Luyện thi FE Điện và Máy tính: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 40 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Điện trở nối tiếp và song song

Điện trở nối tiếp: R_eq = R₁ + R₂ + …
Điện trở song song: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Hai điện trở song song: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Định luật Ohm: V = I·R
Công suất: P = V·I = I²R = V²/R

Phương pháp

Bắt đầu từ đầu của mạng xa các cực nhất.
Gộp các điện trở nối tiếp bằng cách cộng chúng, và các điện trở song song bằng 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Vẽ lại mạch sau mỗi bước.
Lặp lại cho đến khi chỉ còn một điện trở giữa hai cực.

Phương pháp điện thế nút

Định luật Kirchhoff về dòng điện: ΣI_in = ΣI_out
Dòng điện nhánh: I = (V_a − V_b)/R
Nút tham chiếu: V_ground = 0

Phương pháp

Chọn một nút tham chiếu (đất) và đặt tên cho các điện thế nút còn lại.
Viết định luật Kirchhoff về dòng tại mỗi nút chưa biết: dòng đi ra qua mỗi nhánh bằng dòng đi vào.
Biểu diễn mọi dòng nhánh dưới dạng (V_a − V_b)/R.
Giải hệ phương trình, rồi tìm bất kỳ dòng điện nào bạn cần.

Phương pháp dòng điện mạch vòng

Định luật Kirchhoff về điện áp: ΣV = 0 quanh mỗi vòng
Điện trở chung: dòng điện = I₁ − I₂
Nguồn dòng trong mạch vòng: xác định dòng điện của mạch vòng đó

Phương pháp

Vẽ một dòng điện theo chiều kim đồng hồ trong mỗi mạch vòng (ô) của mạch.
Áp dụng định luật Kirchhoff về điện áp quanh mỗi mạch vòng: tổng các sụt áp bằng không.
Trong điện trở chung của hai mạch vòng, dòng điện là hiệu của hai dòng mạch vòng.
Giải các phương trình; kết quả âm nghĩa là dòng điện chạy ngược lại.

Nguyên lý xếp chồng

Nguyên lý xếp chồng: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Nguồn điện áp đã tắt: ngắn mạch (0 V)
Nguồn dòng đã tắt: hở mạch (0 A)
Cầu chia áp: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Cầu chia dòng: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Phương pháp

Đếm các nguồn độc lập. Bạn sẽ giải một mạch đơn giản hơn cho mỗi nguồn.
Giữ một nguồn và tắt các nguồn còn lại: nguồn điện áp trở thành ngắn mạch (một sợi dây), nguồn dòng trở thành hở mạch (một khoảng hở).
Giải mạch đơn giản hơn để tìm điện áp hoặc dòng điện bạn cần, theo dõi chiều của nó.
Lặp lại cho mọi nguồn, rồi cộng các thành phần với dấu của chúng.

Thévenin và Norton

Điện áp Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Điện trở Thévenin: R_th: tắt mọi nguồn, nhìn từ a–b
Dòng Norton: I_N = V_th/R_th
Dòng điện qua tải: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Truyền công suất cực đại: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Phương pháp

Bỏ tải ra và đánh dấu hai cực a và b.
Tìm điện áp hở mạch giữa a và b: đây là V_th.
Tắt mọi nguồn độc lập và tìm điện trở nhìn từ a–b: đây là R_th.
Đặt lại tải vào mạch tương đương: V_th nối tiếp với R_th.
Với mạch tương đương Norton, hãy chuyển đổi: I_N = V_th/R_th, với R_N = R_th mắc song song.

Quá độ RC và RL

Hằng số thời gian: τ = RC | τ = L/R
Đáp ứng: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Tụ điện ở chế độ một chiều: hở mạch; v_C không thể nhảy vọt
Cuộn cảm ở chế độ một chiều: ngắn mạch; i_L không thể nhảy vọt
Đã ổn định: t ≈ 5τ

Phương pháp

Tìm giá trị ban đầu ngay sau khi đóng cắt: điện áp tụ điện và dòng điện cuộn cảm không thể nhảy vọt.
Tìm giá trị cuối rất lâu sau khi đóng cắt: tụ điện hoạt động như hở mạch, cuộn cảm như ngắn mạch.
Tìm hằng số thời gian: τ = RC hoặc τ = L/R, dùng điện trở mà tụ điện hoặc cuộn cảm nhìn thấy.
Dùng x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Tổng trở xoay chiều và phasor

Tổng trở: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Tần số góc: ω = 2πf
Độ lớn và góc: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Định luật Ohm dạng phasor: V = I·Z

Phương pháp

Đổi tần số: ω = 2πf.
Tìm từng điện kháng: X_L = ωL và X_C = 1/(ωC).
Cộng các tổng trở như điện trở, với Z = R + jX.
Tìm độ lớn |Z| = √(R² + X²) và góc φ = atan(X/R), rồi dùng định luật Ohm với phasor.

Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Công suất tác dụng: P = V·I·cos φ
Công suất phản kháng: Q = V·I·sin φ
Công suất biểu kiến: S = V·I = √(P² + Q²)
Hệ số công suất: pf = cos φ = P/S
Tụ điện bù: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Công suất ba pha

Nối sao (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Nối tam giác (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Tổng công suất tác dụng: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Công suất biểu kiến và phản kháng: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Tụ điện bù: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Điện áp trên mỗi tụ điện: Δ: V_L Y: V_L/√3
Công suất vào của động cơ: P_in = P_out/η

Máy biến áp

Tỉ số vòng dây: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Tỉ số dòng điện: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Dòng điện định mức: I = S/V
Tổng trở quy đổi: Z₁′ = a²·Z_L
Tổn hao đồng khi non tải: P_cu = x²·P_cu,fl
Hiệu suất: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Hiệu suất cực đại: x = √(P_core/P_cu,fl)

Mạch khuếch đại thuật toán

Bộ khuếch đại đảo: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Bộ khuếch đại không đảo: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Bộ khuếch đại cộng: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Op-amp lý tưởng: V₊ = V₋, I_in = 0

Diode và transistor

Diode (sụt áp không đổi): V_D = 0,7 V when conducting
Vùng tích cực: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Phân cực cố định: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Phân cực bằng cầu chia áp: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Thévenin của cầu chia áp: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Vòng cực thu: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Bão hòa: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Hệ đếm

Giá trị vị trí: nhị phân 2^k, bát phân 8^k, thập lục phân 16^k
Sang thập phân: Σ d_k·b^k
Từ thập phân: chia cho cơ số, đọc các số dư từ dưới lên
Thập lục phân ↔ nhị phân: một chữ số thập lục phân = 4 bit
Số bù hai: đảo các bit và cộng 1

Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Các cổng cơ bản: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Các quy tắc Boole: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Thứ tự của bìa Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Nhóm 2ᵏ ô: mất k biến
Bộ ghép kênh 4-sang-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Bộ đếm: n bit: 2ⁿ trạng thái; mod-N: n nhỏ nhất thỏa 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Bộ đếm gợn sóng: f_max = 1/(n·t_pd)
Bộ đếm vòng và Johnson: n và 2n trạng thái

Phương pháp

Với một mạch, hãy làm từ các đầu vào đến đầu ra từng cổng một và ghi giá trị trên mọi dây, hoặc viết biểu thức của nó rồi điền bảng chân trị.
Để rút gọn, hãy đặt các số 1 (và các điều kiện tùy định là X) vào một bìa Karnaugh với hàng và cột theo mã Gray: 00, 01, 11, 10.
Hãy phủ các số 1 bằng càng ít nhóm và càng lớn càng tốt gồm 1, 2, 4, 8 hoặc 16 ô, cuộn qua mép; mỗi nhóm là một số hạng tích gồm các biến không đổi. Hãy nhóm các số 0 cho dạng POS.
Với flip-flop và bộ đếm, hãy đọc các đầu vào tại mỗi sườn xung nhịp tích cực, ghi trạng thái sau mỗi sườn, và nhớ rằng bộ đếm n bit quay vòng sau 2ⁿ trạng thái.

Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Ổn định: mọi nghiệm của đa thức đặc trưng ở nửa mặt phẳng trái
bảng Routh, phần tử s¹ của đa thức bậc ba: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
Nghiệm ở nửa mặt phẳng phải: số lần đổi dấu trong cột đầu tiên
Đa thức bậc ba s³ + a₂s² + a₁s + a₀: ổn định khi mọi a > 0 và a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
Phương trình đặc trưng: 1 + K·G(s) = 0
Đường tiệm cận: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Điểm tách và điểm nhập: dK/ds = 0
Điều kiện biên độ: K = 1/|G(s)|
Góc xuất phát: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Phương pháp

Viết đa thức đặc trưng vòng kín: mẫu số của 1 + K·G(s) = 0, sau khi nhân ra.
Đặt các hệ số xen kẽ vào hai hàng đầu tiên của bảng Routh và lập các hàng còn lại.
Đếm số lần đổi dấu trong cột đầu tiên: mỗi lần là một cực ở nửa mặt phẳng phải. Khi K có trong bảng, hãy yêu cầu mọi phần tử của cột đầu tiên giữ dương.
Với quỹ đạo nghiệm, đánh dấu các cực và điểm không, các đoạn trên trục thực, các đường tiệm cận từ trọng tâm và các điểm tách/nhập nơi dK/ds = 0. Dùng K = 1/|G(s)| cho độ lợi tại một điểm.

Sai số xác lập và điều khiển PID

Loại của hệ: số cực của G(s) tại s = 0
Hằng số sai số: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
Bước nhảy A: e_ss = A/(1 + K_p)
Tín hiệu dốc A·t: e_ss = A/K_v
Parabol A·t²/2: e_ss = A/K_a
Bộ điều khiển PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
Mục tiêu bậc hai: s² + 2ζω_ns + ω_n²
Độ vượt quá và thời gian: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

Phương pháp

Đếm các cực của vòng hở C(s)·G(s) tại s = 0: đó là loại của hệ.
Tính hằng số sai số khớp với đầu vào: K_p cho bước nhảy, K_v cho tín hiệu dốc, K_a cho parabol.
Áp dụng e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v hay A/K_a, hoặc giải nó theo độ lợi bạn cần.
Với yêu cầu về độ cản hoặc tốc độ, viết đa thức đặc trưng vòng kín và so sánh nó với s² + 2ζω_n·s + ω_n².

2Bài tập

1.Điện trở nối tiếp và song songTrung bình

Tìm dòng điện I_R2 qua R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

2.Điện trở nối tiếp và song songKhó

Tìm dòng điện I_R2 qua R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

3.Phương pháp điện thế nútTrung bình

Dùng phương pháp điện thế nút để tìm điện thế nút V_A (đo so với đất).

V₁ = 15 VI_s = 1 AR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

V_A = V

4.Phương pháp điện thế nútKhó

Dùng phương pháp điện thế nút để tìm điện thế nút V_B (đo so với đất).

V₁ = 6 VI_s = 2,5 AV₂ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 8 Ω

V_B = V

5.Phương pháp dòng điện mạch vòngTrung bình

Dùng phương pháp dòng điện mạch vòng để tìm dòng điện I_R2 chạy qua R₂ theo chiều mũi tên.

V₁ = 30 VV₂ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 Ω

I_R2 = A

6.Phương pháp dòng điện mạch vòngKhó

Dùng phương pháp dòng điện mạch vòng để tìm dòng điện I_R4 chạy qua R₄ theo chiều mũi tên.

V₁ = 12 VV₂ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 30 Ω

I_R4 = A

7.Nguyên lý xếp chồngTrung bình

Dùng nguyên lý chồng chất để tìm công suất P_R4 tiêu thụ bởi R₄.

V₁ = 18 VI_s = 1 AR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 Ω

P_R4 = W

8.Nguyên lý xếp chồngKhó

Dùng nguyên lý xếp chồng để tìm dòng điện I_R4 chạy qua R₄ theo chiều mũi tên.

V₁ = 36 VI_s = 2 AV₂ = 30 VR₁ = 3 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 3 Ω

I_R4 = A

9.Thévenin và NortonTrung bình

Tìm điện trở Thévenin R_th nhìn từ cặp cực a–b.

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 Ω

R_th = Ω

10.Thévenin và NortonKhó

Tìm dòng Norton I_N: dòng điện chạy từ a đến b nếu nối tắt hai cực.

V₁ = 36 VI_s = 4 AR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 Ω

I_N = A

11.Quá độ RC và RLTrung bình

Nguồn Vₛ nạp tụ điện qua R₁, và R₂ được mắc song song với C. Tụ điện chưa tích điện khi khóa đóng tại t = 0. Tìm điện áp tụ điện v_C tại t = 10 ms.

V_s = 24 VR₁ = 1 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 33 µFt = 10 ms

v_C = V

12.Quá độ RC và RLKhó

Công tắc mắc song song với R₂ đã đóng trong một thời gian dài, nên dòng điện cuộn cảm ổn định. Tại t = 0 công tắc mở. Tìm dòng điện cuộn cảm i tại t = 5 ms.

V_s = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 33 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

13.Tổng trở xoay chiều và phasorTrung bình

Một mạch RLC nối tiếp được nối với nguồn 230 V (hiệu dụng), 60 Hz. Tìm hệ số công suất cos φ của mạch.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 10 µF

cos φ =

14.Tổng trở xoay chiều và phasorKhó

Một điện trở R₁ được mắc nối tiếp với một tổ hợp song song của R₂ và một tụ điện C, qua nguồn 50 V (hiệu dụng), 50 Hz. Tìm dòng điện hiệu dụng I.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR₁ = 15 ΩR₂ = 50 ΩC = 100 µF

I = A

15.Công suất xoay chiều và hệ số công suấtTrung bình

Một động cơ một pha tiêu thụ 24 kW với hệ số công suất 0,65 trễ từ nguồn 400 V. Tìm công suất phản kháng Q mà nó tiêu thụ.

P = 24 kWpf = 0,65V = 400 V

Q = kvar

16.Công suất xoay chiều và hệ số công suấtKhó

Một tải một pha tiêu thụ 15 kW với hệ số công suất 0,8 trễ từ nguồn 400 V, 50 Hz. Một tụ điện mắc song song nâng hệ số công suất lên 0,95. Tìm điện dung C cần thiết.

P = 15 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,95V = 400 Vf = 50 Hz

C = µF

17.Công suất ba phaTrung bình

Một tải ba pha cân bằng lấy dòng điện dây 75 A từ nguồn có điện áp dây 400 V. Hệ số công suất là 0,75 trễ. Tìm tổng công suất tác dụng P mà tải tiêu thụ, theo kW.

V_L = 400 VI_L = 75 Acos φ = 0,75

P = kW

18.Công suất ba phaKhó

Một tải ba pha cân bằng lấy 300 kW với hệ số công suất 0,75 trễ từ nguồn 400 V (điện áp dây), 50 Hz. Một bộ tụ điện ba pha mắc song song với tải phải nâng hệ số công suất tổng lên 0,95 trễ. Công suất tác dụng giữ nguyên. Các tụ điện được nối sao (Y). Tìm điện dung C_ph của mỗi tụ theo µF.

P = 300 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,95V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

19.Máy biến ápTrung bình

Một điện trở 2 Ω được nối qua cuộn thứ cấp của một máy biến áp lý tưởng có tỉ số vòng dây N₁:N₂ = 4:1. Tìm điện trở R_1′ nhìn vào cuộn sơ cấp.

N₁:N₂ = 4:1R_L = 2 Ω

R_1′ = Ω

20.Máy biến ápKhó

Một máy biến áp một pha 500 kVA có tổn thất lõi 4000 W. Ở tải định mức và hệ số công suất 0,8 trễ, hiệu suất của nó là 97,5%. Tìm tổn thất đồng ở đầy tải P_cu,fl theo watt.

S = 500 kVAP_core = 4000 Wpf = 0,8η = 97,5%

P_cu,fl = W

21.Mạch khuếch đại thuật toánTrung bình

Chọn điện trở hồi tiếp R_f để bộ khuếch đại không đảo này có độ lợi điện áp bằng 21.

R₁ = 1 kΩA_v = 21

R_f = kΩ

22.Mạch khuếch đại thuật toánKhó

Bộ khuếch đại cộng dùng op-amp lý tưởng với nguồn cấp ±15 V. Tìm dòng điện I_f qua điện trở hồi tiếp, chạy về phía ngõ ra.

V₁ = 1,9 VV₂ = 1,1 VR₁ = 22 kΩR₂ = 10 kΩR_f = 47 kΩ

I_f = mA

23.Diode và transistorTrung bình

Một transistor NPN có β = 200 được phân cực bằng cầu chia áp từ V_CC = 12 V: R₁ = 68 kΩ từ V_CC đến cực nền và R₂ = 10 kΩ từ cực nền xuống đất. Điện trở cực thu là R_C = 3,3 kΩ và điện trở cực phát là R_E = 1,5 kΩ. Lấy V_BE = 0,7 V và dùng mạch tương đương Thévenin của cầu chia áp (không bỏ qua dòng điện cực nền). Tìm dòng điện cực thu I_C theo mA.

V_CC = 12 VR₁ = 68 kΩR₂ = 10 kΩR_C = 3,3 kΩR_E = 1,5 kΩβ = 200

I_C = mA

24.Diode và transistorKhó

Một bộ ổn áp Zener 6,2 V có điện trở nối tiếp 100 Ω. Đầu vào có thể tăng đến 18 V, và tải có thể bị ngắt. Tìm công suất lớn nhất P_Z,max mà Zener phải tiêu tán.

V_in,max = 18 VV_Z = 6,2 VR = 100 Ω

P_Z,max = mW

25.Hệ đếmTrung bình

Đặt các bit để lưu −31 theo bù hai 8 bit. Đọc như một số không dấu, giá trị U của mẫu là bao nhiêu?

N = −318 bit

U =

26.Hệ đếmKhó

Đặt các bit thành kết quả 8 bit của 1111 0000 >> 2. Giá trị R của kết quả theo hệ thập phân là bao nhiêu?

1111 0000>> 2

R =

27.Logic số: cổng, bìa K và flip-flopTrung bình

Hãy dùng bìa Karnaugh để tìm dạng tổng các tích (SOP) tối thiểu của F(A, B, C) = Σm(1, 2, 3, 5, 6). Tổng cộng nó chứa bao nhiêu literal L (một biến có dấu phẩy được tính là một literal)?

F(A, B, C) = Σm(1, 2, 3, 5, 6)

L =

28.Logic số: cổng, bìa K và flip-flopKhó

Hãy tìm dạng SOP tối thiểu của F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 7, 11, 15) + d(6, 12), trong đó d đánh dấu các điều kiện tùy định. Nó có bao nhiêu số hạng tích N?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 7, 11, 15) + d(6, 12)

N =

29.Biến đổi LaplaceTrung bình

Tìm f(t) cho F(s) = (4s + 18)/(s² + 2s + 1) và tính f(0,5).

F(s) = (4s + 18)/(s² + 2s + 1)t = 0,5 s

f(0.5) =

30.Biến đổi LaplaceKhó

Một hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân y″ + 6y′ + 10y = u′ + 6u, với đầu vào u(t) và đầu ra y(t). Tìm hàm truyền G(s) = Y(s)/U(s) của nó (điều kiện ban đầu bằng không) và tính đáp ứng xung g(t) tại t = 0,25 s. Tìm g(0,25).

y″ + 6y′ + 10y = u′ + 6ut = 0,25 s

g(0.25) =

31.Sơ đồ khốiTrung bình

Đối tượng G(s) = 10/(s + 8) có một vòng hồi tiếp âm trong (phụ) với độ lợi H₁ = 2. Độ lợi bộ điều khiển K = 11 và một vòng hồi tiếp âm đơn vị ngoài khép kín hệ thống. Tìm độ lợi một chiều (DC) vòng kín T(0).

G(s) = 10/(s + 8)H₁ = 2K = 11

T(0) =

32.Sơ đồ khốiKhó

Đối tượng G(s) = 60/(s(s + 6)) nằm trong vòng hồi tiếp âm với độ lợi cảm biến H = 0,5. Các cực vòng kín là số phức. Tìm phần ảo ω_d của chúng (giá trị dương), theo rad/s.

G(s) = 60/(s(s + 6))H = 0,5

ω_d = rad/s

33.Đáp ứng bướcTrung bình

Một hệ có hàm truyền G(s) = 84/(s² + 7s + 84) và nhận tín hiệu vào là bước nhảy đơn vị. Tìm hệ số cản ζ.

G(s) = 84/(s² + 7s + 84)

ζ =

34.Đáp ứng bướcKhó

Một vòng hồi tiếp âm đơn vị có G(s) = 85/(s(s + 8)). Tìm thời gian xác lập 2 % t_s của đáp ứng bước vòng kín, dùng t_s ≈ 4/(ζωₙ).

G(s) = 85/(s(s + 8))

t_s = s

35.Biểu đồ Bode và độ dự trữTrung bình

Tìm độ lớn chính xác |G(jω)| của G(s) = 3840/((s + 12)(s + 16)) tại ω = 20 rad/s, theo dB.

G(s) = 3840/((s + 12)(s + 16))ω = 20 rad/s

|G(jω)| = dB

36.Biểu đồ Bode và độ dự trữKhó

Một vòng hồi tiếp đơn vị có hàm truyền vòng hở L(s) = 680/(s(s + 6)(s + 10)). Tìm độ dự trữ biên GM theo dB.

L(s) = 680/(s(s + 6)(s + 10))

GM = dB

37.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệmTrung bình

Một vòng phản hồi đơn vị có L(s) = K(s + 9)/(s(s + 1)(s + 2)), với K > 0. Tìm độ lợi lớn nhất K_max mà vòng kín còn ổn định.

L(s) = K(s + 9)/(s(s + 1)(s + 2))

K_max =

38.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệmKhó

Quỹ đạo nghiệm của L(s) = K(s + 8)/(s(s + 4)) rời trục thực giữa s = 0 và s = −4, uốn vòng và nhập lại trục thực ở bên trái điểm không. Tìm điểm nhập s_i.

L(s) = K(s + 8)/(s(s + 4))

s_i =

39.Sai số xác lập và điều khiển PIDTrung bình

Một vòng phản hồi đơn vị có G(s) = K/((s + 4)(s + 5)). Tìm độ lợi K cho sai số xác lập 20 % với đầu vào bước nhảy.

G(s) = K/((s + 4)(s + 5))e_ss = 20 %

K =

40.Sai số xác lập và điều khiển PIDKhó

Một bộ điều khiển tỉ lệ K điều khiển đối tượng G(s) = 2/(s(s + 5)) trong một vòng phản hồi đơn vị. Tìm độ lợi K cho vòng kín có tỷ số cản ζ = 0,4.

G(s) = 2/(s(s + 5))ζ = 0,4

K =

3Dung dịch

1.Điện trở nối tiếp và song song

Đáp số: I_R2 = 0,4615 A

Điện trở nối tiếp và song song: khi nối tiếp, cùng một dòng điện chạy qua mỗi điện trở và R = R₁ + R₂ + …. Khi song song, mỗi điện trở có cùng điện áp và 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Mạch hình thang được rút gọn từng cặp một cho đến khi còn một điện trở tương đương duy nhất.

Gộp các điện trở từ đầu xa

Bắt đầu từ đầu xa nguồn nhất và làm ngược về phía nguồn. Các điện trở có cùng dòng điện thì mắc nối tiếp; các điện trở nối giữa cùng hai nút thì mắc song song.

R₃ + R₄ = 15 + 15 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 12·30/(12+30) = 8,571 Ω

R_eq = R₁ + 8,571 = 10 + 8,571 = 18,57 Ω

Dòng điện từ nguồn

Nguồn chỉ thấy R_eq, nên định luật Ohm cho ra dòng điện nó cung cấp. Dòng điện đó chạy qua R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/18,57 = 0,6462 A

Dòng điện qua R₂

Trừ độ sụt áp trên R₁ để có điện áp tại nút A, cũng là điện áp trên R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,6462·10 = 5,538 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,538/12 = 0,4615 A

Đáp số

I_R2 = 0,4615 A

2.Điện trở nối tiếp và song song

Đáp số: I_R2 = 0,5264 A

Gộp các điện trở từ đầu xa

R₅ + R₆ = 3 + 30 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 10,31 Ω

R₃ + 10,31 = 16,31 Ω

R₂ ∥ 16,31 = 7,814 Ω

R_eq = R₁ + 7,814 = 10 + 7,814 = 17,81 Ω

Dòng điện từ nguồn

Nguồn chỉ thấy R_eq, nên định luật Ohm cho ra dòng điện nó cung cấp. Dòng điện đó chạy qua R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/17,81 = 1,01 A

Dòng điện qua R₂

Trừ độ sụt áp trên R₁ để có điện áp tại nút A, cũng là điện áp trên R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1,01·10 = 7,896 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,896/15 = 0,5264 A

Đáp số

I_R2 = 0,5264 A

3.Phương pháp điện thế nút

Đáp số: V_A = 8,837 V

Phương pháp điện thế nút: chọn một nút tham chiếu, đặt tên các điện thế nút chưa biết, viết định luật dòng Kirchhoff tại mỗi nút chưa biết bằng định luật Ohm (I = ΔV/R), rồi giải hệ phương trình thu được.

Thiết lập các nút

Đất là dây dưới cùng. Các điện thế nút đã biết lấy thẳng từ các nguồn (V₁ = 15 V). Ẩn số: V_A, V_B.

KCL tại nút A

Dòng điện đi ra khỏi A qua các điện trở bằng dòng điện các nguồn đẩy vào A.

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/8 + (V_A − 15)/6 + (V_A − V_B)/5 = 0

0,4917·V_A − 0,2·V_B = 2,5

KCL tại nút B

Dòng điện đi ra khỏi B qua các điện trở bằng dòng điện các nguồn đẩy vào B.

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/10 + (V_B − V_A)/5 = 1

−0,2·V_A + 0,3·V_B = 1

Giải

Δ = (0,4917)(0,3) − (−0,2)(−0,2) = 0,1075

V_A = Δ₁/Δ = 0,95/0,1075 = 8,837 V

V_B = Δ₂/Δ = 0,9917/0,1075 = 9,225 V

Đáp số

V_A = 8,837 V

4.Phương pháp điện thế nút

Đáp số: V_B = 21,51 V

Thiết lập các nút

Đất là dây dưới cùng. Các điện thế nút đã biết lấy thẳng từ các nguồn (V₁ = 6 V, V₂ = 24 V). Ẩn số: V_A, V_B.

KCL tại nút A

Dòng điện đi ra khỏi A qua các điện trở bằng dòng điện các nguồn đẩy vào A.

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/8 + (V_A − 6)/15 + (V_A − V_B)/25 = 0

0,2317·V_A − 0,04·V_B = 0,4

KCL tại nút B

Dòng điện đi ra khỏi B qua các điện trở bằng dòng điện các nguồn đẩy vào B.

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/8 + (V_B − V_A)/25 + (V_B − 24)/3 = 2,5

−0,04·V_A + 0,4983·V_B = 10,5

Giải

Δ = (0,2317)(0,4983) − (−0,04)(−0,04) = 0,1138

V_A = Δ₁/Δ = 0,6193/0,1138 = 5,44 V

V_B = Δ₂/Δ = 2,449/0,1138 = 21,51 V

Đáp số

V_B = 21,51 V

5.Phương pháp dòng điện mạch vòng

Đáp số: I_R2 = −1,25 A

Phương pháp dòng điện mạch vòng: gán cho mỗi ô của mạch phẳng một dòng điện vòng riêng, viết định luật điện áp Kirchhoff quanh mỗi vòng (tổng sụt áp = tổng điện áp tăng), rồi giải. Dòng nhánh là dòng mạch vòng, hoặc hiệu của hai dòng mạch vòng trên nhánh chung.

Gán các dòng điện mạch vòng

Vẽ một dòng điện theo chiều kim đồng hồ trong mỗi ô: I₁, I₂. Điện trở chung của hai mạch vòng có dòng bằng hiệu của hai dòng mạch vòng.

KVL quanh mạch vòng 1

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 30

10·I₁ − 4·I₂ = 30

KVL quanh mạch vòng 2

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

12·I₂ + 4(I₂ − I₁) = (−30)

−4·I₁ + 16·I₂ = −30

Giải

Δ = (10)(16) − (−4)(−4) = 144

I₁ = Δ₁/Δ = 360/144 = 2,5 A

I₂ = Δ₂/Δ = −180/144 = −1,25 A

Đáp số

I_R2 = I₂ = −1,25 A

Dòng điện mạch vòng âm chạy ngược chiều kim đồng hồ.

6.Phương pháp dòng điện mạch vòng

Đáp số: I_R4 = 1,795 A

Gán các dòng điện mạch vòng

Vẽ một dòng điện theo chiều kim đồng hồ trong mỗi ô: I₁, I₂, I₃. Điện trở chung của hai mạch vòng có dòng bằng hiệu của hai dòng mạch vòng.

KVL quanh mạch vòng 1

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 12

7·I₁ − 2·I₂ = 12

KVL quanh mạch vòng 2

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

4·I₂ + 2(I₂ − I₁) + 30(I₂ − I₃) = 0

−2·I₁ + 36·I₂ − 30·I₃ = 0

KVL quanh mạch vòng 3

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

20·I₃ + 30(I₃ − I₂) = (−9)

−30·I₂ + 50·I₃ = −9

Giải

Δ = định thức của ma trận hệ số = 6100

I₁ = Δ₁/Δ = 10260/6100 = 1,682 A

I₂ = Δ₂/Δ = −690/6100 = −0,1131 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1512/6100 = −0,2479 A

Đáp số

I_R4 = I₁ − I₂ = 1,795 A

Dòng điện mạch vòng âm chạy ngược chiều kim đồng hồ.

7.Nguyên lý xếp chồng

Đáp số: P_R4 = 7,787 W

Nguyên lý xếp chồng: trong mạch tuyến tính, mọi điện áp hoặc dòng điện đều bằng tổng các đáp ứng do từng nguồn độc lập tác dụng riêng. Để tắt một nguồn, thay nguồn điện áp lý tưởng bằng ngắn mạch và nguồn dòng lý tưởng bằng hở mạch. Các điện trở giữ nguyên vị trí.

Trường hợp 1 · chỉ V₁ tác dụng

Iₛ trở thành hở mạch, nên R₃ và R₄ tạo thành một nhánh nối tiếp từ A xuống đất, song song với R₂.

R₃+R₄ = 3+3 = 6 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 3·6/(3+6) = 2 Ω

V_A = 18·2/(4+2) = 6 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 6·3/6 = 3 V

I_R4′ = (V_B − 0)/R₄ = (3 − 0)/3 = 1 A

Trường hợp 2 · chỉ I_s tác dụng

V₁ trở thành ngắn mạch, nên R₁ song song với R₂. Iₛ chia tại B giữa R₄ và đường đi qua R₃.

R₁ ∥ R₂ = 4·3/(4+3) = 1,714 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 3 ∥ 4,714 = 1,833 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·1,833 = 1,833 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 1,833·1,714/4,714 = 0,6667 V

I_R4″ = (V_B − 0)/R₄ = (1,833 − 0)/3 = 0,6111 A

Cộng các phần đóng góp của dòng điện

I_R4 = I_R4′ + I_R4″ = 1 + 0,6111 = 1,611 A

Công suất trên điện trở

Công suất phụ thuộc vào bình phương dòng điện, nên không tuân theo nguyên lý chồng chất: hãy cộng các dòng điện trước, rồi bình phương.

P_R4 = I_R4²·R₄ = 1,611²·3 = 7,787 W

Đáp số

P_R4 = 7,787 W

Cộng công suất của các trường hợp riêng lẻ sẽ cho 4,12 W, là sai.

8.Nguyên lý xếp chồng

Đáp số: I_R4 = −1,675 A

Trường hợp 1 · chỉ V₁ tác dụng

V₂ trở thành ngắn mạch và Iₛ trở thành hở mạch. Nhìn từ A, R₃ song song với cặp nối tiếp R₂+R₄.

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 8 ∥ 28 = 6,222 Ω

V_A = 36·6,222/(3+6,222) = 24,29 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 24,29·3/28 = 2,602 V

I_R4′ = (V₂ − V_B)/R₄ = (0 − 2,602)/3 = −0,8675 A

Trường hợp 2 · chỉ I_s tác dụng

Cả hai nguồn điện áp trở thành ngắn mạch. Iₛ chia tại B giữa R₄ (giờ nối xuống đất) và R₂ nối tiếp với R₁ ∥ R₃.

R₁ ∥ R₃ = 2,182 Ω, nên nhánh bên trái là R₂+2,182 = 27,18 Ω

R_eq = R₄ ∥ 27,18 = 2,702 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2·2,702 = 5,404 V

V_A = V_B·2,182/27,18 = 0,4337 V

I_R4″ = (V₂ − V_B)/R₄ = (0 − 5,404)/3 = −1,801 A

Trường hợp 3 · chỉ V₂ tác dụng

V₁ trở thành ngắn mạch và Iₛ trở thành hở mạch. R₁ ∥ R₃ treo từ A, nối tiếp với R₂ về B.

R₁ ∥ R₃ = 3·8/(3+8) = 2,182 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 30·27,18/30,18 = 27,02 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 27,02·2,182/27,18 = 2,169 V

I_R4‴ = (V₂ − V_B)/R₄ = (30 − 27,02)/3 = 0,994 A

Cộng các thành phần

I_R4 = I_R4′ + I_R4″ + I_R4‴

I_R4 = (−0,8675) + (−1,801) + 0,994 = −1,675 A

Kết quả âm có nghĩa là thực tế dòng điện chạy ngược chiều mũi tên.

9.Thévenin và Norton

Đáp số: R_th = 4,714 Ω

Định lý Thévenin: mọi mạng tuyến tính hai cực đều hoạt động như một nguồn điện áp V_th duy nhất nối tiếp với điện trở R_th. Định lý Norton cho cùng mạng đó dưới dạng nguồn dòng I_N = V_th/R_th song song với R_th.

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Thay nguồn điện áp bằng ngắn mạch và nguồn dòng bằng hở mạch, rồi nhìn vào mạch từ a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·3/(4+3) = 1,714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,714 + 3 = 4,714 Ω

10.Thévenin và Norton

Đáp số: I_N = 4,857 A

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Thay nguồn điện áp bằng ngắn mạch và nguồn dòng bằng hở mạch, rồi nhìn vào mạch từ a–b.

R₁ ∥ R₂ = 12·12/(12+12) = 6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6 + 15 = 21 Ω

Tìm V_th, điện áp hở mạch

Khi a–b hở, đường duy nhất cho Iₛ là qua R₃ vào nút A. Tìm V_A bằng xếp chồng V₁ và Iₛ, rồi cộng thêm độ sụt áp trên R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 18 + 4·6 = 42 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 42 + 4·15 = 102 V

Mạch tương đương Norton

Nguồn Norton là cùng mạch đó nhìn như một nguồn dòng song song với R_th. Dòng của nó là dòng ngắn mạch tại a–b.

I_N = V_th/R_th = 102/21 = 4,857 A

11.Quá độ RC và RL

Đáp số: v_C = 6,009 V

Quá độ bậc nhất: trong mạch có một tụ điện hoặc một cuộn cảm, mọi điện áp và dòng điện biến thiên theo hàm mũ từ giá trị ban đầu đến giá trị cuối: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, với τ = RC hoặc τ = L/R. Sau khoảng 5τ mạch đã ổn định.

Mạch tương đương Thévenin nhìn từ tụ điện

Ngắn mạch nguồn để tìm R_th; hở mạch tụ điện để tìm điện áp mà nó sẽ ổn định ở đó.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·3,3/(1 + 3,3) = 0,7674 kΩ

v_C(∞) = 24·3,3/(1 + 3,3) = 18,42 V

Hằng số thời gian

τ = R_th·C = 0,7674·33 = 25,33 ms

Đường cong nạp

v_C(t) = 18,42·(1 − e^−10/25,33) = 6,009 V

Đáp số

v_C = 6,009 V

12.Quá độ RC và RL

Đáp số: i = 0,4433 A

Giá trị đầu, giá trị cuối, hằng số thời gian

Trước t = 0, công tắc đóng nối tắt R₂; sau đó R₁ và R₂ đều ở trong vòng.

i(0) = 12/5 = 2,4 A

i(∞) = 12/(5 + 33) = 0,3158 A

τ = L/R = 68/38 = 1,789 ms

i(t) = 0,3158 + (2,4 − 0,3158)·e^−t/τ

Dòng điện tại thời điểm đã cho

i(5) = 0,3158 + (2,084)·e^−5/1,789 = 0,4433 A

Đáp số

i = 0,4433 A

13.Tổng trở xoay chiều và phasor

Đáp số: cos φ = 0,1447

Mạch xoay chiều với phasor: điện trở, cuộn cảm và tụ điện có tổng trở lần lượt là R, jωL và 1/(jωC), với ω = 2πf. Khi nối tiếp, các tổng trở cộng như điện trở, nhưng là số phức. Dòng điện và điện áp hiệu dụng tuân theo định luật Ohm với |Z|.

Điện kháng

X_L = 94,25 Ω, X_C = 265,3 Ω

Tổng trở

|Z| = √(25² + (−171)²) = 172,8 Ω

Hệ số công suất

cos φ = R/|Z| = 25/172,8 = 0,1447

Mạch có tính dung kháng, nên hệ số công suất sớm pha.

Đáp số

cos φ = 0,1447

14.Tổng trở xoay chiều và phasor

Đáp số: I = 1,347 A

Điện kháng

X_C = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Tổ hợp song song

Nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp để tách Z_p thành phần thực và phần ảo.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 14,42 − j22,65 Ω

Tổng trở kháng

Z = 15 + 14,42 − j22,65 = 29,42 − j22,65 Ω

|Z| = √(29,42² + 22,65²) = 37,13 Ω

Dòng điện

I = V/|Z| = 50/37,13 = 1,347 A

Đáp số

I = 1,347 A

15.Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Đáp số: Q = 28,06 kvar

Công suất xoay chiều: công suất biểu kiến S = V·I (VA) tách thành công suất tác dụng P = S·cos φ (W), thực hiện công có ích, và công suất phản kháng Q = S·sin φ (var), dao động qua lại giữa nguồn và tải. Hệ số công suất là cos φ. Một tụ điện mắc song song cung cấp công suất phản kháng tại chỗ, nên dòng điện trên đường dây giảm với cùng công suất tác dụng.

Góc

φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169

Công suất phản kháng

Q = P·tan φ = 24·1,169 = 28,06 kvar

Đáp số

Q = 28,06 kvar

16.Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Đáp số: C = 125,7 µF

Công suất phản kháng trước và sau

Công suất tác dụng P không đổi; chỉ công suất phản kháng lấy từ nguồn thay đổi.

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(36,87°) = 11,25 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(18,19°) = 4,93 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 6,32 kvar

Điện dung

Một tụ điện mắc qua nguồn cung cấp Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 6320/(2π·50·400²) = 125,7 µF

Đáp số

C = 125,7 µF

17.Công suất ba pha

Đáp số: P = 38,97 kW

Công suất biểu kiến

S = √3·V_L·I_L = √3·400·75 = 51,96 kVA

Công suất tác dụng

P = S·cos φ = 51,96·0,75 = 38,97 kW

Đáp số

P = 38,97 kW

18.Công suất ba pha

Đáp số: C_ph = 3302 µF

Hệ ba pha cân bằng: trong nối sao (Y), điện áp dây bằng √3 lần điện áp pha, V_L = √3·V_ph, và dòng điện dây bằng dòng điện pha. Trong nối tam giác (Δ), điện áp dây bằng điện áp pha và dòng điện dây bằng √3 lần dòng điện pha, I_L = √3·I_ph. Tổng công suất bằng ba lần công suất của một pha: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Bù hệ số công suất: tụ điện cung cấp công suất phản kháng tại chỗ, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Mỗi tụ trong ba tụ cung cấp Q_C/3 = V²·ω·C, trong đó V là điện áp trên tụ đó: V_L trong bộ nối tam giác (Δ), V_L/√3 trong bộ nối sao (Y).

Công suất phản kháng trước và sau

Công suất tác dụng không đổi, nên mỗi hệ số công suất xác định công suất phản kháng: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,75) = 300·0,8819 = 264,6 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,95) = 300·0,3287 = 98,61 kvar

Công suất phản kháng từ các tụ điện

Q_C = Q₁ − Q₂ = 166 kvar

Điện dung mỗi pha

Trong bộ nối sao (Y), mỗi tụ được nối giữa một dây pha và điểm sao.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 55323/(314,2·230,9²) = 3302 µF

Đáp số

C_ph = 3302 µF

19.Máy biến áp

Đáp số: R_1′ = 32 Ω

Máy biến áp lý tưởng: điện áp tỉ lệ với số vòng dây và dòng điện theo tỉ lệ nghịch: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a và I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, nên công suất vào bằng công suất ra, V₁·I₁ = V₂·I₂. Một tổng trở tải Z ở thứ cấp trông như a²·Z khi nhìn từ sơ cấp.

Điện trở quy đổi

Điện áp tăng a lần và dòng điện giảm a lần, nên tỉ số V/I tăng a² lần.

R_1′ = a²·R_L = 4²·2 = 32 Ω

Đáp số

R_1′ = 32 Ω

20.Máy biến áp

Đáp số: P_cu,fl = 6256 W

Tổn thất của máy biến áp: tổn thất lõi (từ trễ và dòng điện xoáy) phụ thuộc vào điện áp và như nhau ở mọi tải. Tổn thất đồng ở các cuộn dây tỉ lệ với bình phương dòng điện, nên ở một phần x của tải định mức nó là x²·P_cu,fl. Hiệu suất η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), với P_out = x·S·pf. Hiệu suất cao nhất ở tải mà tổn thất đồng bằng tổn thất lõi.

Công suất ra và công suất vào

P_out = 500·0,8 = 400 kW

P_in = 400000/0,975 = 410256 W

Tổng tổn thất và tổn thất đồng

P_loss = 410256 − 400000 = 10256 W

P_cu,fl = 10256 − 4000 = 6256 W

Đáp số

P_cu,fl = 6256 W

21.Mạch khuếch đại thuật toán

Đáp số: R_f = 20 kΩ

Quy tắc của op-amp lý tưởng: với hồi tiếp âm, op-amp điều khiển ngõ ra sao cho hai ngõ vào ở cùng điện áp (V₋ = V₊), và không có dòng điện chạy vào cả hai ngõ vào. Viết KCL tại ngõ vào đảo với hai sự kiện này sẽ cho ra ngõ ra.

Độ lợi của bộ khuếch đại không đảo

V₋ = V₊ = V_in, và dòng điện qua R₁ cũng chạy qua R_f, nên V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (21 − 1)·1 = 20 kΩ

Đáp số

R_f = 20 kΩ

22.Mạch khuếch đại thuật toán

Đáp số: I_f = 0,1964 mA

Dòng điện ngõ vào

V₋ = 0, nên mỗi điện trở ngõ vào chịu toàn bộ điện áp ngõ vào của nó.

I₁ = V₁/R₁ = 1,9/22 = 0,08636 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1,1/10 = 0,11 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,1964 mA

Đáp số

I_f = 0,1964 mA

23.Diode và transistor

Đáp số: I_C = 0,5406 mA

Điểm phân cực của BJT: trong vùng tích cực V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B và I_E = (β + 1)·I_B. Tìm I_B từ vòng cực nền bằng KVL, rồi I_C, rồi V_CE từ vòng cực thu–cực phát. Cầu chia áp ở cực nền được thay bằng mạch tương đương Thévenin V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; điện trở cực phát xuất hiện lớn gấp (β + 1) lần trong vòng cực nền.

Mạch tương đương Thévenin của cầu chia áp

V_TH = 12·10/(68 + 10) = 1,538 V

R_TH = 68·10/(68 + 10) = 8,718 kΩ

Dòng điện cực nền

KVL quanh vòng cực nền; dòng điện cực phát là (β + 1)·I_B.

I_B = (1,538 − 0,7)/(8,718 + 201·1,5) = 2,703 µA

Dòng điện cực thu

I_C = 200·2,703 µA = 0,5406 mA

I_E = 201·2,703 µA = 0,5433 mA

Đáp số

I_C = 0,5406 mA

24.Diode và transistor

Đáp số: P_Z,max = 731,6 mW

Bộ ổn áp Zener: một diode Zener phân cực ngược giữ điện áp V_Z của nó trong khi dòng điện còn trên mức tối thiểu I_Z,min. Điện trở nối tiếp R nhận phần chênh lệch giữa đầu vào và đầu ra: I_R = (V_in − V_Z)/R. Dòng điện đó chia giữa tải, I_L = V_Z/R_L, và Zener: I_Z = I_R − I_L. Thiết kế cho các trường hợp xấu nhất: đầu vào thấp nhất với tải lớn nhất vẫn phải còn lại I_Z,min, và đầu vào cao nhất khi không tải cho công suất Zener lớn nhất P_Z = V_Z·I_Z.

Dòng điện Zener trường hợp xấu nhất

I_Z = 11,8/100 = 118 mA

Công suất Zener

P_Z = 6,2·118 = 731,6 mW

Đáp số

P_Z,max = 731,6 mW

25.Hệ đếm

Đáp số: U = 225

Đặt các bit: mỗi bit có giá trị bằng một lũy thừa của hai (128, 64, …, 1). Một chữ số hex đúng bằng bốn bit, và trong bù hai 8 bit, bit ngoài cùng bên trái có giá trị −128. Các phép toán theo bit làm việc trên từng vị trí bit riêng biệt.

Đảo bit và cộng một

31 = 0001 1111

đã đảo: 1110 0000

+1 → 1110 0001

Đọc như số không dấu

1110 0001₂ = 256 − 31 = 225

Đáp số

U = 225

26.Hệ đếm

Đáp số: R = 60

Từng bit một

Dịch phải 2 vị trí di chuyển mọi bit 2 vị trí sang phải; các bit rơi ra khỏi đầu bên phải bị mất và các số không đi vào ở bên trái.

1111 0000 >> 2

= 0011 1100

Giá trị của kết quả

0011 1100₂ = 60

Đáp số

R = 60

27.Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Đáp số: L = 6

Bìa Karnaugh: các ô được sắp xếp theo mã Gray (00, 01, 11, 10), nên các ô kề nhau, kể cả những ô qua mép, khác nhau đúng một biến. Hãy nhóm các số 1 thành hình chữ nhật gồm 1, 2, 4, 8 hoặc 16 ô, lớn nhất có thể và ít nhóm nhất có thể, cho đến khi mọi số 1 đều được phủ. Mỗi nhóm là một số hạng tích: các biến không đổi bên trong nó. Một nhóm 2ᵏ ô mất k biến. Các điều kiện tùy định (X) có thể dùng để làm nhóm lớn hơn nhưng không bắt buộc phải được phủ. Nhóm các số 0 thay vào đó sẽ cho dạng POS tối thiểu.

Nhóm các số 1

Mỗi nhóm là một hình chữ nhật gồm 2ᵏ ô; các ô ở mép kề với các ô ở mép đối diện.

B′C

BC′

A′C

Dạng SOP tối thiểu

F = B′C + BC′ + A′C

L = 6

Đáp số

L = 6

Có một cách nhóm khác cùng kích thước; nó có cùng số số hạng và literal.

28.Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Đáp số: N = 3

Các implicant nguyên tố

Các nhóm lớn nhất có thể tạo từ các số 1 và các X.

CD, A′C, A′B′D

Phủ tối thiểu

F = CD + A′C + A′B′D

N = 3

Đáp số

N = 3

29.Biến đổi Laplace

Đáp số: f(0.5) = 6,672

Biến đổi Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt biến đạo hàm thành phép nhân với s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Các cặp chuẩn: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), và phép dịch s → s + σ nhân hàm theo thời gian với e^−σt. Để biến đổi ngược một F(s) hữu tỉ, hãy tách thành các phân thức riêng: thặng dư của cực đơn p là A = [(s − p)·F(s)] tại s = p. Định lý giá trị cuối: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), chỉ đúng khi mọi cực của s·F(s) nằm trong nửa mặt phẳng trái. Định lý giá trị đầu: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Phân tích mẫu số thành nhân tử

s² + 2s + 1 = (s + 1)²

Phân thức riêng

4s + 18 = 4(s + 1) + 14

F(s) = 4/(s + 1) + 14/(s + 1)²

Biến đổi ngược

f(t) = 4·e^−t + 14·t·e^−t

f(0,5) = (4 + 14·0,5)·e^−0,5 = 6,672

Đáp số

f(0,5) = 6,672

30.Biến đổi Laplace

Đáp số: g(0.25) = 0,8083

Hàm truyền

G(s) = Y(s)/U(s) = (s + 6)/(s² + 6s + 10)

Phân thức riêng

s² + 6s + 10 = (s + 3)² + 1²

G(s) = 1·(s + 3)/((s + 3)² + 1²) + (3/1)·1/((s + 3)² + 1²)

Đáp ứng xung

g(t) = e^−3t·(cos 1t + 3·sin 1t)

g(0,25) = 0,8083

Đáp số

g(0,25) = 0,8083

31.Sơ đồ khối

Đáp số: T(0) = 0,7971

Đại số sơ đồ khối: các khối nối tiếp thì nhân (G₁·G₂), các khối song song thì cộng (G₁ + G₂), và một vòng có đường thuận G và đường hồi tiếp H rút gọn thành T = G/(1 + G·H) với hồi tiếp âm và G/(1 − G·H) với hồi tiếp dương. Rút gọn các vòng bên trong trước, rồi làm dần ra ngoài. Các cực vòng kín là nghiệm của phương trình đặc trưng 1 + G(s)H(s) = 0. Với vòng ổn định, đầu vào bậc thang có độ lớn A cho đầu ra xác lập A·T(0); với hồi tiếp đơn vị, sai số xác lập đối với bậc thang là A/(1 + K_p) với K_p = G(0).

Vòng trong

Gᵢ = G/(1 + G·H₁) = 10/(s + 8 + 10·2) = 10/(s + 28)

Vòng ngoài

T(s) = K·Gᵢ/(1 + K·Gᵢ) = 110/(s + 28 + 110) = 110/(s + 138)

Kết quả

T(0) = 110/138 = 0,7971

Đáp số

T(0) = 0,7971

32.Sơ đồ khối

Đáp số: ω_d = 4,583 rad/s

Phương trình đặc trưng

s(s + 6) + 60·0,5 = 0 → s² + 6s + 30 = 0

Các nghiệm

s = −3 ± j·√(30 − 9) = −3 ± j4,583

ω_d = 4,583 rad/s

Đáp số

ω_d = 4,583 rad/s

33.Đáp ứng bước

Đáp số: ζ = 0,3819

Đáp ứng bước: một hệ bậc nhất G(s) = K/(τs + 1) đáp ứng với một bước nhảy có biên độ U là y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): nó đạt 63,2 % giá trị cuối K·U sau một hằng số thời gian τ và 98 % sau 4τ. Một hệ bậc hai G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) có các cực s = −ζωₙ ± jω_d với ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Với 0 < ζ < 1, đáp ứng bước có độ vọt lố: độ vọt lố phần trăm %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, thời gian đỉnh t_p = π/ω_d, và thời gian xác lập 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). So sánh mẫu số với s² + 2ζωₙs + ωₙ² để suy ra ωₙ và ζ. Với hệ khối lượng–lò xo–giảm chấn ωₙ = √(k/m) và ζ = c/(2√(km)); với mạch RLC nối tiếp ωₙ = 1/√(LC) và ζ = (R/2)·√(C/L).

So sánh với dạng chuẩn

Mẫu số phải khớp với s² + 2ζωₙs + ωₙ².

ωₙ² = 84 → ωₙ = 9,165 rad/s

2ζωₙ = 7 → ζ = 7/(2·9,165) = 0,3819

Kết quả

ζ = 0,3819

Đáp số

ζ = 0,3819

34.Đáp ứng bước

Đáp số: t_s = 1 s

Hàm truyền vòng kín

T(s) = 85/(s² + 8s + 85): ωₙ = 9,22 rad/s, ζ = 0,4339

Thời gian xác lập

ζωₙ = 8/2 = 4

t_s ≈ 4/(ζωₙ) = 1 s

Đáp số

t_s = 1 s

Với vòng này ζωₙ = a/2 bất kể K bằng bao nhiêu: tăng K làm tăng độ vọt lố nhưng không rút ngắn thời gian xác lập.

35.Biểu đồ Bode và độ dự trữ

Đáp số: |G(jω)| = 16,16 dB

Đáp ứng tần số: thay s = jω vào hàm truyền. Độ lớn theo decibel là 20·log₁₀|H(jω)| và pha là tổng các góc của các nhân tử ở tử trừ đi các góc của các nhân tử ở mẫu. Một bộ lọc RC hoặc RL bậc nhất có tần số góc (−3 dB) tại ω_c = 1/(RC) hoặc R/L, và f_c = ω_c/(2π); bộ lọc thông thấp cho |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) và φ = −atan(ω/ω_c). Trong biểu đồ Bode tiệm cận (đường thẳng), mỗi cực bẻ độ lớn xuống 20 dB/decade tại tần số góc của nó, mỗi điểm không bẻ nó lên 20 dB/decade, và một bộ tích phân 1/s cho −20 dB/decade ở mọi tần số. Tần số cắt biên ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); độ dự trữ pha PM = 180° + ∠L(jω_c). Tần số cắt pha ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; độ dự trữ biên GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Vòng kín ổn định khi cả hai độ dự trữ đều dương.

Nhân các độ lớn

|G(j20)| = 3840/(√(20² + 12²)·√(20² + 16²)) = 3840/(23,32·25,61) = 6,428

Kết quả

20·log₁₀(6,428) = 16,16 dB

Đáp số

|G(jω)| = 16,16 dB

36.Biểu đồ Bode và độ dự trữ

Đáp số: GM = 2,995 dB

Tần số cắt pha

(ω/6)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(6·10) = 7,746 rad/s

Độ lớn tại tần số cắt pha

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 36)·√(ω² + 100)) = K/(6·10·(6 + 10)) = K/960

Độ dự trữ biên

GM = 20·log₁₀(960/680) = 2,995 dB

Đáp số

GM = 2,995 dB

37.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Đáp số: K_max = 1

Tiêu chuẩn Routh–Hurwitz: một hệ tuyến tính ổn định khi mọi nghiệm của đa thức đặc trưng của nó nằm ở nửa trái của mặt phẳng s. Viết các hệ số xen kẽ vào hai hàng đầu tiên của bảng Routh. Mỗi phần tử của một hàng mới đến từ hai hàng phía trên nó; với đa thức bậc ba a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ phần tử s¹ là b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Số lần đổi dấu trong cột đầu tiên bằng số nghiệm ở nửa mặt phẳng phải. Với độ lợi K trong các hệ số, mọi phần tử của cột đầu phải dương: độ lợi làm phần tử s¹ bằng không là giới hạn ổn định, và hàng s² khi đó cho tần số của dao động duy trì.

Đa thức đặc trưng

s(s + 1)(s + 2) + K(s + 9) = s³ + 3s² + (2 + K)s + 9K

Bảng Routh

s³: 1, 2 + K

s²: 3, 9K

s¹: (3·(2 + K) − 9K)/3

s⁰: 9K

Điều kiện

6 − 6K > 0

K < 6/6 = 1

Đáp số

K_max = 1

Với điểm không nằm bên phải s = −3, vòng sẽ ổn định với mọi K > 0.

38.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Đáp số: s_i = −13,66

Quỹ đạo nghiệm số: khi độ lợi K đi từ 0 đến ∞, các cực vòng kín, tức các nghiệm của 1 + K·G(s) = 0, di chuyển từ các cực vòng hở đến các điểm không vòng hở hoặc đến vô cực. Một điểm trên trục thực thuộc quỹ đạo khi số cực và điểm không thực ở bên phải nó là số lẻ. n − m nhánh đi đến vô cực theo các đường tiệm cận ở các góc (2q + 1)·180°/(n − m), xuất phát từ trọng tâm σₐ = (Σ cực − Σ điểm không)/(n − m). Các nhánh rời hoặc nhập vào trục thực tại nơi dK/ds = 0. Điều kiện góc ∠G(s) = 180° quyết định hình dạng, và điều kiện biên độ K = 1/|G(s)| cho độ lợi tại bất kỳ điểm nào của quỹ đạo.

Độ lợi dọc theo trục thực

K(s) = −(s² + 4s)/(s + 8)

Các điểm dừng

Lấy đạo hàm bằng quy tắc thương và đặt tử số bằng không.

(2s + 4)(s + 8) − (s² + 4s) = s² + 16s + 32 = 0

s = −8 ± √32 = −2,343, −13,66

Điểm nhập

s_i = −13,66

Đáp số

s_i = −13,66

Giữa hai điểm tách/nhập, quỹ đạo là một đường tròn tâm tại điểm không, với bán kính √32 = 5,657.

39.Sai số xác lập và điều khiển PID

Đáp số: K = 80

Sai số xác lập: trong một vòng phản hồi đơn vị với hàm truyền vòng hở G(s), sai số là E(s) = R(s)/(1 + G(s)), và theo định lý giá trị cuối e_ss = lim_s→0 s·E(s). Loại của hệ là số cực của G(s) tại s = 0. Các hằng số sai số là K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) và K_a = lim s²·G(s), đều với s → 0. Một bước nhảy có độ lớn A cho e_ss = A/(1 + K_p), một tín hiệu dốc A·t cho A/K_v và một parabol A·t²/2 cho A/K_a. Một vòng loại 0 bám theo bước nhảy với sai số hữu hạn, một vòng loại 1 bám theo nó chính xác và bám theo tín hiệu dốc với sai số hữu hạn.

Hằng số sai số yêu cầu

1/(1 + K_p) = 0,2 → K_p = 4

Độ khuếch đại

K/20 = 4 → K = 80

Đáp số

K = 80

Cũng hãy kiểm tra sự ổn định của vòng kín: với vòng bậc hai này mọi K > 0 đều ổn định.

40.Sai số xác lập và điều khiển PID

Đáp số: K = 19,53

Điều khiển P, PI và PID: bộ điều khiển C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s tác động lên sai số. Một độ lợi tỉ lệ làm vòng nhanh hơn và giảm sai số của đối tượng loại 0, nhưng không bao giờ loại bỏ nó. Thành phần tích phân thêm một cực tại s = 0: loại của hệ tăng thêm một, và một bước nhảy được bám theo không có sai số. Thành phần vi phân thêm sự cản. Để chọn các độ lợi, viết đa thức đặc trưng vòng kín và so sánh nó với s² + 2ζω_ns + ω_n². Khi đó %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d với ω_d = ω_n√(1 − ζ²), và t_s ≈ 4/(ζω_n).

Đa thức đặc trưng

s(s + 5) + 2K = s² + 5s + 2K

Tần số riêng

2·0,4·ωₙ = 5 → ωₙ = 6,25 rad/s

Độ khuếch đại

2K = ωₙ² = 39,06 → K = 19,53

Đáp số

K = 19,53

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. Kỳ thi FE exam do NCEES tổ chức; tổ chức này không liên kết với ExamProblems và không bảo trợ nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-electrical

Luyện thi FE Điện và Máy tính: gói ôn nước rút

1Công thức và phương pháp

Điện trở nối tiếp và song song

Phương pháp

Phương pháp điện thế nút

Phương pháp

Phương pháp dòng điện mạch vòng

Phương pháp

Nguyên lý xếp chồng

Phương pháp

Thévenin và Norton

Phương pháp

Quá độ RC và RL

Phương pháp

Tổng trở xoay chiều và phasor

Phương pháp

Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Công suất ba pha

Máy biến áp

Mạch khuếch đại thuật toán

Diode và transistor

Hệ đếm

Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Phương pháp

Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Phương pháp

Sai số xác lập và điều khiển PID

Phương pháp

2Bài tập

3Dung dịch

Gộp các điện trở từ đầu xa

Dòng điện từ nguồn

Dòng điện qua R₂

Đáp số

Gộp các điện trở từ đầu xa

Dòng điện từ nguồn

Dòng điện qua R₂

Đáp số

Thiết lập các nút

KCL tại nút A

KCL tại nút B

Giải

Đáp số

Thiết lập các nút

KCL tại nút A

KCL tại nút B

Giải

Đáp số

Gán các dòng điện mạch vòng

KVL quanh mạch vòng 1

KVL quanh mạch vòng 2

Giải

Đáp số

Gán các dòng điện mạch vòng

KVL quanh mạch vòng 1

KVL quanh mạch vòng 2

KVL quanh mạch vòng 3

Giải

Đáp số

Trường hợp 1 · chỉ V1 tác dụng

Trường hợp 2 · chỉ Is tác dụng

Cộng các phần đóng góp của dòng điện

Công suất trên điện trở

Đáp số

Trường hợp 1 · chỉ V1 tác dụng

Trường hợp 2 · chỉ Is tác dụng

Trường hợp 3 · chỉ V2 tác dụng

Cộng các thành phần

Tìm Rth khi tắt mọi nguồn

Tìm Rth khi tắt mọi nguồn

Tìm Vth, điện áp hở mạch

Mạch tương đương Norton

Mạch tương đương Thévenin nhìn từ tụ điện

Hằng số thời gian

Đường cong nạp

Đáp số

Giá trị đầu, giá trị cuối, hằng số thời gian

Dòng điện tại thời điểm đã cho

Đáp số

Điện kháng

Trường hợp 1 · chỉ V₁ tác dụng

Trường hợp 2 · chỉ I_s tác dụng

Trường hợp 1 · chỉ V₁ tác dụng

Trường hợp 2 · chỉ I_s tác dụng

Trường hợp 3 · chỉ V₂ tác dụng

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Tìm V_th, điện áp hở mạch