Luyện thi FE Xây dựng: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 30 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d

Phương pháp

  1. Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
  2. Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
  3. Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
  4. Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt
ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh
dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối cho cả giàn.
  2. Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0.
  3. Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
  4. Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Ứng suất hữu hiệu trong đất

Ứng suất toàn phần
σ = Σγi·hi
Áp suất nước lỗ rỗng
u = γw·(z − zw)
Ứng suất hữu hiệu
σ′ = σ − u
Nước
γw = 9,81 kN/m³

Lún cố kết

Cố kết thông thường
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
Ứng suất cuối
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
Quá cố kết, σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
Quá cố kết, σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
Tỉ số quá cố kết
OCR = σ′p/σ′0
Thời gian cố kết
t = Tv·Hdr²/cv
Đường thoát nước
Hdr = H/2 (thoát nước hai phía), H (thoát nước một phía)
Nhân tố thời gian
U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Lực thủy tĩnh

Áp suất tại độ sâu
p = ρgh
Lực lên tường thẳng đứng
F = ρg·hc·A
Tâm áp lực
yp = yc + Ic/(ycA)
Hình chữ nhật
Ic = bH³/12

Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Số Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Chế độ chảy
chảy tầng dưới Re ≈ 2000, chảy rối trên Re ≈ 4000
Vận tốc trung bình
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Tổn thất cục bộ
hm = ΣK·V²/(2g)
Giá trị K thường gặp
lối vào 0,5, lối ra 1,0, khúc cua 90° ≈ 0,3
Độ giảm áp suất
Δp = ρ·g·hf
Hai bể chứa hở
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Cửa ra tự do
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Dòng chảy hở (Manning)

Phương trình Manning
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Lưu lượng
Q = A·V
Bán kính thủy lực
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Hình chữ nhật
A = b·y, P = b + 2y
Hình thang (mái dốc z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Ống tròn, đầy hoặc đầy một nửa
R = D/4
Độ dốc yêu cầu
S = (n·Q/(A·R2/3))²

Máy bơm và công suất bơm

Công suất thủy lực
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Công suất trên trục
Pshaft = Ph/ηpump
Công suất điện
Pel = Pshaft/ηmotor
Cột áp của bơm
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Tổn thất của hệ thống
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai
FV = PV·(1 + i)n
Giá trị hiện tại
PV = FV/(1 + i)n
Nhiều kỳ trong một năm
i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Niên kim, giá trị tương lai
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

Phương pháp

  1. Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
  2. Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
  3. Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
  4. Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Dòng tiền đều
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ
r tại đó NPV = 0
Quyết định
chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

  1. Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
  2. Chiết khấu từng dòng tiền: CFt/(1 + r)t.
  3. Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
  4. Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình
P1​ = 55 kNP2​ = 50 kNABRA​ = ?RB​1,5 m2,5 m2 m

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RA.

L = 6 mP1 = 55 kN tại 1,5 mP2 = 50 kN tại 4 m
RA = kN
2.Phản lực gối của dầmKhó
w0​ = 20 kN/mP = 35 kNABMA​ = ?2 m3 m

Dầm công-xôn được ngàm vào tường tại A. Nó chịu tải thay đổi tuyến tính bằng không tại tường và tăng đến 20 kN/m tại đầu tự do B, cùng một lực tập trung P tại vị trí cách tường 2 m. Tìm độ lớn của mô-men phản lực MA tại tường.

L = 5 mw0 = 20 kN/mP = 35 kN tại 2 m
MA = kN·m
3.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình
ABCDEFGH25 kN40 kN10 kN4 × 4 m4 m

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

B: 25 kN ↓C: 40 kN ↓G: 10 kN ↓
  1. 1thanh AB
  2. 2thanh BC
  3. 3thanh CD
  4. 4thanh DE
  5. 5thanh FG
  6. 6thanh GH
  7. 7thanh AF
  8. 8thanh HE
  9. 9thanh BF
  10. 10thanh CG
  11. 11thanh DH
  12. 12thanh FC
  13. 13thanh HC
4.Giàn: phương pháp tách nútKhó
ABCDEFGH15 kN40 kN40 kN20 kN4 × 3 m3 m

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

B: 15 kN ↓D: 40 kN ↓F: 40 kN ↓H: 20 kN ←
  1. 1thanh AB
  2. 2thanh BC
  3. 3thanh CD
  4. 4thanh DE
  5. 5thanh FG
  6. 6thanh GH
  7. 7thanh AF
  8. 8thanh HE
  9. 9thanh BF
  10. 10thanh CG
  11. 11thanh DH
  12. 12thanh BG
  13. 13thanh DG
5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
P1​ = 70 kNP2​ = 15 kNABC2,5 m1,5 m2 m

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 2 m tới đầu tự do C. Dầm chịu một lực tập trung P1 giữa hai gối và một lực tập trung P2 tại C. Tìm mô-men uốn Mx dưới tải P1. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 6 mP1 = 70 kN tại 2,5 mP2 = 15 kN tại 6 mcác gối tại x = 0 và x = 4 m
Mx = kN·m
6.Lực cắt và mômen uốnKhó
15 kN/m40 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

40 kN @ 0 m45 kN @ 6 m15 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Độ võng của dầmTrung bình
w = 6 kN/mδL = 3 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δmax, tại giữa nhịp.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Độ võng của dầmKhó
w = 8 kN/mδL = 8 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt Ireq thỏa mãn giới hạn này.

w = 8 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (nhôm)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 1,5 m20 × 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 2 md = 20 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)d = 20 mm
σcr = MPa
11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
1104202214xkích thước tính bằng mm

Một tiết diện chữ I đối xứng có các cánh rộng 110 mm và dày 22 mm, chiều cao tổng thể 420 mm và bụng dày 14 mm. Tìm mô-men quán tính Ix của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

B = 110 mmH = 420 mmtf = 22 mmtw = 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
1803018012xM = 15 kN·mkích thước tính bằng mm

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 15 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σtrên ở mép trên.

bf = 180 mmtf = 30 mmtw = 12 mmhw = 180 mmM = 15 kN·m
σtrên = MPa
13.Ứng suất hữu hiệu trong đấtTrung bình
cátγd​ = 16,5 kN/m³γsat​ = 18,5 kN/m³10 mmực nước ngầmXz = 7 m

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng σ′ tại điểm X.

z = 7 mzw = 1 mγw = 9,81 kN/m³cát: γd = 16,5 kN/m³cát: γsat = 18,5 kN/m³
σ′ = kPa
14.Ứng suất hữu hiệu trong đấtKhó
cátγd​ = 16 kN/m³γsat​ = 19,5 kN/m³3 msétγsat​ = 18 kN/m³8 mmực nước ngầmXz = 7 m

Với mặt cắt đất như hình, tìm áp suất nước lỗ rỗng u tại điểm X.

z = 7 mzw = 2 mγw = 9,81 kN/m³cát: γd = 16 kN/m³cát: γsat = 19,5 kN/m³sét: γsat = 18 kN/m³
u = kPa
15.Lún cố kếtTrung bình
Δσ = 20 kPacátsétCc​ = 0,25, Cr​ = 0,05e0​ = 0,9σ′0​ = 95 kPaσ′p​ = 215 kPa7,5 mmực nước ngầm

Một lớp sét quá cố kết dày 7,5 m có Cc = 0,25, Cr = 0,05 và e₀ = 0,9. Ở độ sâu giữa lớp, ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng là 95 kPa và áp lực tiền cố kết là 215 kPa. Một tòa nhà mới thêm 20 kPa ứng suất thẳng đứng ở độ sâu giữa lớp. Tìm độ lún cố kết sơ cấp S theo mm.

H = 7,5 mCc = 0,25Cr = 0,05e0 = 0,9σ′0 = 95 kPaσ′p = 215 kPaΔσ = 20 kPa
S = mm
16.Lún cố kếtKhó
cátsétH = 7,5 mcv​ = 3 m²/năm7,5 mcátmực nước ngầm

Một lớp sét dày 7,5 m có hệ số cố kết cv = 3 m²/năm. Nó nằm giữa hai lớp cát, nên nước thoát ra ở đỉnh và đáy. Với cố kết trung bình 90%, nhân tố thời gian là Tv = 0,848. Lớp đó mất bao nhiêu năm t để đạt 90% cố kết?

H = 7,5 mcv = 3 m²/nămU = 90%Tv = 0,848thoát nước hai phía
t = năm
17.Lực thủy tĩnhTrung bình
cửa vand = 1 mH = 1,5 m

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 3 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 1 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 1 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
18.Lực thủy tĩnhKhó
cửa vand = 2,5 mH = 2 m

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 2 m nằm trong thành bể chứa dầu, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 2,5 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 2,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
19.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápTrung bình
V = 1,9 m/sD = 75 mmL = 150 mf = 0,018

Nước chảy với vận tốc trung bình 1,9 m/s qua một ống dài 150 m, đường kính trong 75 mm. Dùng hệ số ma sát Darcy f = 0,018 và g = 9,81 m/s². Tìm tổn thất cột áp do ma sát hf.

V = 1,9 m/sL = 150 mD = 75 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
20.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápKhó
K = 2cửa xả tự doH = ?L = 300 m, D = 300 mm, f = 0,023× khúc cua (K = 0,3)

Một ống dài 300 m, đường kính trong 300 mm (hệ số ma sát Darcy f = 0,02) chạy từ một bể hở và xả thành tia tự do vào không khí. Các tổn thất cục bộ là lối vào cạnh vuông (K = 0,5), 3 khúc cua (K = 0,3 mỗi khúc) và một van (K = 2). Dùng g = 9,81 m/s². Mặt bể phải cao hơn cửa ra của ống bao nhiêu H để có lưu lượng 200 L/s?

Q = 200 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2
H = m
21.Dòng chảy hở (Manning)Trung bình
b = 5 my = 0,8 m1,5 : 1n = 0,012, S = 0,004

Một kênh bê tông được hoàn thiện hình thang có chiều rộng đáy 5 m và mái dốc 1,5:1 (ngang:đứng). Nước chảy đều sâu 0,8 m. Hệ số Manning n = 0,012 và độ dốc đáy là S = 0,004. Tìm lưu lượng Q theo m³/s.

b = 5 my = 0,8 mz = 1,5n = 0,012S = 0,004
Q = m³/s
22.Dòng chảy hở (Manning)Khó
b = 3,5 my = 2,4 mn = 0,022, Q = 17 m³/s

Một kênh đất sạch hình chữ nhật rộng 3,5 m phải tải 17 m³/s ở dòng chảy đều với độ sâu 2,4 m. Hệ số Manning n = 0,022. Tìm độ dốc đáy yêu cầu S (theo m/m).

Q = 17 m³/sb = 3,5 my = 2,4 mn = 0,022
S = m/m
23.Máy bơm và công suất bơmTrung bình
PQ = 150 L/sH = 74 m

Một máy bơm cấp 150 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) ngược với cột áp 74 m. Hiệu suất bơm là 80% và động cơ điện dẫn động nó có hiệu suất 95%. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm công suất điện Pel mà động cơ tiêu thụ, theo kW.

Q = 150 L/sH = 74 mηpump = 80%ηmotor = 95%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
24.Máy bơm và công suất bơmKhó
PQ = 75 L/sΔz = 25 mL = 200 m, D = 200 mm, f = 0,015, ΣK = 6

Một máy bơm chuyển 75 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) từ một bể hở phía dưới lên một bồn phía trên có mặt nước cao hơn 25 m. Ống dài 200 m, đường kính trong 200 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,015; các hệ số tổn thất cục bộ cộng lại là ΣK = 6 (đã gồm lối vào và lối ra). Dùng g = 9,81 m/s². Tìm cột áp H mà bơm phải bổ sung.

Q = 75 L/sΔz = 25 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 6
H = m
25.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình
năm0123…8€20 000FV = ?

Bạn đầu tư €20 000 với lãi suất danh nghĩa 2% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 8 năm.

PV = €20 0002% / 4n = 8
FV = €
26.Giá trị thời gian của tiềnKhó
tháng0123…N = ?€15 000€350€350€350€3505,4% / 12

Bạn vay €15 000 với lãi suất 5,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng, và trả €350 vào cuối mỗi tháng. Cần bao nhiêu tháng để trả hết khoản vay (khoản thanh toán cuối có thể nhỏ hơn)? Cho số lần thanh toán N.

P = €15 000A = €3505,4% / 12
N = lần thanh toán
27.NPV và IRRTrung bình
năm0123−30 00014 0008 00011 000

Một khoản đầu tư €30 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €14 000, €8 000, €11 000. Chi phí vốn là 7,000000000000001%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 7,000000000000001%CF0 = −30 000CF1 = 14 000CF2 = 8 000CF3 = 11 000
NPV = €
28.NPV và IRRKhó
năm012−10 0007 0006 000

Một dự án tốn €10 000 và mang lại €7 000, €6 000 vào cuối các năm 1 đến 2. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 6 000
IRR = %
29.Phân phối chuẩnTrung bình
−3−2−10123zvùng tô bóng bên phải z = 0,1492

Kéo z sao cho diện tích tô bóng dưới đường cong chuẩn tắc, bên phải z, bằng 0,1492. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,1492
z =
30.Phân phối chuẩnKhó
10 g0X − Y?

Khối lượng X của một sản phẩm từ dây chuyền 1 và Y từ dây chuyền 2 là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 8 g, Y có trung bình 490 g và độ lệch chuẩn 6 g. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RA = 57,92 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

P1​ = 55 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​1,5 m2,5 m2 m

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣMA = 0: RB·6 = 55·1,5 + 50·4
RB = 282,5/6 = 47,08 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 47,08 = 57,92 kN

Đáp số

RA = 57,92 kN
2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: MA = 236,7 kN·m

Cân bằng của dầm công-xôn: một gối ngàm có thể đẩy lên và còn chống lại sự quay, nên nó cho một phản lực thẳng đứng RA và một mô-men phản lực MA. ΣFy = 0 cho RA, và mô-men đối với tường cho MA = Σ(tải × khoảng cách đến tường). Tải phân bố tác dụng như hợp lực của nó tại trọng tâm của biểu đồ tải.

Hợp lực của tải tam giác

W = ½·20·5 = 50 kN
x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Mô-men đối với tường

MA = W·x̄ + P·a = 50·3,333 + 35·2 = 236,7 kN·m

Đáp số

MA = 236,7 kN·m
3.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh DH

Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.

Nút D

CD và DE nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 43,75 kN (T), BC: 43,75 kN (T), CD: 31,25 kN (T), DE: 31,25 kN (T), FG: 62,5 kN (C), GH: 62,5 kN (C), AF: 61,87 kN (C), HE: 44,19 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 26,52 kN (T), HC: 44,19 kN (T)

Đáp số

Thanh không lực: DH
4.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh CG

Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.

Nút C

BC và CD nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 36,25 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 37,5 kN (T), DE: 38,75 kN (T), FG: 56,25 kN (C), GH: 58,75 kN (C), AF: 79,55 kN (C), HE: 54,8 kN (C), BF: 16,25 kN (T), CG: 0, DH: 38,75 kN (T), BG: 1,768 kN (C), DG: 1,768 kN (T)

Đáp số

Thanh không lực: CG
5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 46,88 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm. Tải ở đoạn công-xôn cũng gây mô-men đối với A.

ΣMA = 0: RB·4 = 70·2,5 + 15·6
RB = 265/4 = 66,25 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 66,25 = 18,75 kN

Cắt dưới P1 và giữ phần bên trái

Mx = RA·2,5 = 18,75·2,5 = 46,88 kN·m

Đáp số

Mx = 46,88 kN·m
6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 4 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R1 = 45,83 kN, R2 = 84,17 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

MA = 0, MB = −40, MC = −41,67, MD = −58,33, ME = −90 kN·m, MF = −45, MG = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: ME = −90 kN·m
7.Độ võng của dầm

Đáp số: δmax = 67,68 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm
EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Độ võng

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·9,35 × 10¹⁰) = 67,68 mm

Đáp số

δmax = 67,68 mm
8.Độ võng của dầm

Đáp số: Ireq = 274,3 × 10⁶ mm⁴

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·8000⁴/(384·70000·22,22) = 2,743 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 274,3 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ireq = 274,3 × 10⁶ mm⁴
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 33,42 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/1050² = 33421 N = 33,42 kN

Đáp số

Pcr = 33,42 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 49,35 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/5 = 200

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Đáp số

σcr = 49,35 MPa
11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: Ix = 253,9 × 10⁶ mm⁴

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = Ic + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng.

Hình chữ nhật ngoài trừ hai phần khuyết hai bên

Hai phần khuyết cộng lại rộng (B − tw) và cao hw = H − 2tf, và có chung trục x.

hw = 420 − 2·22 = 376 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (110·420³ − 96·376³)/12
Ix = 2,539 × 10⁸ mm⁴ = 253,9 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

Ix = 253,9 × 10⁶ mm⁴
12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σtrên = 29,04 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: Af = 180·30 = 5400 mm², yf = 180 + 30/2 = 195 mm
bụng: Aw = 12·180 = 2160 mm², yw = 180/2 = 90 mm

Trọng tâm

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5400·195 + 2160·90)/7560 = 165 mm

Định lý trục song song

cánh: 180·30³/12 + 5400·(195 − 165)² = 5,265 × 10⁶ mm⁴
bụng: 12·180³/12 + 2160·(90 − 165)² = 1,798 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5,265 × 10⁶ + 1,798 × 10⁷ = 2,325 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 210 − 165 = 45 mm
σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·45/2,325 × 10⁷ = 29,04 MPa

Đáp số

σtrên = 29,04 MPa
13.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ′ = 68,64 kPa

Ứng suất hữu hiệu (Terzaghi): khung hạt đất chịu σ′ = σ − u. Ứng suất toàn phần σ là trọng lượng của mọi thứ phía trên điểm đó, Σγ·h, dùng trọng lượng riêng khô phía trên mực nước ngầm và trọng lượng riêng bão hòa phía dưới. Dưới mực nước ngầm, áp suất nước lỗ rỗng là thủy tĩnh: u = γw·(độ sâu dưới mực nước ngầm).

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16,5·1 + 18,5·6 = 127,5 kPa

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γw·(z − zw) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Ứng suất hữu hiệu

σ′ = σ − u = 127,5 − 58,86 = 68,64 kPa

Đáp số

σ′ = 68,64 kPa
14.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: u = 49,05 kPa

Ứng suất hữu hiệu (Terzaghi): khung hạt đất chịu σ′ = σ − u. Ứng suất toàn phần σ là trọng lượng của mọi thứ phía trên điểm đó, Σγ·h, dùng trọng lượng riêng khô phía trên mực nước ngầm và trọng lượng riêng bão hòa phía dưới. Dưới mực nước ngầm, áp suất nước lỗ rỗng là thủy tĩnh: u = γw·(độ sâu dưới mực nước ngầm).

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γw·(z − zw) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Đáp số

u = 49,05 kPa
15.Lún cố kết

Đáp số: S = 16,38 mm

Cố kết sơ cấp của một lớp sét dày H, dùng ứng suất hữu hiệu ở giữa lớp: σ′f = σ′0 + Δσ. Sét cố kết thông thường: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Sét quá cố kết nén lại theo Cr đến áp lực tiền cố kết σ′p và chỉ theo Cc sau đó. Thời gian: t = Tv·Hdr²/cv, trong đó đường thoát nước Hdr là H/2 khi nước có thể thoát ở trên và dưới, và H khi chỉ một phía thoát nước.

So sánh với áp lực tiền cố kết

σ′f = 95 + 20 = 115 kPa ≤ 215 kPa

Độ lún

Sét vẫn nằm trên đường nén lại của nó.

S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0,05·7,5/(1 + 0,9)·log₁₀(115/95) = 16,38 mm

Đáp số

S = 16,38 mm
16.Lún cố kết

Đáp số: t = 3,975 năm

Cố kết sơ cấp của một lớp sét dày H, dùng ứng suất hữu hiệu ở giữa lớp: σ′f = σ′0 + Δσ. Sét cố kết thông thường: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Sét quá cố kết nén lại theo Cr đến áp lực tiền cố kết σ′p và chỉ theo Cc sau đó. Thời gian: t = Tv·Hdr²/cv, trong đó đường thoát nước Hdr là H/2 khi nước có thể thoát ở trên và dưới, và H khi chỉ một phía thoát nước.

Đường thoát nước

Hdr = H/2 = 7,5/2 = 3,75 m

Thời gian

t = Tv·Hdr²/cv = 0,848·3,75²/3 = 3,975 năm

Đáp số

t = 3,975 năm
17.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 77,25 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·yc·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, ycp = yc + Ic/(ycA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
cửa vand = 1 mH = 1,5 mF

Hợp lực

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·4,5 = 77,25 kN

Đáp số

F = 77,25 kN
18.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 120,9 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·yc·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, ycp = yc + Ic/(ycA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

yc = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
cửa vand = 2,5 mH = 2 mF

Hợp lực

F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3,5·4 = 120,9 kN

Đáp số

F = 120,9 kN
19.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: hf = 6,624 m

Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ hm = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = hf + hm, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.

Cột áp vận tốc

V²/(2g) = 1,9²/(2·9,81) = 0,184 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(150/0,075)·1,9²/(2·9,81) = 6,624 m

Đáp số

hf = 6,624 m
20.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: H = 9,956 m

Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ hm = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = hf + hm, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.

Vận tốc

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

Các hệ số tổn thất

f·L/D = 0,02·300/0,3 = 20
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Phương trình năng lượng

Tia ra vẫn mang cột áp vận tốc của nó; đó không phải là tổn thất nhưng phải được cung cấp.

H = (1 + 20 + 3,4)·0,408 = 9,956 m

Đáp số

H = 9,956 m
21.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: Q = 19,19 m³/s

Phương trình Manning (SI): với dòng chảy đều trong kênh hở V = (1/n)·R2/3·S1/2 và Q = A·V, với n là hệ số nhám, S là độ dốc đáy (m/m) và R = A/P là bán kính thủy lực: diện tích dòng chảy chia cho chu vi ướt. Chỉ phần biên tiếp xúc với nước được tính trong P, không tính mặt thoáng. Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y. Hình thang có mái dốc z:1 (ngang:đứng): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ống tròn chảy đầy hoặc đầy một nửa có R = D/4.

Hình học

A = (b + z·y)·y = (5 + 1,5·0,8)·0,8 = 4,96 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·0,8·√(1 + 1,5²) = 7,884 m
R = A/P = 0,6291 m

Vận tốc

V = (1/0,012)·0,62912/3·0,0041/2 = 3,87 m/s

Lưu lượng

Q = A·V = 4,96·3,87 = 19,19 m³/s

Đáp số

Q = 19,19 m³/s
22.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: S = 0,001951 m/m

Phương trình Manning (SI): với dòng chảy đều trong kênh hở V = (1/n)·R2/3·S1/2 và Q = A·V, với n là hệ số nhám, S là độ dốc đáy (m/m) và R = A/P là bán kính thủy lực: diện tích dòng chảy chia cho chu vi ướt. Chỉ phần biên tiếp xúc với nước được tính trong P, không tính mặt thoáng. Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y. Hình thang có mái dốc z:1 (ngang:đứng): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ống tròn chảy đầy hoặc đầy một nửa có R = D/4.

Hình học

A = b·y = 3,5·2,4 = 8,4 m²
P = b + 2y = 3,5 + 2·2,4 = 8,3 m
R = A/P = 1,012 m

Giải Manning tìm S

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,022·17/(8,4·1,008) = 0,04417
S = 0,04417² = 0,001951

Đáp số

S = 0,001951

Đó là độ hạ 1,951 m trên mỗi kilômét.

23.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: Pel = 143,3 kW

Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: Pshaft = Ph/ηpump, và động cơ tiêu thụ Pel = Pshaft/ηmotor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.

Công suất thủy lực

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·74 = 108,9 kW

Công suất trên trục

Pshaft = 108,9/0,8 = 136,1 kW

Công suất điện

Pel = 136,1/0,95 = 143,3 kW

Đáp số

Pel = 143,3 kW
24.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: H = 31,1 m

Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: Pshaft = Ph/ηpump, và động cơ tiêu thụ Pel = Pshaft/ηmotor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.

Vận tốc

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m

Các tổn thất cột áp

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 6)·0,2905 = 6,1 m

Cột áp của bơm

Cả hai mặt đều hở và thực tế đứng yên, nên các số hạng áp suất và vận tốc triệt tiêu.

H = Δz + hL = 25 + 6,1 = 31,1 m

Đáp số

H = 31,1 m
25.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 23461 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = r/m = 0,02/4 = 0,005
N = m·n = 4·8 = 32

Giá trị tương lai

FV = 20 000·(1 + 0,005)32 = 20 000·1,173 = €23 460,86

Đáp số

FV = €23 460,86
26.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: N = 48 lần thanh toán

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Biến đổi công thức niên kim

i = 0,0045
(1 + i)−N = 1 − 15 000·0,0045/350 = 0,8071

Giải bằng logarit

N = −ln(0,8071)/ln(1,004) = 47,72

Làm tròn lên thành số lần thanh toán nguyên

47 khoản thanh toán đầy đủ còn để lại một khoản dư nhỏ, được xóa bằng khoản thanh toán cuối cùng nhỏ hơn.

N = 48

Đáp số

N = 48 lần thanh toán
27.NPV và IRR

Đáp số: NPV = −949,1 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 14 000/1,07 = 13 084,11
CF2/(1 + 0,07)2 = 8 000/1,145 = 6 987,51
CF3/(1 + 0,07)3 = 11 000/1,225 = 8 979,28

Cộng lại

NPV = €−949,10

Đáp số

NPV = €−949,10

NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.

28.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 20 %

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(20%) = 0,00
NPV(25%) = −560,00

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 20 + 5·0,00/(0,00 − (−560,00)) = 20%
chính xác: NPV(20%) = 0 → IRR = 20%

Đáp số

IRR = 20%
29.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = 1,04

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = 1 − 0,1492 = 0,8508

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,8508 bên trong bảng và đọc ra z.

z = 1,04

Đáp số

z = 1,04
30.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8413

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Chuẩn hóa

z = (0 − 10)/10 = −1

Xác suất

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Đáp số

P = 0,8413

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. Kỳ thi FE exam do NCEES tổ chức; tổ chức này không liên kết với ExamProblems và không bảo trợ nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil