Luyện thi FE Xây dựng: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 30 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ứng suất hữu hiệu trong đất

Ứng suất toàn phần: σ = Σγ_i·h_i
Áp suất nước lỗ rỗng: u = γ_w·(z − z_w)
Ứng suất hữu hiệu: σ′ = σ − u
Nước: γ_w = 9,81 kN/m³

Lún cố kết

Cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Ứng suất cuối: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Quá cố kết, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Quá cố kết, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Tỉ số quá cố kết: OCR = σ′_p/σ′₀
Thời gian cố kết: t = T_v·H_dr²/c_v
Đường thoát nước: H_dr = H/2 (thoát nước hai phía), H (thoát nước một phía)
Nhân tố thời gian: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Lực thủy tĩnh

Áp suất tại độ sâu: p = ρgh
Lực lên tường thẳng đứng: F = ρg·h_c·A
Tâm áp lực: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Hình chữ nhật: I_c = bH³/12

Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Số Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Chế độ chảy: chảy tầng dưới Re ≈ 2000, chảy rối trên Re ≈ 4000
Vận tốc trung bình: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Tổn thất cục bộ: h_m = ΣK·V²/(2g)
Giá trị K thường gặp: lối vào 0,5, lối ra 1,0, khúc cua 90° ≈ 0,3
Độ giảm áp suất: Δp = ρ·g·h_f
Hai bể chứa hở: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Cửa ra tự do: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Dòng chảy hở (Manning)

Phương trình Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Lưu lượng: Q = A·V
Bán kính thủy lực: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y
Hình thang (mái dốc z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Ống tròn, đầy hoặc đầy một nửa: R = D/4
Độ dốc yêu cầu: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Máy bơm và công suất bơm

Công suất thủy lực: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Công suất trên trục: P_shaft = P_h/η_pump
Công suất điện: P_el = P_shaft/η_motor
Cột áp của bơm: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Tổn thất của hệ thống: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_B.

L = 6 mP₁ = 20 kN tại 1 mP₂ = 10 kN tại 2 m

R_B = kN

2.Phản lực gối của dầmKhó

Một dầm ghép được ngàm vào tường tại A, có một khớp bản lề bên trong tại C (cách A 4 m) và tựa trên một gối con lăn tại D (cách A 10 m). Dầm chịu một lực tập trung P tại vị trí cách A 5 m. Tìm độ lớn của mô-men phản lực M_A tại tường.

AC = 4 mAD = 10 mP = 60 kN tại 5 m

M_A = kN·m

3.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_BC trong thanh BC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 6 mchiều cao = 3 mB cách A 1 mtải thẳng đứng = 35 kN

F_BC = kN

4.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

B: 15 kN ↓C: 30 kN ↓G: 30 kN ↓H: 10 kN ↓H: 30 kN ←

1thanh AB
2thanh BC
3thanh CD
4thanh DE
5thanh FG
6thanh GH
7thanh AF
8thanh HE
9thanh BF
10thanh CG
11thanh DH
12thanh FC
13thanh HC

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

15 kN @ 3 m15 kN/m, 1–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

15 kN @ 12 m60 kN @ 2 m4 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Tìm góc xoay θ_A của dầm tại gối A, theo radian.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (thép)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δ_max.

P = 27 kNw = 12 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một ống tròn có đường kính ngoài D = 230 mm và đường kính trong d = 214 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

D = 230 mmd = 214 mm

r = mm

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một dầm gang có tiết diện chữ T như hình, cánh nằm phía trên. Ứng suất cho phép là 40 MPa khi kéo và 100 MPa khi nén. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất M_allow mà dầm có thể chịu.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

13.Ứng suất hữu hiệu trong đấtTrung bình

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng σ′ tại điểm X.

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 16 kN/m³cát: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đấtKhó

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng σ′ tại điểm X.

z = 6,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 15,5 kN/m³cát: γ_sat = 20 kN/m³sét: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.Lún cố kếtTrung bình

Một lớp sét quá cố kết dày 7 m có C_c = 0,5, C_r = 0,06 và e₀ = 0,95. Ở độ sâu giữa lớp, ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng là 85 kPa và tỉ số quá cố kết là OCR = 2,5. Một tòa nhà mới thêm 180 kPa ứng suất thẳng đứng ở độ sâu giữa lớp. Tìm độ lún cố kết sơ cấp S theo mm.

H = 7 mC_c = 0,5C_r = 0,06e₀ = 0,95σ′₀ = 85 kPaOCR = 2,5Δσ = 180 kPa

S = mm

16.Lún cố kếtKhó

Trong thí nghiệm nén cố kết oedometer ở phòng thí nghiệm, một mẫu sét dày 19 mm, thoát nước ở đỉnh và đáy, đạt 50% cố kết sau 10 phút. Ngoài hiện trường, cùng loại sét đó tạo thành một lớp dày 5,5 m. Nó nằm giữa hai lớp cát, nên nước thoát ra ở đỉnh và đáy. Lớp ngoài hiện trường mất bao nhiêu ngày t để đạt 50% cố kết?

h_lab = 19 mmt_lab = 10 minH = 5,5 mhiện trường: thoát nước hai phía

t = ngày

17.Lực thủy tĩnhTrung bình

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 3 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 4 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Lực thủy tĩnhKhó

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1,5 m nằm trong thành bể chứa dầu, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 1,5 m. Tìm độ sâu y_cp của tâm áp lực dưới mặt thoáng.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápTrung bình

Nước (ρ = 1000 kg/m³) chảy với 2,4 m/s qua một ống nằm ngang dài 100 m, đường kính trong 50 mm. Dùng hệ số ma sát Darcy f = 0,02 và g = 9,81 m/s². Tìm độ giảm áp suất Δp trên ống theo kPa.

V = 2,4 m/sL = 100 mD = 50 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápKhó

Hai bể chứa hở được nối bằng một ống dài 200 m, đường kính trong 300 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,018. Mặt nước của bể trên cao hơn bể dưới 23 m. Các tổn thất cục bộ là lối vào cạnh vuông (K = 0,5), 3 khúc cua (K = 0,3 mỗi khúc), một van (K = 0,2) và lối ra vào bể thấp hơn (K = 1,0). Dùng g = 9,81 m/s². Tìm lưu lượng Q theo L/s.

Δz = 23 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Dòng chảy hở (Manning)Trung bình

Một kênh đất có phủ cỏ hình thang có chiều rộng đáy 2 m và mái dốc 1:1 (ngang:đứng). Nước chảy đều sâu 2,3 m. Hệ số Manning n = 0,03 và độ dốc đáy là S = 0,003. Tìm lưu lượng Q theo m³/s.

b = 2 my = 2,3 mz = 1n = 0,03S = 0,003

Q = m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)Khó

Một cống bê tông có đường kính trong 600 mm (hệ số Manning n = 0,013) phải đạt vận tốc tự làm sạch 0,75 m/s khi chảy vừa đầy. Tìm độ dốc tối thiểu S (theo m/m).

D = 600 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

23.Máy bơm và công suất bơmTrung bình

Trong một thử nghiệm, một máy bơm cấp 50 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) ngược với cột áp 80 m trong khi trục của nó nhận 49,1 kW. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm hiệu suất bơm η theo phần trăm.

Q = 50 L/sH = 80 mP_shaft = 49,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Máy bơm và công suất bơmKhó

Một máy bơm chuyển 40 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) từ một bể hở phía dưới lên một bồn phía trên có mặt nước cao hơn 9 m. Ống dài 150 m, đường kính trong 200 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,015; các hệ số tổn thất cục bộ cộng lại là ΣK = 8 (đã gồm lối vào và lối ra). Dùng g = 9,81 m/s². Hiệu suất bơm là 72%. Tìm công suất trên trục P_shaft theo kW.

Q = 40 L/sΔz = 9 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

25.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn cần €25 000 sau 2 năm. Một tài khoản trả lãi 6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.

FV = €25 0006% / 12n = 2

PV = €

26.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Một khoản vay €200 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 30 năm. Lãi suất là 5,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản thanh toán hằng tháng A.

P = €200 0005,4% / 12N = 360

A = €

27.NPV và IRRTrung bình

Một dự án tốn €40 000 hôm nay và mang về €15 500, €12 000, €10 000, €15 000 vào cuối các năm từ 1 đến 4. Chi phí vốn là 6%. Giả sử các dòng tiền đến đều đặn trong mỗi năm. Tìm thời gian hoàn vốn có chiết khấu DPB theo năm.

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 15 500CF₂ = 12 000CF₃ = 10 000CF₄ = 15 000

DPB = năm

28.NPV và IRRKhó

Một khoản đầu tư €50 000 mang về €11 500 vào cuối mỗi năm trong 8 năm. Tìm tỉ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

C₀ = €50 000CF = €11 500n = 8

IRR = %

29.Phân phối chuẩnTrung bình

X có phân bố chuẩn với trung bình 12 min và độ lệch chuẩn 1,5 min; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 20 min và độ lệch chuẩn 2 min. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 35,1 min. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35,1 min

P =

30.Phân phối chuẩnKhó

tuổi thọ pin tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Kéo ngưỡng sao cho 10% cao nhất được tô bóng nằm bên phải nó. Tìm ngưỡng x.

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_B = 6,667 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·1 + 10·2

R_B = 40/6 = 6,667 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 6,667 = 23,33 kN

Đáp số

R_B = 6,667 kN

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: M_A = 200 kN·m

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình. Một khớp bản lề bên trong không truyền được mô-men uốn, điều này cho thêm một phương trình: mô-men đối với khớp của các lực ở mỗi phía bằng không.

Phần CD

Khớp không có mô-men, nên mô-men đối với C chỉ trên CD phải cân bằng.

ΣM_C = 0: R_D·6 = 60·1

R_D = 10 kN

V_C = 60 − 10 = 50 kN

Phần AC

Lực khớp V_C tác dụng hướng xuống lên AC (bằng và ngược chiều với tác dụng của nó lên CD).

R_A = 50 = 50 kN

M_A = 50·4 = 200 kN·m

Đáp số

M_A = 200 kN·m

3.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_BC = −11,34 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·1 → C_y = 5,833 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 5,833 = 29,17 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5,833/0,5145 = −11,34 kN

Đáp số

F_BC = −11,34 kN (nén)

4.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh DH

Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.

Nút D

CD và DE nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 21,25 kN (T), BC: 21,25 kN (T), CD: 33,75 kN (T), DE: 33,75 kN (T), FG: 87,5 kN (C), GH: 87,5 kN (C), AF: 72,48 kN (C), HE: 47,73 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 51,27 kN (T), HC: 33,59 kN (T)

Đáp số

Thanh không lực: DH

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: D (x = 3 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 38,75 kN, R₂ = 51,25 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 38,75, M_C = 70, M_D = 86,25 kN·m, M_E = 72,5, M_F = 43,75, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu D: M_D = 86,25 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: B (x = 2 m)

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 53,5 kN, R₂ = 53,5 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 99 kN·m, M_C = 62, M_D = 9, M_E = −60, M_F = −30, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu B: M_B = 99 kN·m

7.Độ võng của dầm

Đáp số: θ_A = 0,003125 rad

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Góc xoay θ = dv/dx là tích phân bậc một của M/(EI); với các đơn vị nhất quán, nó có đơn vị radian.

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 3000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Góc xoay ở đầu

θ_A = wL³/(24EI) = 20·3000³/(24·7,2 × 10¹²) = 0,003125 rad

Đáp số

θ_A = 0,003125 rad

Đó là 0,179°.

8.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 1,067 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 27000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm, EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δ_P = PL³/(48EI) = 27000·1500³/(48·2,52 × 10¹²) = 0,7533 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·1500⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 0,3139 mm

Cộng lại

δ_max = 0,7533 + 0,3139 = 1,067 mm

Đáp số

δ_max = 1,067 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 58,49 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·1500 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/3000² = 58487 N = 58,49 kN

Đáp số

P_cr = 58,49 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 1,554 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/15 = 666,7

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/666,7² = 1,554 MPa

Đáp số

σ_cr = 1,554 MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 78,54 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = I_c + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

A = π(D² − d²)/4 = 5579 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3,442 × 10⁷ mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(3,442 × 10⁷/5579) = 78,54 mm

Đáp số

r = 78,54 mm

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: M_allow = 4,681 kN·m

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Trọng tâm

ȳ = (3200·170 + 2240·80)/5440 = 132,9 mm

cạnh trên: c = 180 − 132,9 = 47,06 mm

Mômen quán tính mặt cắt

I = 160·20³/12 + 3200·37,06² + 14·160³/12 + 2240·52,94² = 1,556 × 10⁷ mm⁴

Mô-men cho phép theo từng cạnh

Võng xuống: thớ trên chịu nén, thớ dưới chịu kéo.

cạnh trên: M = 100·1,556 × 10⁷/47,06 = 33,06 kN·m

cạnh dưới: M = 40·1,556 × 10⁷/132,9 = 4,681 kN·m

Giá trị quyết định

M_allow = min = 4,681 kN·m (cạnh dưới)

Đáp số

M_allow = 4,681 kN·m

13.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ′ = 64,45 kPa

Ứng suất hữu hiệu (Terzaghi): khung hạt đất chịu σ′ = σ − u. Ứng suất toàn phần σ là trọng lượng của mọi thứ phía trên điểm đó, Σγ·h, dùng trọng lượng riêng khô phía trên mực nước ngầm và trọng lượng riêng bão hòa phía dưới. Dưới mực nước ngầm, áp suất nước lỗ rỗng là thủy tĩnh: u = γ_w·(độ sâu dưới mực nước ngầm).

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·1 + 19,5·5 = 113,5 kPa

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Ứng suất hữu hiệu

σ′ = σ − u = 113,5 − 49,05 = 64,45 kPa

Đáp số

σ′ = 64,45 kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ′ = 66,35 kPa

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3,5

σ = 15,5·2 + 20·1 + 17·3,5 = 110,5 kPa

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Ứng suất hữu hiệu

σ′ = σ − u = 110,5 − 44,15 = 66,35 kPa

Đáp số

σ′ = 66,35 kPa

15.Lún cố kết

Đáp số: S = 257,8 mm

Cố kết sơ cấp của một lớp sét dày H, dùng ứng suất hữu hiệu ở giữa lớp: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Sét cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Sét quá cố kết nén lại theo C_r đến áp lực tiền cố kết σ′_p và chỉ theo C_c sau đó. Thời gian: t = T_v·H_dr²/c_v, trong đó đường thoát nước H_dr là H/2 khi nước có thể thoát ở trên và dưới, và H khi chỉ một phía thoát nước.

Áp lực tiền cố kết

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·85 = 212,5 kPa

So sánh với áp lực tiền cố kết

σ′_f = 85 + 180 = 265 kPa > 212,5 kPa

Độ lún

Nén lại đến σ′_p, nén nguyên sinh sau đó.

S = 0,06·7/(1 + 0,95)·log₁₀(212,5/85) + 0,5·7/(1 + 0,95)·log₁₀(265/212,5)

S = 85,71 + 172,1 = 257,8 mm

Đáp số

S = 257,8 mm

16.Lún cố kết

Đáp số: t = 581,9 ngày

Các đường thoát nước

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 5,5/2 = 2,75 m

Quy đổi thời gian

t = T_v·H_dr²/c_v với cùng T_v và c_v ở phòng thí nghiệm và hiện trường.

t_field = 10·(2,75/0,0095)² = 837950 min

t_field = 837950/1440 = 581,9 ngày

Đáp số

t = 581,9 ngày

17.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 132,4 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN

Đáp số

F = 132,4 kN

18.Lực thủy tĩnh

Đáp số: y_cp = 2,333 m

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,25·2,25 = 43,7 kN

Tâm áp lực

Áp suất tăng theo độ sâu, nên hợp lực tác dụng phía dưới trọng tâm.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,25 + 0,4219/(2,25·2,25) = 2,333 m

Đáp số

y_cp = 2,333 m

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: Δp = 115,2 kPa

Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ h_m = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = h_f + h_m, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.

Tổn thất cột áp

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(100/0,05)·2,4²/(2·9,81) = 11,74 m

Độ giảm áp suất

Ống nằm ngang và vận tốc không đổi, nên phương trình năng lượng rút gọn thành Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·11,74 = 115200 Pa = 115,2 kPa

Đáp số

Δp = 115,2 kPa

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: Q = 393 L/s

Các hệ số tổn thất

f·L/D = 0,018·200/0,3 = 12

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Phương trình năng lượng

Cả hai mặt nước đều thông với không khí và thực tế đứng yên, nên toàn bộ Δz bị mất trong ống.

23 = (12 + 2,6)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·23/14,6) = 5,56 m/s

Lưu lượng

Q = V·π·D²/4 = 5,56·0,07069 = 0,393 m³/s = 393 L/s

Đáp số

Q = 393 L/s

21.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: Q = 19,97 m³/s

Phương trình Manning (SI): với dòng chảy đều trong kênh hở V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 và Q = A·V, với n là hệ số nhám, S là độ dốc đáy (m/m) và R = A/P là bán kính thủy lực: diện tích dòng chảy chia cho chu vi ướt. Chỉ phần biên tiếp xúc với nước được tính trong P, không tính mặt thoáng. Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y. Hình thang có mái dốc z:1 (ngang:đứng): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ống tròn chảy đầy hoặc đầy một nửa có R = D/4.

Hình học

A = (b + z·y)·y = (2 + 1·2,3)·2,3 = 9,89 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·2,3·√(1 + 1²) = 8,505 m

R = A/P = 1,163 m

Vận tốc

V = (1/0,03)·1,163^2/3·0,003^1/2 = 2,019 m/s

Lưu lượng

Q = A·V = 9,89·2,019 = 19,97 m³/s

Đáp số

Q = 19,97 m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: S = 0,001193 m/m

Bán kính thủy lực

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

Giải Manning tìm S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,2823)² = 0,001193

Đáp số

S = 0,001193

Đó là độ hạ 1,193 m trên mỗi kilômét.

23.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: η = 79,92 %

Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: P_shaft = P_h/η_pump, và động cơ tiêu thụ P_el = P_shaft/η_motor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.

Công suất thủy lực

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·80 = 39,24 kW

Hiệu suất

η = P_h/P_shaft = 39,24/49,1 = 79,92%

Đáp số

η = 79,92%

24.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: P_shaft = 5,772 kW

Vận tốc

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Các tổn thất cột áp

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11,25 + 8)·0,08263 = 1,591 m

Cột áp của bơm

H = Δz + h_L = 9 + 1,591 = 10,59 m

Công suất trên trục

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·10,59/0,72 = 5,772 kW

Đáp số

P_shaft = 5,772 kW

25.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 22180 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·2 = 24

Giá trị hiện tại

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,127 = €22 179,64

Đáp số

PV = €22 179,64

26.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: A = 1123 €

Lãi suất tháng và số kỳ thanh toán

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·30 = 360

Khoản thanh toán

Giá trị hiện tại của N khoản thanh toán bằng nhau A là A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Cho nó bằng khoản vay và giải tìm A.

(1 + i)^−N = 0,1986

A = 200 000·0,0045/(1 − 0,1986) = €1 123,06

Đáp số

A = €1 123,06

27.NPV và IRR

Đáp số: DPB = 3,53 năm

Thời gian hoàn vốn: thời gian cho đến khi dòng tiền tích lũy hoàn trả khoản đầu tư ban đầu. Giả định tiền về đều trong mỗi năm, nên phần cuối là một phần của năm. Thời gian hoàn vốn đơn giản bỏ qua giá trị thời gian của tiền; thời gian hoàn vốn có chiết khấu dùng các dòng tiền đã chiết khấu.

Dòng tiền đã chiết khấu và tích lũy

năm 1: 15 500/1,06 = 14 622,64 → Σ = 14 622,64

năm 2: 12 000/1,124 = 10 679,96 → Σ = 25 302,60

năm 3: 10 000/1,191 = 8 396,19 → Σ = 33 698,79

năm 4: 15 000/1,262 = 11 881,40 → Σ = 45 580,20

Phần của năm cuối

DPB = 3 + 6 301,21/11 881,40 = 3,53

Đáp số

DPB = 3,53 năm

Thời gian hoàn vốn có chiết khấu luôn dài hơn thời gian hoàn vốn đơn giản (3,167 năm).

28.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 15,97 %

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Hệ số niên kim cần thiết

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 50 000/11 500 = 4,348

Giải tìm lãi suất

Hệ số niên kim giảm khi lãi suất tăng; hãy chặn khoảng giá trị của lãi suất rồi thu hẹp dần.

i = 15%: 4,487

i = 16%: 4,344

IRR = 15,97%

Đáp số

IRR = 15,97%

29.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,1075

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Chuẩn hóa

z = (35,1 − 32)/2,5 = 1,24

Đuôi trên

P = 1 − Φ(1,24) = 1 − 0,8925 = 0,1075

Đáp số

P = 0,1075

30.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 551 h

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái

Φ(z) = 0,9

z từ bảng

z ≈ 1,28

Trở lại đơn vị ban đầu

x = 500 + 1,28·40 = 551 h

Đáp số

x = 551 h

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil