu chuẩn kế tiếp lớn hơn giá trị này.

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 69,21 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1750² = 69210 N = 69,21 kN

Đáp số

P_cr = 69,21 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 87,73 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/10 = 150

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Đáp số

σ_cr = 87,73 MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 7,268 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

bụng: A_w = 10·120 = 1200 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·132,5 + 1200·60)/8700 = 122,5 mm

Định lý trục song song

cánh: 300·25³/12 + 7500·(132,5 − 122,5)² = 1,141 × 10⁶ mm⁴

bụng: 10·120³/12 + 1200·(60 − 122,5)² = 6,128 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,141 × 10⁶ + 6,128 × 10⁶ = 7,268 × 10⁶ mm⁴ = 7,268 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 7,268 × 10⁶ mm⁴

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_dưới = 167,3 MPa

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

bụng: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·225 + 3960·110)/6760 = 157,6 mm

Định lý trục song song

cánh: 280·10³/12 + 2800·(225 − 157,6)² = 1,273 × 10⁷ mm⁴

bụng: 18·220³/12 + 3960·(110 − 157,6)² = 2,496 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,273 × 10⁷ + 2,496 × 10⁷ = 3,769 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép dưới cách trục ȳ.

y = 157,6 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·157,6/3,769 × 10⁷ = 167,3 MPa

Đáp số

σ_dưới = 167,3 MPa

13.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: u = 39,24 kPa

Ứng suất hữu hiệu (Terzaghi): khung hạt đất chịu σ′ = σ − u. Ứng suất toàn phần σ là trọng lượng của mọi thứ phía trên điểm đó, Σγ·h, dùng trọng lượng riêng khô phía trên mực nước ngầm và trọng lượng riêng bão hòa phía dưới. Dưới mực nước ngầm, áp suất nước lỗ rỗng là thủy tĩnh: u = γ_w·(độ sâu dưới mực nước ngầm).

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Đáp số

u = 39,24 kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ′ = 60,95 kPa

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2

σ = 15·1 + 20·3 + 17,5·2 = 110 kPa

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Ứng suất hữu hiệu

σ′ = σ − u = 110 − 49,05 = 60,95 kPa

Đáp số

σ′ = 60,95 kPa

15.Lún cố kết

Đáp số: S = 27,21 mm

Cố kết sơ cấp của một lớp sét dày H, dùng ứng suất hữu hiệu ở giữa lớp: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Sét cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Sét quá cố kết nén lại theo C_r đến áp lực tiền cố kết σ′_p và chỉ theo C_c sau đó. Thời gian: t = T_v·H_dr²/c_v, trong đó đường thoát nước H_dr là H/2 khi nước có thể thoát ở trên và dưới, và H khi chỉ một phía thoát nước.

Áp lực tiền cố kết

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·65 = 162,5 kPa

So sánh với áp lực tiền cố kết

σ′_f = 65 + 70 = 135 kPa ≤ 162,5 kPa

Độ lún

Sét vẫn nằm trên đường nén lại của nó.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,03·6/(1 + 1,1)·log₁₀(135/65) = 27,21 mm

Đáp số

S = 27,21 mm

16.Lún cố kết

Đáp số: t = 4,937 năm

Đường thoát nước

H_dr = H/2 = 7/2 = 3,5 m

Thời gian

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·3,5²/1 = 4,937 năm

Đáp số

t = 4,937 năm

17.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 44,15 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·3 = 44,15 kN

Đáp số

F = 44,15 kN

18.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 18,54 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1·1,5 = 18,54 kN

Đáp số

F = 18,54 kN

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: h_f = 30,58 m

Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ h_m = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = h_f + h_m, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.

Cột áp vận tốc

V²/(2g) = 3²/(2·9,81) = 0,4587 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(200/0,075)·3²/(2·9,81) = 30,58 m

Đáp số

h_f = 30,58 m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: Q = 325,8 L/s

Các hệ số tổn thất

f·L/D = 0,015·300/0,3 = 15

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Phương trình năng lượng

Cả hai mặt nước đều thông với không khí và thực tế đứng yên, nên toàn bộ Δz bị mất trong ống.

30 = (15 + 12,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·30/27,7) = 4,61 m/s

Lưu lượng

Q = V·π·D²/4 = 4,61·0,07069 = 0,3258 m³/s = 325,8 L/s

Đáp số

Q = 325,8 L/s

21.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: Q = 0,352 m³/s

Phương trình Manning (SI): với dòng chảy đều trong kênh hở V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 và Q = A·V, với n là hệ số nhám, S là độ dốc đáy (m/m) và R = A/P là bán kính thủy lực: diện tích dòng chảy chia cho chu vi ướt. Chỉ phần biên tiếp xúc với nước được tính trong P, không tính mặt thoáng. Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y. Hình thang có mái dốc z:1 (ngang:đứng): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ống tròn chảy đầy hoặc đầy một nửa có R = D/4.

Hình học

A = 0,4418 m², R = D/4 = 0,1875 m

Vận tốc

V = (1/0,013)·0,1875^2/3·0,001^1/2 = 0,7969 m/s

Lưu lượng

Q = A·V = 0,4418·0,7969 = 0,352 m³/s

Đáp số

Q = 0,352 m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: S = 0,0009931 m/m

Hình học

A = (b + z·y)·y = (1 + 1,5·1,1)·1,1 = 2,915 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,1·√(1 + 1,5²) = 4,966 m

R = A/P = 0,587 m

Giải Manning tìm S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·4,6/(2,915·0,701) = 0,03151

S = 0,03151² = 0,0009931

Đáp số

S = 0,0009931

Đó là độ hạ 0,9931 m trên mỗi kilômét.

23.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: η = 82,06 %

Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: P_shaft = P_h/η_pump, và động cơ tiêu thụ P_el = P_shaft/η_motor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.

Công suất thủy lực

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·58 = 8,535 kW

Hiệu suất

η = P_h/P_shaft = 8,535/10,4 = 82,06%

Đáp số

η = 82,06%

24.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: H = 32,4 m

Vận tốc

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Các tổn thất cột áp

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16,5 + 5)·0,3305 = 7,106 m

Cột áp áp suất

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Cột áp của bơm

Cả hai mặt nước thực tế đều đứng yên, nên không có số hạng cột áp vận tốc.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 10 + 15,29 + 7,106 = 32,4 m

Đáp số

H = 32,4 m

25.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 27932 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·6 = 72

Giá trị hiện tại

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,432 = €27 932,10

Đáp số

PV = €27 932,10

26.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: A = 1018 €

Lãi suất tháng và số kỳ thanh toán

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·30 = 360

Khoản thanh toán

Giá trị hiện tại của N khoản thanh toán bằng nhau A là A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Cho nó bằng khoản vay và giải tìm A.

(1 + i)^−N = 0,1161

A = 150 000·0,006/(1 − 0,1161) = €1 018,18

Đáp số

A = €1 018,18

27.NPV và IRR

Đáp số: DPB = 4,381 năm

Thời gian hoàn vốn: thời gian cho đến khi dòng tiền tích lũy hoàn trả khoản đầu tư ban đầu. Giả định tiền về đều trong mỗi năm, nên phần cuối là một phần của năm. Thời gian hoàn vốn đơn giản bỏ qua giá trị thời gian của tiền; thời gian hoàn vốn có chiết khấu dùng các dòng tiền đã chiết khấu.

Dòng tiền đã chiết khấu và tích lũy

năm 1: 16 000/1,06 = 15 094,34 → Σ = 15 094,34

năm 2: 16 000/1,124 = 14 239,94 → Σ = 29 334,28

năm 3: 16 000/1,191 = 13 433,91 → Σ = 42 768,19

năm 4: 16 000/1,262 = 12 673,50 → Σ = 55 441,69

năm 5: 16 000/1,338 = 11 956,13 → Σ = 67 397,82

Phần của năm cuối

DPB = 4 + 4 558,31/11 956,13 = 4,381

Đáp số

DPB = 4,381 năm

Thời gian hoàn vốn có chiết khấu luôn dài hơn thời gian hoàn vốn đơn giản (3,75 năm).

28.NPV và IRR

Đáp số: MIRR = 15,66 %

IRR điều chỉnh: ghép lãi mọi dòng tiền vào đến cuối dự án theo lãi suất tái đầu tư (thường là chi phí vốn) để được giá trị cuối kỳ TV. MIRR là tỉ suất biến khoản đầu tư ban đầu thành TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Giá trị cuối kỳ của các dòng tiền vào

3 000·1,06³ = 3 573,05

4 000·1,06² = 4 494,40

5 500·1,06¹ = 5 830,00

4 000·1,06⁰ = 4 000,00

TV = 17 897,45

MIRR

MIRR = (17 897,45/10 000)^1/4 − 1 = 15,66%

Đáp số

MIRR = 15,66%

29.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = 1,36

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = 1 − 0,0869 = 0,9131

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,9131 bên trong bảng và đọc ra z.

z = 1,36

Đáp số

z = 1,36

30.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7881

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm

Chuẩn hóa

z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Đáp số

P = 0,7881

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. Kỳ thi FE exam do NCEES tổ chức; tổ chức này không liên kết với ExamProblems và không bảo trợ nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil