Luyện thi FE Xây dựng: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 30 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ứng suất hữu hiệu trong đất

Ứng suất toàn phần: σ = Σγ_i·h_i
Áp suất nước lỗ rỗng: u = γ_w·(z − z_w)
Ứng suất hữu hiệu: σ′ = σ − u
Nước: γ_w = 9,81 kN/m³

Lún cố kết

Cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Ứng suất cuối: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Quá cố kết, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Quá cố kết, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Tỉ số quá cố kết: OCR = σ′_p/σ′₀
Thời gian cố kết: t = T_v·H_dr²/c_v
Đường thoát nước: H_dr = H/2 (thoát nước hai phía), H (thoát nước một phía)
Nhân tố thời gian: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Lực thủy tĩnh

Áp suất tại độ sâu: p = ρgh
Lực lên tường thẳng đứng: F = ρg·h_c·A
Tâm áp lực: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Hình chữ nhật: I_c = bH³/12

Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Số Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Chế độ chảy: chảy tầng dưới Re ≈ 2000, chảy rối trên Re ≈ 4000
Vận tốc trung bình: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Tổn thất cục bộ: h_m = ΣK·V²/(2g)
Giá trị K thường gặp: lối vào 0,5, lối ra 1,0, khúc cua 90° ≈ 0,3
Độ giảm áp suất: Δp = ρ·g·h_f
Hai bể chứa hở: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Cửa ra tự do: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Dòng chảy hở (Manning)

Phương trình Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Lưu lượng: Q = A·V
Bán kính thủy lực: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y
Hình thang (mái dốc z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Ống tròn, đầy hoặc đầy một nửa: R = D/4
Độ dốc yêu cầu: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Máy bơm và công suất bơm

Công suất thủy lực: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Công suất trên trục: P_shaft = P_h/η_pump
Công suất điện: P_el = P_shaft/η_motor
Cột áp của bơm: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Tổn thất của hệ thống: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_A.

L = 6 mP₁ = 15 kN tại 2 mP₂ = 45 kN tại 5 m

R_A = kN

2.Phản lực gối của dầmKhó

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_A.

L = 10 mP = 30 kN tại 1 mw = 12 kN/m từ 7 đến 10 m

R_A = kN

3.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_BC trong thanh BC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 4 mchiều cao = 4 mB cách A 1 mtải thẳng đứng = 10 kN

F_BC = kN

4.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AC trong thanh AC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 5 mchiều cao = 2 mB cách A 2 mtải thẳng đứng = 45 kNtải ngang = 20 kN ←

F_AC = kN

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

60 kN @ 8 m8 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

10 kN @ 0 m15 kN @ 12 m20 kN @ 6 m4 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Tìm góc xoay θ_A của dầm tại gối A, theo radian.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δ_max.

P = 24 kNw = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tấm 120 mm × 240 mm có một lỗ tròn đường kính 30 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 96 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 120 mmh = 240 mmd = 30 mmtâm lỗ: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một tấm 100 mm × 200 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 40 mm và cao 50 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 70 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 100 mmh = 200 mmlỗ khoét: 40 × 50 mmtâm lỗ: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ứng suất hữu hiệu trong đấtTrung bình

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng σ′ tại điểm X.

z = 4 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 16,5 kN/m³cát: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đấtKhó

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng σ′ tại điểm X.

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 15,5 kN/m³cát: γ_sat = 18,5 kN/m³sét: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

15.Lún cố kếtTrung bình

Một lớp sét quá cố kết dày 2 m có C_c = 0,45, C_r = 0,06 và e₀ = 0,6. Ở độ sâu giữa lớp, ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng là 60 kPa và áp lực tiền cố kết là 170 kPa. Một tòa nhà mới thêm 150 kPa ứng suất thẳng đứng ở độ sâu giữa lớp. Tìm độ lún cố kết sơ cấp S theo mm.

H = 2 mC_c = 0,45C_r = 0,06e₀ = 0,6σ′₀ = 60 kPaσ′_p = 170 kPaΔσ = 150 kPa

S = mm

16.Lún cố kếtKhó

Một lớp sét dày 3,5 m có hệ số cố kết c_v = 4 m²/năm. Nó nằm giữa hai lớp cát, nên nước thoát ra ở đỉnh và đáy. Với cố kết trung bình 90%, nhân tố thời gian là T_v = 0,848. Lớp đó mất bao nhiêu năm t để đạt 90% cố kết?

H = 3,5 mc_v = 4 m²/nămU = 90%T_v = 0,848thoát nước hai phía

t = năm

17.Lực thủy tĩnhTrung bình

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1,5 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 0,5 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 0,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Lực thủy tĩnhKhó

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1,5 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 3 m. Tìm độ sâu y_cp của tâm áp lực dưới mặt thoáng.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápTrung bình

Nước (ρ = 1000 kg/m³) chảy với 2,9 m/s qua một ống nằm ngang dài 150 m, đường kính trong 300 mm. Dùng hệ số ma sát Darcy f = 0,022 và g = 9,81 m/s². Tìm độ giảm áp suất Δp trên ống theo kPa.

V = 2,9 m/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápKhó

Hai bể chứa hở được nối bằng một ống dài 150 m, đường kính trong 300 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,015. Mặt nước của bể trên cao hơn bể dưới 6 m. Các tổn thất cục bộ là lối vào cạnh vuông (K = 0,5), 3 khúc cua (K = 0,3 mỗi khúc), một van (K = 2) và lối ra vào bể thấp hơn (K = 1,0). Dùng g = 9,81 m/s². Tìm lưu lượng Q theo L/s.

Δz = 6 mL = 150 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Dòng chảy hở (Manning)Trung bình

Một kênh sỏi hình thang có chiều rộng đáy 6 m và mái dốc 1,5:1 (ngang:đứng). Nước chảy đều sâu 1,9 m. Hệ số Manning n = 0,025 và độ dốc đáy là S = 0,002. Tìm lưu lượng Q theo m³/s.

b = 6 my = 1,9 mz = 1,5n = 0,025S = 0,002

Q = m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)Khó

Một kênh đất sạch hình thang có chiều rộng đáy 1 m và mái dốc 1,5:1 (ngang:đứng) phải tải 11 m³/s ở dòng chảy đều với độ sâu 1,8 m. Hệ số Manning n = 0,022. Tìm độ dốc đáy yêu cầu S (theo m/m).

Q = 11 m³/sb = 1 my = 1,8 mz = 1,5n = 0,022

S = m/m

23.Máy bơm và công suất bơmTrung bình

Một máy bơm có hiệu suất 78% cấp 150 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) ngược với cột áp 32 m. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm công suất trên trục P_shaft cần thiết, theo kW.

Q = 150 L/sH = 32 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Máy bơm và công suất bơmKhó

Một máy bơm chuyển 75 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) từ một bể hở phía dưới lên một bồn phía trên có mặt nước cao hơn 8 m. Ống dài 200 m, đường kính trong 200 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,025; các hệ số tổn thất cục bộ cộng lại là ΣK = 8 (đã gồm lối vào và lối ra). Dùng g = 9,81 m/s². Hiệu suất bơm là 65%. Tìm công suất trên trục P_shaft theo kW.

Q = 75 L/sΔz = 8 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 8η = 65%

P_shaft = kW

25.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn đầu tư €10 000 với lãi suất 3% mỗi năm ghép lãi liên tục. Tìm giá trị FV sau 11 năm.

PV = €10 000r = 3%t = 11

FV = €

26.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Một khoản vay €250 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 20 năm. Lãi suất là 7,2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản thanh toán hằng tháng A.

P = €250 0007,2% / 12N = 240

A = €

27.NPV và IRRTrung bình

Một chiếc máy tốn €100 000 hôm nay. Nó tạo ra €37 500 vào cuối mỗi năm trong 3 năm và sau đó có thể bán với giá €25 000. Chi phí vốn là 10%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

C₀ = €100 000CF = €37 500S = €25 000n = 3r = 10%

NPV = €

28.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €50 000 và mang lại €29 500, €35 000, €25 500 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −50 000CF₁ = 29 500CF₂ = 35 000CF₃ = 25 500

IRR = %

29.Phân phối chuẩnTrung bình

X có phân bố chuẩn với trung bình 12 min và độ lệch chuẩn 1,5 min; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 20 min và độ lệch chuẩn 2 min. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 30,8 min. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30,8 min

P =

30.Phân phối chuẩnKhó

Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,05 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

lỗ: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = 17,5 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·2 + 45·5

R_B = 255/6 = 42,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 42,5 = 17,5 kN

Đáp số

R_A = 17,5 kN

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = 32,4 kN

Sơ đồ vật thể tự do

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, đặt tại x̄ = 8,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·1 + 12·3·8,5

R_B = 336/10 = 33,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 33,6 = 32,4 kN

Đáp số

R_A = 32,4 kN

3.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_BC = −3,125 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·1 → C_y = 2,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 2,5 = 7,5 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −2,5/0,8 = −3,125 kN

Đáp số

F_BC = −3,125 kN (nén)

4.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AC = 15 kN

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·2 − 20·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 10 = 35 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,5547 = −18,03 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−18,03)·0,8321 = 15 kN

Đáp số

F_AC = 15 kN (kéo)

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 8 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 68 kN, R₂ = 88 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 120, M_C = 208, M_D = 264, M_E = 288 kN·m, M_F = 160, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: M_E = 288 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: D (x = 6 m)

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 34,75 kN, R₂ = 42,25 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = −20, M_C = 21,5, M_D = 47 kN·m, M_E = 16,5, M_F = −30, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu D: M_D = 47 kN·m

7.Độ võng của dầm

Đáp số: θ_A = 0,002214 rad

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Góc xoay θ = dv/dx là tích phân bậc một của M/(EI); với các đơn vị nhất quán, nó có đơn vị radian.

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Góc xoay ở đầu

θ_A = wL³/(24EI) = 20·2500³/(24·5,88 × 10¹²) = 0,002214 rad

Đáp số

θ_A = 0,002214 rad

Đó là 0,1269°.

8.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 4,268 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 24000 N, w = 15 N/mm, L = 1500 mm, EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δ_P = PL³/(48EI) = 24000·1500³/(48·6,27 × 10¹¹) = 2,691 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·1500⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 1,577 mm

Cộng lại

δ_max = 2,691 + 1,577 = 4,268 mm

Đáp số

δ_max = 4,268 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 8,742 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/4200² = 8742 N = 8,742 kN

Đáp số

P_cr = 8,742 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 77,11 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Đáp số

σ_cr = 77,11 MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 137,8 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có I_c = bh³/12 và hình tròn có I_c = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (28800·120 − 706,9·96)/(28800 − 706,9) = 120,6 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

120·240³/12 + 28800·−0,6039² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−24,6² = 0,4677 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 137,8 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 137,8 × 10⁶ mm⁴

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 64,25 × 10⁶ mm⁴

Trọng tâm

ȳ = (20000·100 − 2000·70)/(20000 − 2000) = 103,3 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

100·200³/12 + 20000·−3,333² = 66,89 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

40·50³/12 + 2000·−33,33² = 2,639 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 64,25 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 64,25 × 10⁶ mm⁴

13.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ′ = 58,69 kPa

Ứng suất hữu hiệu (Terzaghi): khung hạt đất chịu σ′ = σ − u. Ứng suất toàn phần σ là trọng lượng của mọi thứ phía trên điểm đó, Σγ·h, dùng trọng lượng riêng khô phía trên mực nước ngầm và trọng lượng riêng bão hòa phía dưới. Dưới mực nước ngầm, áp suất nước lỗ rỗng là thủy tĩnh: u = γ_w·(độ sâu dưới mực nước ngầm).

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·3 + 19·1 = 68,5 kPa

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Ứng suất hữu hiệu

σ′ = σ − u = 68,5 − 9,81 = 58,69 kPa

Đáp số

σ′ = 58,69 kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ′ = 59,95 kPa

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2

σ = 15,5·1 + 18,5·3 + 19·2 = 109 kPa

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Ứng suất hữu hiệu

σ′ = σ − u = 109 − 49,05 = 59,95 kPa

Đáp số

σ′ = 59,95 kPa

15.Lún cố kết

Đáp số: S = 85,54 mm

Cố kết sơ cấp của một lớp sét dày H, dùng ứng suất hữu hiệu ở giữa lớp: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Sét cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Sét quá cố kết nén lại theo C_r đến áp lực tiền cố kết σ′_p và chỉ theo C_c sau đó. Thời gian: t = T_v·H_dr²/c_v, trong đó đường thoát nước H_dr là H/2 khi nước có thể thoát ở trên và dưới, và H khi chỉ một phía thoát nước.

So sánh với áp lực tiền cố kết

σ′_f = 60 + 150 = 210 kPa > 170 kPa

Độ lún

Nén lại đến σ′_p, nén nguyên sinh sau đó.

S = 0,06·2/(1 + 0,6)·log₁₀(170/60) + 0,45·2/(1 + 0,6)·log₁₀(210/170)

S = 33,92 + 51,62 = 85,54 mm

Đáp số

S = 85,54 mm

16.Lún cố kết

Đáp số: t = 0,6492 năm

Đường thoát nước

H_dr = H/2 = 3,5/2 = 1,75 m

Thời gian

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·1,75²/4 = 0,6492 năm

Đáp số

t = 0,6492 năm

17.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 88,29 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·4,5 = 88,29 kN

Đáp số

F = 88,29 kN

18.Lực thủy tĩnh

Đáp số: y_cp = 3,8 m

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·2,25 = 82,77 kN

Tâm áp lực

Áp suất tăng theo độ sâu, nên hợp lực tác dụng phía dưới trọng tâm.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 0,4219/(3,75·2,25) = 3,8 m

Đáp số

y_cp = 3,8 m

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: Δp = 46,26 kPa

Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ h_m = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = h_f + h_m, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.

Tổn thất cột áp

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(150/0,3)·2,9²/(2·9,81) = 4,715 m

Độ giảm áp suất

Ống nằm ngang và vận tốc không đổi, nên phương trình năng lượng rút gọn thành Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,715 = 46255 Pa = 46,26 kPa

Đáp số

Δp = 46,26 kPa

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: Q = 222,3 L/s

Các hệ số tổn thất

f·L/D = 0,015·150/0,3 = 7,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Phương trình năng lượng

Cả hai mặt nước đều thông với không khí và thực tế đứng yên, nên toàn bộ Δz bị mất trong ống.

6 = (7,5 + 4,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·6/11,9) = 3,145 m/s

Lưu lượng

Q = V·π·D²/4 = 3,145·0,07069 = 0,2223 m³/s = 222,3 L/s

Đáp số

Q = 222,3 L/s

21.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: Q = 35,99 m³/s

Phương trình Manning (SI): với dòng chảy đều trong kênh hở V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 và Q = A·V, với n là hệ số nhám, S là độ dốc đáy (m/m) và R = A/P là bán kính thủy lực: diện tích dòng chảy chia cho chu vi ướt. Chỉ phần biên tiếp xúc với nước được tính trong P, không tính mặt thoáng. Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y. Hình thang có mái dốc z:1 (ngang:đứng): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ống tròn chảy đầy hoặc đầy một nửa có R = D/4.

Hình học

A = (b + z·y)·y = (6 + 1,5·1,9)·1,9 = 16,81 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,9·√(1 + 1,5²) = 12,85 m

R = A/P = 1,309 m

Vận tốc

V = (1/0,025)·1,309^2/3·0,002^1/2 = 2,14 m/s

Lưu lượng

Q = A·V = 16,81·2,14 = 35,99 m³/s

Đáp số

Q = 35,99 m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: S = 0,001544 m/m

Hình học

A = (b + z·y)·y = (1 + 1,5·1,8)·1,8 = 6,66 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,8·√(1 + 1,5²) = 7,49 m

R = A/P = 0,8892 m

Giải Manning tìm S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·11/(6,66·0,9247) = 0,0393

S = 0,0393² = 0,001544

Đáp số

S = 0,001544

Đó là độ hạ 1,544 m trên mỗi kilômét.

23.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: P_shaft = 60,37 kW

Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: P_shaft = P_h/η_pump, và động cơ tiêu thụ P_el = P_shaft/η_motor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.

Công suất thủy lực

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·32 = 47,09 kW

Công suất trên trục

P_shaft = P_h/η = 47,09/0,78 = 60,37 kW

Đáp số

P_shaft = 60,37 kW

24.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: P_shaft = 19,91 kW

Vận tốc

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Các tổn thất cột áp

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 8)·0,2905 = 9,586 m

Cột áp của bơm

H = Δz + h_L = 8 + 9,586 = 17,59 m

Công suất trên trục

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·17,59/0,65 = 19,91 kW

Đáp số

P_shaft = 19,91 kW

25.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 13910 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Số mũ

r·t = 0,03·11 = 0,33

e^0,33 = 1,391

Giá trị tương lai

FV = 10 000·1,391 = €13 909,68

Đáp số

FV = €13 909,68

26.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: A = 1968 €

Lãi suất tháng và số kỳ thanh toán

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·20 = 240

Khoản thanh toán

Giá trị hiện tại của N khoản thanh toán bằng nhau A là A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Cho nó bằng khoản vay và giải tìm A.

(1 + i)^−N = 0,2379

A = 250 000·0,006/(1 − 0,2379) = €1 968,37

Đáp số

A = €1 968,37

27.NPV và IRR

Đáp số: NPV = 12040 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của các dòng tiền hằng năm

37 500·2,487 = 93 256,95

Giá trị hiện tại của giá trị thanh lý

25 000/1,331 = 18 782,87

NPV

NPV = −100 000 + 93 256,95 + 18 782,87 = €12 039,82

Đáp số

NPV = €12 039,82

28.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 37,15 %

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(35%) = 1 420,52

NPV(40%) = −1 778,43

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 35 + 5·1 420,52/(1 420,52 − (−1 778,43)) = 37,22%

chính xác: NPV(37,15%) = 0 → IRR = 37,15%

Đáp số

IRR = 37,15%

29.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,6844

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Chuẩn hóa

z = (30,8 − 32)/2,5 = −0,48

Đuôi trên

P = 1 − Φ(−0,48) = 1 − 0,3156 = 0,6844

Đáp số

P = 0,6844

30.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9616

Phân bố của hiệu

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm

Chuẩn hóa

z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77

Xác suất

P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616

Đáp số

P = 0,9616

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. Kỳ thi FE exam do NCEES tổ chức; tổ chức này không liên kết với ExamProblems và không bảo trợ nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil