Luyện thi FE Xây dựng: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 30 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ứng suất hữu hiệu trong đất

Ứng suất toàn phần: σ = Σγ_i·h_i
Áp suất nước lỗ rỗng: u = γ_w·(z − z_w)
Ứng suất hữu hiệu: σ′ = σ − u
Nước: γ_w = 9,81 kN/m³

Lún cố kết

Cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Ứng suất cuối: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Quá cố kết, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Quá cố kết, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Tỉ số quá cố kết: OCR = σ′_p/σ′₀
Thời gian cố kết: t = T_v·H_dr²/c_v
Đường thoát nước: H_dr = H/2 (thoát nước hai phía), H (thoát nước một phía)
Nhân tố thời gian: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Lực thủy tĩnh

Áp suất tại độ sâu: p = ρgh
Lực lên tường thẳng đứng: F = ρg·h_c·A
Tâm áp lực: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Hình chữ nhật: I_c = bH³/12

Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Số Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Chế độ chảy: chảy tầng dưới Re ≈ 2000, chảy rối trên Re ≈ 4000
Vận tốc trung bình: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Tổn thất cục bộ: h_m = ΣK·V²/(2g)
Giá trị K thường gặp: lối vào 0,5, lối ra 1,0, khúc cua 90° ≈ 0,3
Độ giảm áp suất: Δp = ρ·g·h_f
Hai bể chứa hở: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Cửa ra tự do: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Dòng chảy hở (Manning)

Phương trình Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Lưu lượng: Q = A·V
Bán kính thủy lực: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y
Hình thang (mái dốc z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Ống tròn, đầy hoặc đầy một nửa: R = D/4
Độ dốc yêu cầu: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Máy bơm và công suất bơm

Công suất thủy lực: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Công suất trên trục: P_shaft = P_h/η_pump
Công suất điện: P_el = P_shaft/η_motor
Cột áp của bơm: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Tổn thất của hệ thống: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối con lăn tại B. Nó chịu một lực tập trung P tại vị trí cách A 1,5 m và một ngẫu lực cùng chiều kim đồng hồ M tại vị trí cách A 4,5 m. Tìm phản lực thẳng đứng R_A, lấy chiều hướng lên là dương.

L = 6 mP = 15 kN tại 1,5 mM = 15 kN·m (cùng chiều kim đồng hồ) tại 4,5 m

R_A = kN

2.Phản lực gối của dầmKhó

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_A.

L = 10 mP = 20 kN tại 9 mw = 2 kN/m từ 7 đến 9 m

R_A = kN

3.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

B: 15 kN ↓F: 40 kN ↓G: 20 kN ↓

1thanh AB
2thanh BC
3thanh CD
4thanh DE
5thanh FG
6thanh GH
7thanh AF
8thanh HE
9thanh BF
10thanh CG
11thanh DH
12thanh BG
13thanh DG

4.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

B: 15 kN ↓D: 20 kN ↓G: 20 kN ↓H: 35 kN ←

1thanh AB
2thanh BC
3thanh CD
4thanh DE
5thanh FG
6thanh GH
7thanh AF
8thanh HE
9thanh BF
10thanh CG
11thanh DH
12thanh BG
13thanh DG

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Dầm đơn giản chịu một ngẫu lực cùng chiều kim đồng hồ M₀ = 55 kN·m tại x = 2 m tính từ A, và không có tải nào khác. Tìm mô-men uốn M_x ngay bên phải ngẫu lực. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 4 mM₀ = 55 kN·m cùng chiều kim đồng hồ, tại 2 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

60 kN @ 0 m35 kN @ 6 m60 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 0,5 m. Tìm độ võng δ_P dưới tải.

P = 25 kNa = 0,5 mL = 4 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một tiết diện chữ I hàn có cánh trên 200 × 24 mm, bụng cao 250 mm và dày 12 mm, và cánh dưới 290 × 14 mm (chiều rộng × chiều dày). Tìm mô-men quán tính I_x của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

cánh trên: 200 × 24 mmbụng: 12 × 250 mmcánh dưới: 290 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ứng suất hữu hiệu trong đấtTrung bình

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất toàn phần theo phương thẳng đứng σ tại điểm X.

z = 5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 16 kN/m³cát: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ = kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đấtKhó

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng σ′ tại điểm X.

z = 9,5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 16,5 kN/m³cát: γ_sat = 19 kN/m³sét: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Lún cố kếtTrung bình

Một lớp sét quá cố kết dày 3 m có C_c = 0,4, C_r = 0,05 và e₀ = 1. Ở độ sâu giữa lớp, ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng là 90 kPa và tỉ số quá cố kết là OCR = 3. Một tòa nhà mới thêm 110 kPa ứng suất thẳng đứng ở độ sâu giữa lớp. Tìm độ lún cố kết sơ cấp S theo mm.

H = 3 mC_c = 0,4C_r = 0,05e₀ = 1σ′₀ = 90 kPaOCR = 3Δσ = 110 kPa

S = mm

16.Lún cố kếtKhó

Một lớp sét dày 7,5 m có hệ số cố kết c_v = 1,5 m²/năm. Nó nằm trên đá không thấm, có cát phía trên, nên nước chỉ thoát ra ở đỉnh. Với cố kết trung bình 50%, nhân tố thời gian là T_v = 0,197. Lớp đó mất bao nhiêu năm t để đạt 50% cố kết?

H = 7,5 mc_v = 1,5 m²/nămU = 50%T_v = 0,197thoát nước một phía

t = năm

17.Lực thủy tĩnhTrung bình

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 3 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 2 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Lực thủy tĩnhKhó

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 4 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápTrung bình

Nước chảy với vận tốc trung bình 2,7 m/s qua một ống dài 500 m, đường kính trong 50 mm. Dùng hệ số ma sát Darcy f = 0,018 và g = 9,81 m/s². Tìm tổn thất cột áp do ma sát h_f.

V = 2,7 m/sL = 500 mD = 50 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápKhó

Hai bể chứa hở được nối bằng một ống dài 150 m, đường kính trong 250 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,025. Mặt nước của bể trên cao hơn bể dưới 7 m. Các tổn thất cục bộ là lối vào cạnh vuông (K = 0,5), 3 khúc cua (K = 0,3 mỗi khúc), một van (K = 0,2) và lối ra vào bể thấp hơn (K = 1,0). Dùng g = 9,81 m/s². Tìm lưu lượng Q theo L/s.

Δz = 7 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Dòng chảy hở (Manning)Trung bình

Một kênh sỏi hình thang có chiều rộng đáy 3 m và mái dốc 2:1 (ngang:đứng). Nước chảy đều sâu 2,2 m. Hệ số Manning n = 0,025 và độ dốc đáy là S = 0,005. Tìm lưu lượng Q theo m³/s.

b = 3 my = 2,2 mz = 2n = 0,025S = 0,005

Q = m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)Khó

Một kênh xây gạch hình thang có chiều rộng đáy 4,5 m và mái dốc 1,5:1 (ngang:đứng) phải tải 12 m³/s ở dòng chảy đều với độ sâu 1,3 m. Hệ số Manning n = 0,015. Tìm độ dốc đáy yêu cầu S (theo m/m).

Q = 12 m³/sb = 4,5 my = 1,3 mz = 1,5n = 0,015

S = m/m

23.Máy bơm và công suất bơmTrung bình

Trong một thử nghiệm, một máy bơm cấp 30 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) ngược với cột áp 66 m trong khi trục của nó nhận 22,9 kW. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm hiệu suất bơm η theo phần trăm.

Q = 30 L/sH = 66 mP_shaft = 22,9 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Máy bơm và công suất bơmKhó

Một máy bơm chuyển 80 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) từ một bể hở phía dưới lên một bồn phía trên có mặt nước cao hơn 7 m. Ống dài 150 m, đường kính trong 250 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,02; các hệ số tổn thất cục bộ cộng lại là ΣK = 5 (đã gồm lối vào và lối ra). Dùng g = 9,81 m/s². Hiệu suất bơm là 75%. Tìm công suất trên trục P_shaft theo kW.

Q = 80 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 5η = 75%

P_shaft = kW

25.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Một niên kim trả €8 000 vào cuối mỗi năm trong 15 năm. Lãi suất là 3% mỗi năm. Tìm giá trị hiện tại PV của niên kim.

A = €8 000i = 3%n = 15

PV = €

26.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn tiết kiệm €200 vào cuối mỗi tháng trong 29 năm. Tài khoản trả lãi 3,6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Cuối cùng bạn tiết kiệm được bao nhiêu? Tìm FV.

A = €2003,6% / 12N = 348

FV = €

27.NPV và IRRTrung bình

Một dự án tốn €50 000 hôm nay và mang về €21 000, €21 000, €18 000, €10 500, €21 000 vào cuối các năm từ 1 đến 5. Chi phí vốn là 5%. Giả sử các dòng tiền đến đều đặn trong mỗi năm. Tìm thời gian hoàn vốn có chiết khấu DPB theo năm.

r = 5%CF₀ = −50 000CF₁ = 21 000CF₂ = 21 000CF₃ = 18 000CF₄ = 10 500CF₅ = 21 000

DPB = năm

28.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €10 000 và mang lại €6 500, €6 000 vào cuối các năm 1 đến 2. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 500CF₂ = 6 000

IRR = %

29.Phân phối chuẩnTrung bình

điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 96,25 và 108,25 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 100σ = 15x₁ = 96,25x₂ = 108,25

P =

30.Phân phối chuẩnKhó

Thời gian một vòng X của vận động viên A và Y của vận động viên B là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 52 s và độ lệch chuẩn 4 s, Y có trung bình 48 s và độ lệch chuẩn 3 s. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = 8,75 kN

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Mômen quanh A

Ngược chiều kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 15·1,5 − 15 = 0

R_B = 37,5/6 = 6,25 kN

Cân bằng theo phương thẳng đứng

R_A = 15 − 6,25 = 8,75 kN

Đáp số

R_A = 8,75 kN

Phản lực âm hướng xuống.

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = 2,8 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, đặt tại x̄ = 8 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·9 + 2·2·8

R_B = 212/10 = 21,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 21,2 = 2,8 kN

Đáp số

R_A = 2,8 kN

3.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh CG

Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.

Nút C

BC và CD nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 68,33 kN (T), BC: 63,33 kN (T), CD: 63,33 kN (T), DE: 31,67 kN (T), FG: 68,33 kN (C), GH: 31,67 kN (C), AF: 85,42 kN (C), HE: 39,58 kN (C), BF: 11,25 kN (T), CG: 0, DH: 23,75 kN (T), BG: 6,25 kN (T), DG: 39,58 kN (C)

Đáp số

Thanh không lực: CG

4.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh CG

Nút C

BC và CD nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 8,75 kN (T), BC: 32,5 kN (T), CD: 32,5 kN (T), DE: 29,58 kN (T), FG: 43,75 kN (C), GH: 64,58 kN (C), AF: 54,69 kN (C), HE: 36,98 kN (C), BF: 32,81 kN (T), CG: 0, DH: 22,19 kN (T), BG: 29,69 kN (C), DG: 3,646 kN (C)

Đáp số

Thanh không lực: CG

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 27,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Một ngẫu lực đặt vào làm biểu đồ mô-men uốn nhảy một đoạn bằng độ lớn của ngẫu lực.

Phản lực gối

Mô-men đối với A, chiều ngược chiều kim đồng hồ là dương: R_B·L − M₀ = 0. Cân bằng theo phương thẳng đứng: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 55/4 = 13,75 kN (hướng lên)

R_A = −R_B = −13,75 kN (hướng xuống)

Cắt ngay bên phải ngẫu lực

Bây giờ phần bên trái chứa R_A và ngẫu lực.

M_x = R_A·a + M₀ = −13,75·2 + 55 = 27,5 kN·m

Đáp số

M_x = 27,5 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: B (x = 1 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 96,25 kN, R₂ = 58,75 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = −60 kN·m, M_C = −23,75, M_D = 12,5, M_E = −11,25, M_F = −35, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu B: M_B = −60 kN·m

7.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_P = 11,14 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 25000 N, a = 500 mm, L = 4000 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Độ võng dưới tải

δ_P = Pa³/(3EI) = 25000·500³/(3·9,35 × 10¹⁰) = 11,14 mm

Đáp số

δ_P = 11,14 mm

8.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 736,4 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·6000⁴/(384·11000·16,67) = 7,364 × 10⁸ mm⁴

I_req = 736,4 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 736,4 × 10⁶ mm⁴

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 3,09 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3500² = 3090 N = 3,09 kN

Đáp số

P_cr = 3,09 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 4,318 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/6,25 = 400

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Đáp số

σ_cr = 4,318 MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 29,5 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

bụng: A_w = 18·200 = 3600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·210 + 3600·100)/6000 = 144 mm

Định lý trục song song

cánh: 120·20³/12 + 2400·(210 − 144)² = 1,053 × 10⁷ mm⁴

bụng: 18·200³/12 + 3600·(100 − 144)² = 1,897 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,053 × 10⁷ + 1,897 × 10⁷ = 2,95 × 10⁷ mm⁴ = 29,5 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 29,5 × 10⁶ mm⁴

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 175,5 × 10⁶ mm⁴

Chia thành ba hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh trên: A = 4800 mm², y = 276 mm

bụng: A = 3000 mm², y = 139 mm

cánh dưới: A = 4060 mm², y = 7 mm

Trọng tâm

ȳ = (4800·276 + 3000·139 + 4060·7)/11860 = 149,3 mm

Định lý trục song song

cánh trên: 200·24³/12 + 4800·126,7² = 7,733 × 10⁷ mm⁴

bụng: 12·250³/12 + 3000·10,26² = 1,594 × 10⁷ mm⁴

cánh dưới: 290·14³/12 + 4060·142,3² = 8,223 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,733 × 10⁷ + 1,594 × 10⁷ + 8,223 × 10⁷

I_x = 1,755 × 10⁸ mm⁴ = 175,5 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 175,5 × 10⁶ mm⁴

13.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ = 84,5 kPa

Ứng suất hữu hiệu (Terzaghi): khung hạt đất chịu σ′ = σ − u. Ứng suất toàn phần σ là trọng lượng của mọi thứ phía trên điểm đó, Σγ·h, dùng trọng lượng riêng khô phía trên mực nước ngầm và trọng lượng riêng bão hòa phía dưới. Dưới mực nước ngầm, áp suất nước lỗ rỗng là thủy tĩnh: u = γ_w·(độ sâu dưới mực nước ngầm).

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·4 + 20,5·1 = 84,5 kPa

Đáp số

σ = 84,5 kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ′ = 114,8 kPa

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3,5

σ = 16,5·4 + 19·2 + 18,5·3,5 = 168,8 kPa

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

Ứng suất hữu hiệu

σ′ = σ − u = 168,8 − 53,96 = 114,8 kPa

Đáp số

σ′ = 114,8 kPa

15.Lún cố kết

Đáp số: S = 26,01 mm

Cố kết sơ cấp của một lớp sét dày H, dùng ứng suất hữu hiệu ở giữa lớp: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Sét cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Sét quá cố kết nén lại theo C_r đến áp lực tiền cố kết σ′_p và chỉ theo C_c sau đó. Thời gian: t = T_v·H_dr²/c_v, trong đó đường thoát nước H_dr là H/2 khi nước có thể thoát ở trên và dưới, và H khi chỉ một phía thoát nước.

Áp lực tiền cố kết

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·90 = 270 kPa

So sánh với áp lực tiền cố kết

σ′_f = 90 + 110 = 200 kPa ≤ 270 kPa

Độ lún

Sét vẫn nằm trên đường nén lại của nó.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·3/(1 + 1)·log₁₀(200/90) = 26,01 mm

Đáp số

S = 26,01 mm

16.Lún cố kết

Đáp số: t = 7,388 năm

Đường thoát nước

H_dr = H = 7,5 m

Thời gian

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·7,5²/1,5 = 7,388 năm

Đáp số

t = 7,388 năm

17.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 309 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·9 = 309 kN

Đáp số

F = 309 kN

18.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 44,15 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·1 = 44,15 kN

Đáp số

F = 44,15 kN

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: h_f = 66,88 m

Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ h_m = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = h_f + h_m, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.

Cột áp vận tốc

V²/(2g) = 2,7²/(2·9,81) = 0,3716 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(500/0,05)·2,7²/(2·9,81) = 66,88 m

Đáp số

h_f = 66,88 m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: Q = 137,1 L/s

Các hệ số tổn thất

f·L/D = 0,025·150/0,25 = 15

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Phương trình năng lượng

Cả hai mặt nước đều thông với không khí và thực tế đứng yên, nên toàn bộ Δz bị mất trong ống.

7 = (15 + 2,6)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·7/17,6) = 2,793 m/s

Lưu lượng

Q = V·π·D²/4 = 2,793·0,04909 = 0,1371 m³/s = 137,1 L/s

Đáp số

Q = 137,1 L/s

21.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: Q = 53,95 m³/s

Phương trình Manning (SI): với dòng chảy đều trong kênh hở V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 và Q = A·V, với n là hệ số nhám, S là độ dốc đáy (m/m) và R = A/P là bán kính thủy lực: diện tích dòng chảy chia cho chu vi ướt. Chỉ phần biên tiếp xúc với nước được tính trong P, không tính mặt thoáng. Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y. Hình thang có mái dốc z:1 (ngang:đứng): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ống tròn chảy đầy hoặc đầy một nửa có R = D/4.

Hình học

A = (b + z·y)·y = (3 + 2·2,2)·2,2 = 16,28 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2,2·√(1 + 2²) = 12,84 m

R = A/P = 1,268 m

Vận tốc

V = (1/0,025)·1,268^2/3·0,005^1/2 = 3,314 m/s

Lưu lượng

Q = A·V = 16,28·3,314 = 53,95 m³/s

Đáp số

Q = 53,95 m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: S = 0,0005205 m/m

Hình học

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1,5·1,3)·1,3 = 8,385 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·1,3·√(1 + 1,5²) = 9,187 m

R = A/P = 0,9127 m

Giải Manning tìm S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·12/(8,385·0,9409) = 0,02282

S = 0,02282² = 0,0005205

Đáp số

S = 0,0005205

Đó là độ hạ 0,5205 m trên mỗi kilômét.

23.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: η = 84,82 %

Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: P_shaft = P_h/η_pump, và động cơ tiêu thụ P_el = P_shaft/η_motor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.

Công suất thủy lực

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·66 = 19,42 kW

Hiệu suất

η = P_h/P_shaft = 19,42/22,9 = 84,82%

Đáp số

η = 84,82%

24.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: P_shaft = 9,733 kW

Vận tốc

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Các tổn thất cột áp

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 5)·0,1354 = 2,301 m

Cột áp của bơm

H = Δz + h_L = 7 + 2,301 = 9,301 m

Công suất trên trục

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·9,301/0,75 = 9,733 kW

Đáp số

P_shaft = 9,733 kW

25.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 95503 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Hệ số niên kim

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,6419)/0,03 = 11,94

Giá trị hiện tại

PV = 8 000·11,94 = €95 503,48

Đáp số

PV = €95 503,48

26.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 122408 €

Lãi suất tháng và số khoản gửi

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·29 = 348

Giá trị tương lai của các khoản gửi

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(2,836 − 1)/0,003 = €122 408,04

Đáp số

FV = €122 408,04

Bạn tự nộp vào €69 600; phần còn lại là tiền lãi.

27.NPV và IRR

Đáp số: DPB = 2,704 năm

Thời gian hoàn vốn: thời gian cho đến khi dòng tiền tích lũy hoàn trả khoản đầu tư ban đầu. Giả định tiền về đều trong mỗi năm, nên phần cuối là một phần của năm. Thời gian hoàn vốn đơn giản bỏ qua giá trị thời gian của tiền; thời gian hoàn vốn có chiết khấu dùng các dòng tiền đã chiết khấu.

Dòng tiền đã chiết khấu và tích lũy

năm 1: 21 000/1,05 = 20 000,00 → Σ = 20 000,00

năm 2: 21 000/1,103 = 19 047,62 → Σ = 39 047,62

năm 3: 18 000/1,158 = 15 549,08 → Σ = 54 596,70

Phần của năm cuối

DPB = 2 + 10 952,38/15 549,08 = 2,704

Đáp số

DPB = 2,704 năm

Thời gian hoàn vốn có chiết khấu luôn dài hơn thời gian hoàn vốn đơn giản (2,444 năm).

28.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 16,5 %

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(15%) = 189,04

NPV(20%) = −416,67

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 15 + 5·189,04/(189,04 − (−416,67)) = 16,56%

chính xác: NPV(16,5%) = 0 → IRR = 16,5%

Đáp số

IRR = 16,5%

29.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,3075

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (96,25 − 100)/15 = −0,25

z₂ = (108,25 − 100)/15 = 0,55

Diện tích ở giữa

P = Φ(0,55) − Φ(−0,25) = 0,7088 − 0,4013 = 0,3075

Đáp số

P = 0,3075

30.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7881

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Chuẩn hóa

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Đáp số

P = 0,7881

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. Kỳ thi FE exam do NCEES tổ chức; tổ chức này không liên kết với ExamProblems và không bảo trợ nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil