Luyện thi FE Xây dựng: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 30 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ứng suất hữu hiệu trong đất

Ứng suất toàn phần: σ = Σγ_i·h_i
Áp suất nước lỗ rỗng: u = γ_w·(z − z_w)
Ứng suất hữu hiệu: σ′ = σ − u
Nước: γ_w = 9,81 kN/m³

Lún cố kết

Cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Ứng suất cuối: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Quá cố kết, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Quá cố kết, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Tỉ số quá cố kết: OCR = σ′_p/σ′₀
Thời gian cố kết: t = T_v·H_dr²/c_v
Đường thoát nước: H_dr = H/2 (thoát nước hai phía), H (thoát nước một phía)
Nhân tố thời gian: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Lực thủy tĩnh

Áp suất tại độ sâu: p = ρgh
Lực lên tường thẳng đứng: F = ρg·h_c·A
Tâm áp lực: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Hình chữ nhật: I_c = bH³/12

Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Số Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Chế độ chảy: chảy tầng dưới Re ≈ 2000, chảy rối trên Re ≈ 4000
Vận tốc trung bình: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Tổn thất cục bộ: h_m = ΣK·V²/(2g)
Giá trị K thường gặp: lối vào 0,5, lối ra 1,0, khúc cua 90° ≈ 0,3
Độ giảm áp suất: Δp = ρ·g·h_f
Hai bể chứa hở: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Cửa ra tự do: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Dòng chảy hở (Manning)

Phương trình Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Lưu lượng: Q = A·V
Bán kính thủy lực: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y
Hình thang (mái dốc z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Ống tròn, đầy hoặc đầy một nửa: R = D/4
Độ dốc yêu cầu: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Máy bơm và công suất bơm

Công suất thủy lực: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Công suất trên trục: P_shaft = P_h/η_pump
Công suất điện: P_el = P_shaft/η_motor
Cột áp của bơm: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Tổn thất của hệ thống: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_B.

L = 4 mP₁ = 30 kN tại 2 mP₂ = 60 kN tại 2,5 m

R_B = kN

2.Phản lực gối của dầmKhó

Dầm công-xôn được ngàm vào tường tại A. Nó chịu tải thay đổi tuyến tính bằng không tại tường và tăng đến 15 kN/m tại đầu tự do B, cùng một lực tập trung P tại vị trí cách tường 3 m. Tìm độ lớn của mô-men phản lực M_A tại tường.

L = 10 mw₀ = 15 kN/mP = 50 kN tại 3 m

M_A = kN·m

3.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_BC trong thanh BC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 8 mchiều cao = 3 mB cách A 7 mtải thẳng đứng = 50 kN

F_BC = kN

4.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 8 mchiều cao = 3 mB cách A 5 mtải thẳng đứng = 40 kNtải ngang = 25 kN →

F_AB = kN

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Dầm đơn giản chịu hai lực tập trung. Tìm mô-men uốn lớn nhất M_max trong dầm.

L = 6 mP₁ = 35 kN tại 2 mP₂ = 35 kN tại 3,5 m

M_max = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

35 kN @ 6 m25 kN @ 2 m8 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công-xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại đầu tự do. Dùng nguyên lý chồng chất, tìm độ võng δ tại đầu tự do.

P = 16 kNw = 5 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu lực tập trung P tại vị trí cách gối B một đoạn b = 1,5 m. Tìm độ võng δ_mid tại giữa nhịp.

P = 21 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 45 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 45 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tấm 100 mm × 240 mm có một lỗ tròn đường kính 60 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 168 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 100 mmh = 240 mmd = 60 mmtâm lỗ: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 25 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σ_trên ở mép trên.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mmM = 25 kN·m

σ_trên = MPa

13.Ứng suất hữu hiệu trong đấtTrung bình

Với mặt cắt đất như hình, tìm áp suất nước lỗ rỗng u tại điểm X.

z = 7 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 15,5 kN/m³cát: γ_sat = 20,5 kN/m³

u = kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đấtKhó

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất toàn phần theo phương thẳng đứng σ tại điểm X.

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 16,5 kN/m³cát: γ_sat = 19 kN/m³sét: γ_sat = 17 kN/m³

σ = kPa

15.Lún cố kếtTrung bình

Một lớp sét quá cố kết dày 2,5 m có C_c = 0,35, C_r = 0,05 và e₀ = 0,7. Ở độ sâu giữa lớp, ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng là 65 kPa và tỉ số quá cố kết là OCR = 2. Một tòa nhà mới thêm 80 kPa ứng suất thẳng đứng ở độ sâu giữa lớp. Tìm độ lún cố kết sơ cấp S theo mm.

H = 2,5 mC_c = 0,35C_r = 0,05e₀ = 0,7σ′₀ = 65 kPaOCR = 2Δσ = 80 kPa

S = mm

16.Lún cố kếtKhó

Trong thí nghiệm nén cố kết oedometer ở phòng thí nghiệm, một mẫu sét dày 25 mm, thoát nước ở đỉnh và đáy, đạt 50% cố kết sau 8 phút. Ngoài hiện trường, cùng loại sét đó tạo thành một lớp dày 7 m. Nó nằm giữa hai lớp cát, nên nước thoát ra ở đỉnh và đáy. Lớp ngoài hiện trường mất bao nhiêu ngày t để đạt 50% cố kết?

h_lab = 25 mmt_lab = 8 minH = 7 mhiện trường: thoát nước hai phía

t = ngày

17.Lực thủy tĩnhTrung bình

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 0,5 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Lực thủy tĩnhKhó

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1,5 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 2,5 m. Tìm độ sâu y_cp của tâm áp lực dưới mặt thoáng.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápTrung bình

Nước chảy với 3 L/s qua một ống dài 100 m, đường kính trong 75 mm. Dùng hệ số ma sát Darcy f = 0,015 và g = 9,81 m/s². Tìm tổn thất cột áp do ma sát h_f.

Q = 3 L/sL = 100 mD = 75 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápKhó

Một ống dài 100 m, đường kính trong 200 mm (hệ số ma sát Darcy f = 0,02) chạy từ một bể hở và xả thành tia tự do vào không khí. Các tổn thất cục bộ là lối vào cạnh vuông (K = 0,5), 3 khúc cua (K = 0,3 mỗi khúc) và một van (K = 5). Dùng g = 9,81 m/s². Mặt bể phải cao hơn cửa ra của ống bao nhiêu H để có lưu lượng 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5

H = m

21.Dòng chảy hở (Manning)Trung bình

Một kênh đất sạch hình chữ nhật rộng 1 m. Nước chảy đều sâu 1,9 m. Hệ số Manning n = 0,022 và độ dốc đáy là S = 0,001. Tìm lưu lượng Q theo m³/s.

b = 1 my = 1,9 mn = 0,022S = 0,001

Q = m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)Khó

Một kênh đất có phủ cỏ hình thang có chiều rộng đáy 4,5 m và mái dốc 1,5:1 (ngang:đứng) phải tải 6,2 m³/s ở dòng chảy đều với độ sâu 0,7 m. Hệ số Manning n = 0,03. Tìm độ dốc đáy yêu cầu S (theo m/m).

Q = 6,2 m³/sb = 4,5 my = 0,7 mz = 1,5n = 0,03

S = m/m

23.Máy bơm và công suất bơmTrung bình

Một máy bơm cấp 150 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) ngược với cột áp 44 m. Hiệu suất bơm là 78% và động cơ điện dẫn động nó có hiệu suất 92%. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm công suất điện P_el mà động cơ tiêu thụ, theo kW.

Q = 150 L/sH = 44 mη_pump = 78%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Máy bơm và công suất bơmKhó

Một máy bơm chuyển 60 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) từ một bể hở phía dưới lên một bồn phía trên có mặt nước cao hơn 11 m. Ống dài 150 m, đường kính trong 200 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,015; các hệ số tổn thất cục bộ cộng lại là ΣK = 5 (đã gồm lối vào và lối ra). Dùng g = 9,81 m/s². Hiệu suất bơm là 70%. Tìm công suất trên trục P_shaft theo kW.

Q = 60 L/sΔz = 11 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 5η = 70%

P_shaft = kW

25.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn đầu tư €5 000 với lãi suất danh nghĩa 4,8% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 3 năm.

PV = €5 0004,8% / 4n = 3

FV = €

26.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn tiết kiệm €500 vào cuối mỗi tháng trong 7 năm. Tài khoản trả lãi 2,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Cuối cùng bạn tiết kiệm được bao nhiêu? Tìm FV.

A = €5002,4% / 12N = 84

FV = €

27.NPV và IRRTrung bình

Một khoản đầu tư €75 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €17 000, €27 000, €37 000. Chi phí vốn là 10%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 10%CF₀ = −75 000CF₁ = 17 000CF₂ = 27 000CF₃ = 37 000

NPV = €

28.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €50 000 hôm nay. Dòng tiền của nó là €6 000 vào cuối năm thứ 1 và tăng 5% mỗi năm cho đến dòng tiền cuối cùng vào cuối năm 9. Chi phí vốn là 12%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €6 000g = 5%n = 9r = 12%

NPV = €

29.Phân phối chuẩnTrung bình

Khối lượng của bao xi măng là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 kg và độ lệch chuẩn 0,5 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 12 trong số đó vượt quá 303,5 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 12> 303,5 kg

P =

30.Phân phối chuẩnKhó

thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tìm giá trị x mà 10% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 10).

μ = 32σ = 6P = 10%

x = min

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_B = 52,5 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2 + 60·2,5

R_B = 210/4 = 52,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 52,5 = 37,5 kN

Đáp số

R_B = 52,5 kN

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: M_A = 650 kN·m

Cân bằng của dầm công-xôn: một gối ngàm có thể đẩy lên và còn chống lại sự quay, nên nó cho một phản lực thẳng đứng R_A và một mô-men phản lực M_A. ΣF_y = 0 cho R_A, và mô-men đối với tường cho M_A = Σ(tải × khoảng cách đến tường). Tải phân bố tác dụng như hợp lực của nó tại trọng tâm của biểu đồ tải.

Hợp lực của tải tam giác

W = ½·15·10 = 75 kN

x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Mô-men đối với tường

M_A = W·x̄ + P·a = 75·6,667 + 50·3 = 650 kN·m

Đáp số

M_A = 650 kN·m

3.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_BC = −46,12 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·7 → C_y = 43,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 43,75 = 6,25 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −43,75/0,9487 = −46,12 kN

Đáp số

F_BC = −46,12 kN (nén)

4.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AB = −10,93 kN

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·5 + 25·3 → C_y = 34,38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 34,38 = 5,625 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 3/5,831 = 0,5145

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −5,625/0,5145 = −10,93 kN

Đáp số

F_AB = −10,93 kN (nén)

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 80,21 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·2 + 35·3,5

R_B = 192,5/6 = 32,08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 32,08 = 37,92 kN

Mô-men dưới mỗi tải

Giữ phần bên trái của mỗi tải.

dưới P₁: M = R_A·2 = 37,92·2 = 75,83 kN·m

dưới P₂: M = R_B·2,5 = 32,08·2,5 = 80,21 kN·m

Giá trị lớn nhất

M_max = 80,21 kN·m (dưới P₂)

Đáp số

M_max = 80,21 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 4 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 11 kN, R₂ = 81 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 7, M_C = 6, M_D = −28, M_E = −70 kN·m, M_F = −35, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: M_E = −70 kN·m

7.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 33,75 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 16000 N, w = 5 N/mm, L = 1500 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δ_P = PL³/(3EI) = 16000·1500³/(3·6,27 × 10¹¹) = 28,71 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 5·1500⁴/(8·6,27 × 10¹¹) = 5,046 mm

Cộng lại

δ = 28,71 + 5,046 = 33,75 mm

Đáp số

δ = 33,75 mm

8.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_mid = 3,867 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 21000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Độ võng tại giữa nhịp

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 21000·1500·(3·5000² − 4·1500²)/(48·1,12 × 10¹³) = 3,867 mm

Đáp số

δ_mid = 3,867 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 5,426 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1000² = 5426 N = 5,426 kN

Đáp số

P_cr = 5,426 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 99,88 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 3·45000 = 135000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 99,88 mm

Đáp số

d = 99,88 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 200,2, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 107,2 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có I_c = bh³/12 và hình tròn có I_c = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (24000·120 − 2827·168)/(24000 − 2827) = 113,6 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

100·240³/12 + 24000·6,41² = 116,2 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·60⁴/64 + 2827·54,41² = 9,007 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 107,2 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 107,2 × 10⁶ mm⁴

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_trên = 20,09 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 300 + 25/2 = 312,5 mm

bụng: A_w = 20·300 = 6000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·312,5 + 6000·150)/11500 = 227,7 mm

Định lý trục song song

cánh: 220·25³/12 + 5500·(312,5 − 227,7)² = 3,982 × 10⁷ mm⁴

bụng: 20·300³/12 + 6000·(150 − 227,7)² = 8,124 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,982 × 10⁷ + 8,124 × 10⁷ = 1,211 × 10⁸ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 325 − 227,7 = 97,28 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·97,28/1,211 × 10⁸ = 20,09 MPa

Đáp số

σ_trên = 20,09 MPa

13.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: u = 39,24 kPa

Ứng suất hữu hiệu (Terzaghi): khung hạt đất chịu σ′ = σ − u. Ứng suất toàn phần σ là trọng lượng của mọi thứ phía trên điểm đó, Σγ·h, dùng trọng lượng riêng khô phía trên mực nước ngầm và trọng lượng riêng bão hòa phía dưới. Dưới mực nước ngầm, áp suất nước lỗ rỗng là thủy tĩnh: u = γ_w·(độ sâu dưới mực nước ngầm).

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Đáp số

u = 39,24 kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ = 88,5 kPa

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2

σ = 16,5·1 + 19·2 + 17·2 = 88,5 kPa

Đáp số

σ = 88,5 kPa

15.Lún cố kết

Đáp số: S = 46,54 mm

Cố kết sơ cấp của một lớp sét dày H, dùng ứng suất hữu hiệu ở giữa lớp: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Sét cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Sét quá cố kết nén lại theo C_r đến áp lực tiền cố kết σ′_p và chỉ theo C_c sau đó. Thời gian: t = T_v·H_dr²/c_v, trong đó đường thoát nước H_dr là H/2 khi nước có thể thoát ở trên và dưới, và H khi chỉ một phía thoát nước.

Áp lực tiền cố kết

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·65 = 130 kPa

So sánh với áp lực tiền cố kết

σ′_f = 65 + 80 = 145 kPa > 130 kPa

Độ lún

Nén lại đến σ′_p, nén nguyên sinh sau đó.

S = 0,05·2,5/(1 + 0,7)·log₁₀(130/65) + 0,35·2,5/(1 + 0,7)·log₁₀(145/130)

S = 22,13 + 24,41 = 46,54 mm

Đáp số

S = 46,54 mm

16.Lún cố kết

Đáp số: t = 435,6 ngày

Các đường thoát nước

H_dr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m

H_dr,field = 7/2 = 3,5 m

Quy đổi thời gian

t = T_v·H_dr²/c_v với cùng T_v và c_v ở phòng thí nghiệm và hiện trường.

t_field = 8·(3,5/0,0125)² = 627200 min

t_field = 627200/1440 = 435,6 ngày

Đáp số

t = 435,6 ngày

17.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 18,39 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,25·1,5 = 18,39 kN

Đáp số

F = 18,39 kN

18.Lực thủy tĩnh

Đáp số: y_cp = 3,308 m

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·2,25 = 71,74 kN

Tâm áp lực

Áp suất tăng theo độ sâu, nên hợp lực tác dụng phía dưới trọng tâm.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 0,4219/(3,25·2,25) = 3,308 m

Đáp số

y_cp = 3,308 m

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: h_f = 0,4701 m

Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ h_m = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = h_f + h_m, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.

Vận tốc trung bình

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,003/0,004418 = 0,6791 m/s

Cột áp vận tốc

V²/(2g) = 0,6791²/(2·9,81) = 0,0235 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(100/0,075)·0,6791²/(2·9,81) = 0,4701 m

Đáp số

h_f = 0,4701 m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: H = 5,751 m

Vận tốc

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Các hệ số tổn thất

f·L/D = 0,02·100/0,2 = 10

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Phương trình năng lượng

Tia ra vẫn mang cột áp vận tốc của nó; đó không phải là tổn thất nhưng phải được cung cấp.

H = (1 + 10 + 6,4)·0,3305 = 5,751 m

Đáp số

H = 5,751 m

21.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: Q = 1,472 m³/s

Phương trình Manning (SI): với dòng chảy đều trong kênh hở V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 và Q = A·V, với n là hệ số nhám, S là độ dốc đáy (m/m) và R = A/P là bán kính thủy lực: diện tích dòng chảy chia cho chu vi ướt. Chỉ phần biên tiếp xúc với nước được tính trong P, không tính mặt thoáng. Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y. Hình thang có mái dốc z:1 (ngang:đứng): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ống tròn chảy đầy hoặc đầy một nửa có R = D/4.

Hình học

A = b·y = 1·1,9 = 1,9 m²

P = b + 2y = 1 + 2·1,9 = 4,8 m

R = A/P = 0,3958 m

Vận tốc

V = (1/0,022)·0,3958^2/3·0,001^1/2 = 0,7749 m/s

Lưu lượng

Q = A·V = 1,9·0,7749 = 1,472 m³/s

Đáp số

Q = 1,472 m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: S = 0,005048 m/m

Hình học

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1,5·0,7)·0,7 = 3,885 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·0,7·√(1 + 1,5²) = 7,024 m

R = A/P = 0,5531 m

Giải Manning tìm S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·6,2/(3,885·0,6738) = 0,07105

S = 0,07105² = 0,005048

Đáp số

S = 0,005048

Đó là độ hạ 5,048 m trên mỗi kilômét.

23.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: P_el = 90,23 kW

Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: P_shaft = P_h/η_pump, và động cơ tiêu thụ P_el = P_shaft/η_motor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.

Công suất thủy lực

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·44 = 64,75 kW

Công suất trên trục

P_shaft = 64,75/0,78 = 83,01 kW

Công suất điện

P_el = 83,01/0,92 = 90,23 kW

Đáp số

P_el = 90,23 kW

24.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: P_shaft = 11,79 kW

Vận tốc

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Các tổn thất cột áp

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11,25 + 5)·0,1859 = 3,021 m

Cột áp của bơm

H = Δz + h_L = 11 + 3,021 = 14,02 m

Công suất trên trục

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·14,02/0,7 = 11,79 kW

Đáp số

P_shaft = 11,79 kW

25.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 5769 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = r/m = 0,048/4 = 0,012

N = m·n = 4·3 = 12

Giá trị tương lai

FV = 5 000·(1 + 0,012)¹² = 5 000·1,154 = €5 769,47

Đáp số

FV = €5 769,47

26.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 45685 €

Lãi suất tháng và số khoản gửi

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·7 = 84

Giá trị tương lai của các khoản gửi

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1,183 − 1)/0,002 = €45 684,54

Đáp số

FV = €45 684,54

Bạn tự nộp vào €42 000; phần còn lại là tiền lãi.

27.NPV và IRR

Đáp số: NPV = −9433 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 17 000/1,1 = 15 454,55

CF₂/(1 + 0,1)² = 27 000/1,21 = 22 314,05

CF₃/(1 + 0,1)³ = 37 000/1,331 = 27 798,65

Cộng lại

NPV = €−9 432,76

Đáp số

NPV = €−9 432,76

NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.

28.NPV và IRR

Đáp số: NPV = −12236 €

Giá trị hiện tại của niên kim tăng trưởng

((1,05)/(1,12))⁹ = 0,5594

PV = 6 000/(0,12 − 0,05)·(1 − 0,5594) = 37 763,61

NPV

NPV = 37 763,61 − 50 000 = −€12 236,39

Đáp số

NPV = −€12 236,39

NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.

29.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,02169

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ_T = 300 kg, σ_T = 0,5·√12 = 1,732 kg

Chuẩn hóa

z = (303,5 − 300)/1,732 = 2,02

Xác suất

P = 1 − Φ(2,02) = 0,02169

Đáp số

P = 0,02169

30.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 24,31 min

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Quay lại x

x = 32 + −1,282·6 = 24,31 min

Đáp số

x = 24,31 min

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. Kỳ thi FE exam do NCEES tổ chức; tổ chức này không liên kết với ExamProblems và không bảo trợ nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil