Luyện thi FE Điện và Máy tính: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 40 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Điện trở nối tiếp và song song

Điện trở nối tiếp: R_eq = R₁ + R₂ + …
Điện trở song song: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Hai điện trở song song: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Định luật Ohm: V = I·R
Công suất: P = V·I = I²R = V²/R

Phương pháp

Bắt đầu từ đầu của mạng xa các cực nhất.
Gộp các điện trở nối tiếp bằng cách cộng chúng, và các điện trở song song bằng 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Vẽ lại mạch sau mỗi bước.
Lặp lại cho đến khi chỉ còn một điện trở giữa hai cực.

Phương pháp điện thế nút

Định luật Kirchhoff về dòng điện: ΣI_in = ΣI_out
Dòng điện nhánh: I = (V_a − V_b)/R
Nút tham chiếu: V_ground = 0

Phương pháp

Chọn một nút tham chiếu (đất) và đặt tên cho các điện thế nút còn lại.
Viết định luật Kirchhoff về dòng tại mỗi nút chưa biết: dòng đi ra qua mỗi nhánh bằng dòng đi vào.
Biểu diễn mọi dòng nhánh dưới dạng (V_a − V_b)/R.
Giải hệ phương trình, rồi tìm bất kỳ dòng điện nào bạn cần.

Phương pháp dòng điện mạch vòng

Định luật Kirchhoff về điện áp: ΣV = 0 quanh mỗi vòng
Điện trở chung: dòng điện = I₁ − I₂
Nguồn dòng trong mạch vòng: xác định dòng điện của mạch vòng đó

Phương pháp

Vẽ một dòng điện theo chiều kim đồng hồ trong mỗi mạch vòng (ô) của mạch.
Áp dụng định luật Kirchhoff về điện áp quanh mỗi mạch vòng: tổng các sụt áp bằng không.
Trong điện trở chung của hai mạch vòng, dòng điện là hiệu của hai dòng mạch vòng.
Giải các phương trình; kết quả âm nghĩa là dòng điện chạy ngược lại.

Nguyên lý xếp chồng

Nguyên lý xếp chồng: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Nguồn điện áp đã tắt: ngắn mạch (0 V)
Nguồn dòng đã tắt: hở mạch (0 A)
Cầu chia áp: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Cầu chia dòng: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Phương pháp

Đếm các nguồn độc lập. Bạn sẽ giải một mạch đơn giản hơn cho mỗi nguồn.
Giữ một nguồn và tắt các nguồn còn lại: nguồn điện áp trở thành ngắn mạch (một sợi dây), nguồn dòng trở thành hở mạch (một khoảng hở).
Giải mạch đơn giản hơn để tìm điện áp hoặc dòng điện bạn cần, theo dõi chiều của nó.
Lặp lại cho mọi nguồn, rồi cộng các thành phần với dấu của chúng.

Thévenin và Norton

Điện áp Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Điện trở Thévenin: R_th: tắt mọi nguồn, nhìn từ a–b
Dòng Norton: I_N = V_th/R_th
Dòng điện qua tải: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Truyền công suất cực đại: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Phương pháp

Bỏ tải ra và đánh dấu hai cực a và b.
Tìm điện áp hở mạch giữa a và b: đây là V_th.
Tắt mọi nguồn độc lập và tìm điện trở nhìn từ a–b: đây là R_th.
Đặt lại tải vào mạch tương đương: V_th nối tiếp với R_th.
Với mạch tương đương Norton, hãy chuyển đổi: I_N = V_th/R_th, với R_N = R_th mắc song song.

Quá độ RC và RL

Hằng số thời gian: τ = RC | τ = L/R
Đáp ứng: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Tụ điện ở chế độ một chiều: hở mạch; v_C không thể nhảy vọt
Cuộn cảm ở chế độ một chiều: ngắn mạch; i_L không thể nhảy vọt
Đã ổn định: t ≈ 5τ

Phương pháp

Tìm giá trị ban đầu ngay sau khi đóng cắt: điện áp tụ điện và dòng điện cuộn cảm không thể nhảy vọt.
Tìm giá trị cuối rất lâu sau khi đóng cắt: tụ điện hoạt động như hở mạch, cuộn cảm như ngắn mạch.
Tìm hằng số thời gian: τ = RC hoặc τ = L/R, dùng điện trở mà tụ điện hoặc cuộn cảm nhìn thấy.
Dùng x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Tổng trở xoay chiều và phasor

Tổng trở: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Tần số góc: ω = 2πf
Độ lớn và góc: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Định luật Ohm dạng phasor: V = I·Z

Phương pháp

Đổi tần số: ω = 2πf.
Tìm từng điện kháng: X_L = ωL và X_C = 1/(ωC).
Cộng các tổng trở như điện trở, với Z = R + jX.
Tìm độ lớn |Z| = √(R² + X²) và góc φ = atan(X/R), rồi dùng định luật Ohm với phasor.

Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Công suất tác dụng: P = V·I·cos φ
Công suất phản kháng: Q = V·I·sin φ
Công suất biểu kiến: S = V·I = √(P² + Q²)
Hệ số công suất: pf = cos φ = P/S
Tụ điện bù: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Công suất ba pha

Nối sao (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Nối tam giác (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Tổng công suất tác dụng: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Công suất biểu kiến và phản kháng: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Tụ điện bù: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Điện áp trên mỗi tụ điện: Δ: V_L Y: V_L/√3
Công suất vào của động cơ: P_in = P_out/η

Máy biến áp

Tỉ số vòng dây: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Tỉ số dòng điện: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Dòng điện định mức: I = S/V
Tổng trở quy đổi: Z₁′ = a²·Z_L
Tổn hao đồng khi non tải: P_cu = x²·P_cu,fl
Hiệu suất: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Hiệu suất cực đại: x = √(P_core/P_cu,fl)

Mạch khuếch đại thuật toán

Bộ khuếch đại đảo: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Bộ khuếch đại không đảo: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Bộ khuếch đại cộng: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Op-amp lý tưởng: V₊ = V₋, I_in = 0

Diode và transistor

Diode (sụt áp không đổi): V_D = 0,7 V when conducting
Vùng tích cực: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Phân cực cố định: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Phân cực bằng cầu chia áp: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Thévenin của cầu chia áp: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Vòng cực thu: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Bão hòa: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Hệ đếm

Giá trị vị trí: nhị phân 2^k, bát phân 8^k, thập lục phân 16^k
Sang thập phân: Σ d_k·b^k
Từ thập phân: chia cho cơ số, đọc các số dư từ dưới lên
Thập lục phân ↔ nhị phân: một chữ số thập lục phân = 4 bit
Số bù hai: đảo các bit và cộng 1

Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Các cổng cơ bản: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Các quy tắc Boole: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Thứ tự của bìa Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Nhóm 2ᵏ ô: mất k biến
Bộ ghép kênh 4-sang-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Bộ đếm: n bit: 2ⁿ trạng thái; mod-N: n nhỏ nhất thỏa 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Bộ đếm gợn sóng: f_max = 1/(n·t_pd)
Bộ đếm vòng và Johnson: n và 2n trạng thái

Phương pháp

Với một mạch, hãy làm từ các đầu vào đến đầu ra từng cổng một và ghi giá trị trên mọi dây, hoặc viết biểu thức của nó rồi điền bảng chân trị.
Để rút gọn, hãy đặt các số 1 (và các điều kiện tùy định là X) vào một bìa Karnaugh với hàng và cột theo mã Gray: 00, 01, 11, 10.
Hãy phủ các số 1 bằng càng ít nhóm và càng lớn càng tốt gồm 1, 2, 4, 8 hoặc 16 ô, cuộn qua mép; mỗi nhóm là một số hạng tích gồm các biến không đổi. Hãy nhóm các số 0 cho dạng POS.
Với flip-flop và bộ đếm, hãy đọc các đầu vào tại mỗi sườn xung nhịp tích cực, ghi trạng thái sau mỗi sườn, và nhớ rằng bộ đếm n bit quay vòng sau 2ⁿ trạng thái.

Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Ổn định: mọi nghiệm của đa thức đặc trưng ở nửa mặt phẳng trái
bảng Routh, phần tử s¹ của đa thức bậc ba: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
Nghiệm ở nửa mặt phẳng phải: số lần đổi dấu trong cột đầu tiên
Đa thức bậc ba s³ + a₂s² + a₁s + a₀: ổn định khi mọi a > 0 và a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
Phương trình đặc trưng: 1 + K·G(s) = 0
Đường tiệm cận: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Điểm tách và điểm nhập: dK/ds = 0
Điều kiện biên độ: K = 1/|G(s)|
Góc xuất phát: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Phương pháp

Viết đa thức đặc trưng vòng kín: mẫu số của 1 + K·G(s) = 0, sau khi nhân ra.
Đặt các hệ số xen kẽ vào hai hàng đầu tiên của bảng Routh và lập các hàng còn lại.
Đếm số lần đổi dấu trong cột đầu tiên: mỗi lần là một cực ở nửa mặt phẳng phải. Khi K có trong bảng, hãy yêu cầu mọi phần tử của cột đầu tiên giữ dương.
Với quỹ đạo nghiệm, đánh dấu các cực và điểm không, các đoạn trên trục thực, các đường tiệm cận từ trọng tâm và các điểm tách/nhập nơi dK/ds = 0. Dùng K = 1/|G(s)| cho độ lợi tại một điểm.

Sai số xác lập và điều khiển PID

Loại của hệ: số cực của G(s) tại s = 0
Hằng số sai số: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
Bước nhảy A: e_ss = A/(1 + K_p)
Tín hiệu dốc A·t: e_ss = A/K_v
Parabol A·t²/2: e_ss = A/K_a
Bộ điều khiển PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
Mục tiêu bậc hai: s² + 2ζω_ns + ω_n²
Độ vượt quá và thời gian: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

Phương pháp

Đếm các cực của vòng hở C(s)·G(s) tại s = 0: đó là loại của hệ.
Tính hằng số sai số khớp với đầu vào: K_p cho bước nhảy, K_v cho tín hiệu dốc, K_a cho parabol.
Áp dụng e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v hay A/K_a, hoặc giải nó theo độ lợi bạn cần.
Với yêu cầu về độ cản hoặc tốc độ, viết đa thức đặc trưng vòng kín và so sánh nó với s² + 2ζω_n·s + ω_n².

2Bài tập

1.Điện trở nối tiếp và song songTrung bình

Tìm điện trở tương đương R_eq mà nguồn V₁ nhìn thấy.

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

2.Điện trở nối tiếp và song songKhó

Tìm điện trở tương đương R_eq mà nguồn V₁ nhìn thấy.

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

3.Phương pháp điện thế nútTrung bình

Dùng phương pháp điện thế nút để tìm dòng điện I_R1 chạy qua R₁ theo chiều mũi tên.

V₁ = 10 VI_s = 4 AR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.Phương pháp điện thế nútKhó

Hình thoi là nguồn dòng điều khiển bằng điện áp, đẩy dòng điện 0,05·V_A (tính bằng A, với V_A tính bằng V) lên vào nút B. Dùng phương pháp điện thế nút để tìm điện thế nút V_A (đo so với đất).

V₁ = 18 VR₁ = 30 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 20 Ωg = 0,05 A/V

V_A = V

5.Phương pháp dòng điện mạch vòngTrung bình

Dùng phương pháp dòng điện mạch vòng để tìm dòng điện mạch vòng I₁ (theo chiều kim đồng hồ).

V₁ = 30 VV₂ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 Ω

I₁ = A

6.Phương pháp dòng điện mạch vòngKhó

Dùng phương pháp dòng điện mạch vòng để tìm dòng điện I_R4 chạy qua R₄ theo chiều mũi tên.

V₁ = 9 VV₂ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 12 Ω

I_R4 = A

7.Nguyên lý xếp chồngTrung bình

Dùng nguyên lý chồng chất để tìm công suất P_R4 tiêu thụ bởi R₄.

V₁ = 12 VI_s = 1,5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 Ω

P_R4 = W

8.Nguyên lý xếp chồngKhó

Tìm giá trị của nguồn áp V₂ (cực tính như hình) để dòng điện I_R3 qua R₃ bằng không.

V₁ = 10 VI_s = 3 AR₁ = 30 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 25 Ω

V₂ = V

9.Thévenin và NortonTrung bình

Tìm điện trở Thévenin R_th nhìn từ cặp cực a–b.

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 Ω

R_th = Ω

10.Thévenin và NortonKhó

Tìm điện áp Thévenin V_th nhìn từ cặp cực a–b.

V₁ = 24 VI_s = 0,5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 10 Ω

V_th = V

11.Quá độ RC và RLTrung bình

Cuộn cảm mang dòng điện ổn định 2 A. Tại t = 0 công tắc đóng vòng qua R và nguồn bị gỡ bỏ, nên dòng điện cuộn cảm giảm dần qua R. Mất bao lâu để dòng điện giảm xuống 0,4 A? Tìm t.

i(0) = 2 AR = 15 ΩL = 150 mH

t = ms

12.Quá độ RC và RLKhó

Ngay trước khi khóa đóng tại t = 0, tụ điện giữ 2 V với cực tính như hình. Mất bao lâu để v_C đạt 7,6 V? Tìm t.

V_s = 10 VR = 10 kΩC = 33 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

13.Tổng trở xoay chiều và phasorTrung bình

Một mạch RLC nối tiếp được nối với nguồn 100 V (hiệu dụng), 200 Hz. Tìm hệ số công suất cos φ của mạch.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 100 µF

cos φ =

14.Tổng trở xoay chiều và phasorKhó

Một mạch RLC nối tiếp được kích bởi nguồn 1 V (hiệu dụng) có tần số đặt bằng tần số cộng hưởng của mạch. Tìm điện áp hiệu dụng V_L trên cuộn cảm.

V = 1 V (rms)R = 2 ΩL = 5 mHC = 2,2 µF

V_L = V

15.Công suất xoay chiều và hệ số công suấtTrung bình

Một động cơ một pha tiêu thụ 14 kW với hệ số công suất 0,9 trễ từ nguồn 230 V. Tìm dòng điện đường dây I.

P = 14 kWpf = 0,9V = 230 V

I = A

16.Công suất xoay chiều và hệ số công suấtKhó

Một máy biến áp một pha 200 kVA cấp cho một tải 96 kW với hệ số công suất 0,75 trễ pha. Có thể thêm bao nhiêu công suất thực ΔP dưới dạng tải điện trở (hệ số công suất bằng 1) trước khi máy biến áp đạt định mức kVA?

S_max = 200 kVAP₁ = 96 kWpf₁ = 0,75

ΔP = kW

17.Công suất ba phaTrung bình

Một tải ba pha cân bằng lấy dòng điện dây 120 A từ nguồn có điện áp dây 480 V. Hệ số công suất là 0,7 trễ. Tìm tổng công suất tác dụng P mà tải tiêu thụ, theo kW.

V_L = 480 VI_L = 120 Acos φ = 0,7

P = kW

18.Công suất ba phaKhó

Một tải ba pha cân bằng lấy 80 kW với hệ số công suất 0,72 trễ từ nguồn 400 V (điện áp dây), 60 Hz. Một bộ tụ điện ba pha mắc song song với tải phải nâng hệ số công suất tổng lên 0,92 trễ. Công suất tác dụng giữ nguyên. Các tụ điện được nối sao (Y). Tìm điện dung C_ph của mỗi tụ theo µF.

P = 80 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,92V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

19.Máy biến ápTrung bình

Một máy biến áp một pha 50 kVA, 11000/400 V làm việc ở tải định mức. Coi nó là lý tưởng. Tìm dòng điện I_HV trong cuộn cao áp.

S = 50 kVAV₁ = 11000 VV₂ = 400 V

I_HV = A

20.Máy biến ápKhó

Một máy biến áp một pha 200 kVA có tổn thất lõi 1000 W. Ở tải định mức và hệ số công suất 0,9 trễ, hiệu suất của nó là 96%. Tìm tổn thất đồng ở đầy tải P_cu,fl theo watt.

S = 200 kVAP_core = 1000 Wpf = 0,9η = 96%

P_cu,fl = W

21.Mạch khuếch đại thuật toánTrung bình

Op-amp là lý tưởng và chạy từ nguồn ±15 V; đầu ra của nó bão hòa ở ±12 V. Mạch khuếch đại không đảo được kích bằng sóng sin. Tìm biên độ đầu vào lớn nhất V_in,max (giá trị đỉnh) để đầu ra không bị cắt.

R₁ = 4,7 kΩR_f = 100 kΩV_sat = ±12 V

V_in,max = V

22.Mạch khuếch đại thuật toánKhó

Bộ khuếch đại cộng dùng op-amp lý tưởng với nguồn cấp ±15 V. Tìm điện áp ngõ ra V_out.

V₁ = 0,3 VV₂ = 1,8 VR₁ = 10 kΩR₂ = 4,7 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

23.Diode và transistorTrung bình

Một transistor NPN có β = 75 được phân cực bằng điện trở nền R_B = 390 kΩ từ nguồn V_CC = 12 V. Điện trở cực thu là R_C = 2,2 kΩ và cực phát được nối đất. Lấy V_BE = 0,7 V và giả sử transistor ở vùng tích cực. Tìm dòng điện cực thu I_C theo mA.

V_CC = 12 VR_B = 390 kΩR_C = 2,2 kΩβ = 75V_BE = 0,7 V

I_C = mA

24.Diode và transistorKhó

Một transistor NPN có β = 100 đóng cắt một điện trở tải 330 Ω nối giữa V_CC = 12 V và cực thu của nó. Cực phát được nối đất. Cực nền được điều khiển từ ngõ ra logic 3,3 V qua điện trở nền R_B. Lấy V_BE = 0,7 V và V_CE(sat) = 0,2 V. Để đóng cắt tin cậy, hãy thiết kế dòng điện cực nền gấp 10 lần mức tối thiểu cần cho bão hòa. Tìm R_B theo kΩ.

V_CC = 12 VR_C = 330 Ωβ = 100V_in = 3,3 VV_BE = 0,7 VV_CE(sat) = 0,2 Vquá kích = 10

R_B = kΩ

25.Hệ đếmTrung bình

Đặt các bit để lưu −53 theo bù hai 8 bit. Đọc như một số không dấu, giá trị U của mẫu là bao nhiêu?

N = −538 bit

U =

26.Hệ đếmKhó

Đặt các bit thành kết quả 8 bit của 0011 0000 << 2. Giá trị R của kết quả theo hệ thập phân là bao nhiêu?

0011 0000<< 2

R =

27.Logic số: cổng, bìa K và flip-flopTrung bình

Trong bìa Karnaugh này, đúng một số 1 không có số 1 kề, nên nó vẫn là một nhóm một ô (một minterm đầy đủ bốn literal) trong dạng SOP tối thiểu. Các ô kề qua mép bìa cũng được tính. Hãy nhấp vào ô đó.

F = Σm(0, 4, 5, 6, 7, 9, 14)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

28.Logic số: cổng, bìa K và flip-flopKhó

Với F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 4, 10) + d(3, 8, 14), trong đó d đánh dấu các điều kiện tùy định, hãy tìm số N các implicant nguyên tố cốt yếu.

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 4, 10) + d(3, 8, 14)

N =

29.Biến đổi LaplaceTrung bình

Tìm f(t) cho F(s) = (5s + 9)/(s² + 10s + 25) và tính f(0,1).

F(s) = (5s + 9)/(s² + 10s + 25)t = 0,1 s

f(0.1) =

30.Biến đổi LaplaceKhó

Một hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân y″ + 2y′ + 2y = 15u, với đầu vào u(t) và đầu ra y(t). Tìm hàm truyền G(s) = Y(s)/U(s) của nó (điều kiện ban đầu bằng không) và tính đáp ứng xung g(t) tại t = 0,1 s. Tìm g(0,1).

y″ + 2y′ + 2y = 15ut = 0,1 s

g(0.1) =

31.Sơ đồ khốiTrung bình

Đối tượng G(s) = 5/(s + 6) có một vòng hồi tiếp âm trong (phụ) với độ lợi H₁ = 5. Độ lợi bộ điều khiển K = 15 và một vòng hồi tiếp âm đơn vị ngoài khép kín hệ thống. Tìm cực vòng kín p.

G(s) = 5/(s + 6)H₁ = 5K = 15

p =

32.Sơ đồ khốiKhó

Một bộ điều khiển tỷ lệ K điều khiển đối tượng G(s) = 9/(s + 4) trong vòng hồi tiếp âm đơn vị. Một bậc thang nhiễu có độ lớn 10 đi vào đầu vào của đối tượng khi R = 0. Tìm độ lợi nhỏ nhất K để đầu ra xác lập không vượt quá 0,225.

G(s) = 9/(s + 4)D = 10c_ss ≤ 0,225

K =

33.Đáp ứng bướcTrung bình

Một hệ có hàm truyền G(s) = 108/(s² + 4s + 36) và nhận tín hiệu vào là bước nhảy đơn vị. Các cực là s = σ ± jω_d. Tìm phần thực σ.

G(s) = 108/(s² + 4s + 36)

σ =

34.Đáp ứng bướcKhó

Một mạch RLC nối tiếp với R = 27 Ω, L = 200 mH và C = 100 µF được nối với nguồn bước nhảy 10 V tại t = 0. Tụ điện chưa tích điện và không có dòng điện chạy trước bước nhảy. Tìm điện áp đỉnh của tụ điện v_C,max.

R = 27 ΩL = 200 mHC = 100 µFV = 10 V

v_C,max = V

35.Biểu đồ Bode và độ dự trữTrung bình

bộ lọc thông thấp RC trong hình có R = 47 kΩ, C = 2,2 nF. Một tín hiệu vào hình sin 4,6 kHz được đặt vào. Tìm độ khuếch đại |H| = |v_out/v_in| theo dB.

R = 47 kΩC = 2,2 nFf = 4,6 kHz

|H| = dB

36.Biểu đồ Bode và độ dự trữKhó

Một vòng hồi tiếp đơn vị có hàm truyền vòng hở L(s) = 36/(s(s + 2)(s + 9)). Tìm tần số cắt pha ω₁₈₀, tại đó ∠L(jω) = −180°.

L(s) = 36/(s(s + 2)(s + 9))

ω₁₈₀ = rad/s

37.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệmTrung bình

Vòng trong sơ đồ dùng phản hồi dương, với L(s) = 5/(s(s + 5)(s + 6)). Có bao nhiêu cực vòng kín N nằm ở nửa mặt phẳng phải?

L(s) = 5/(s(s + 5)(s + 6))

N =

38.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệmKhó

Một vòng phản hồi đơn vị có L(s) = K(s + 5)/(s(s + 2)(s + 1)(s + 10)). Tìm điểm σ_a nơi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm cắt trục thực.

L(s) = K(s + 5)/(s(s + 2)(s + 1)(s + 10))

σ_a =

39.Sai số xác lập và điều khiển PIDTrung bình

Một vòng phản hồi đơn vị có G(s) = K/((s + 2)(s + 4)). Tìm độ lợi K cho sai số xác lập 25 % với đầu vào bước nhảy.

G(s) = K/((s + 2)(s + 4))e_ss = 25 %

K =

40.Sai số xác lập và điều khiển PIDKhó

Một bộ điều khiển PD C(s) = 4 + K_d·s điều khiển đối tượng G(s) = 5/(s(s + 3)) trong một vòng phản hồi đơn vị. Tìm độ lợi vi phân K_d cho vòng kín có tỷ số cản ζ = 0,9.

G(s) = 5/(s(s + 3))K_p = 4ζ = 0,9

K_d = s

3Dung dịch

1.Điện trở nối tiếp và song song

Đáp số: R_eq = 5 Ω

Điện trở nối tiếp và song song: khi nối tiếp, cùng một dòng điện chạy qua mỗi điện trở và R = R₁ + R₂ + …. Khi song song, mỗi điện trở có cùng điện áp và 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Mạch hình thang được rút gọn từng cặp một cho đến khi còn một điện trở tương đương duy nhất.

Gộp các điện trở từ đầu xa

Bắt đầu từ đầu xa nguồn nhất và làm ngược về phía nguồn. Các điện trở có cùng dòng điện thì mắc nối tiếp; các điện trở nối giữa cùng hai nút thì mắc song song.

R₃ + R₄ = 4 + 2 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 6·6/(6+6) = 3 Ω

R_eq = R₁ + 3 = 2 + 3 = 5 Ω

Đáp số

R_eq = 5 Ω

2.Điện trở nối tiếp và song song

Đáp số: R_eq = 7,01 Ω

Gộp các điện trở từ đầu xa

R₅ + R₆ = 30 + 4 = 34 Ω

R₄ ∥ 34 = 10,41 Ω

R₃ + 10,41 = 13,41 Ω

R₂ ∥ 13,41 = 5,01 Ω

R_eq = R₁ + 5,01 = 2 + 5,01 = 7,01 Ω

Đáp số

R_eq = 7,01 Ω

3.Phương pháp điện thế nút

Đáp số: I_R1 = 1,154 A

Phương pháp điện thế nút: chọn một nút tham chiếu, đặt tên các điện thế nút chưa biết, viết định luật dòng Kirchhoff tại mỗi nút chưa biết bằng định luật Ohm (I = ΔV/R), rồi giải hệ phương trình thu được.

Thiết lập các nút

Đất là dây dưới cùng. Các điện thế nút đã biết lấy thẳng từ các nguồn (V₁ = 10 V). Ẩn số: V_A, V_B.

KCL tại nút A

Dòng điện đi ra khỏi A qua các điện trở bằng dòng điện các nguồn đẩy vào A.

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/2 + (V_A − 10)/10 + (V_A − V_B)/10 = 0

0,7·V_A − 0,1·V_B = 1

KCL tại nút B

Dòng điện đi ra khỏi B qua các điện trở bằng dòng điện các nguồn đẩy vào B.

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/10 + (V_B − V_A)/10 = (−4)

−0,1·V_A + 0,2·V_B = −4

Giải

Δ = (0,7)(0,2) − (−0,1)(−0,1) = 0,13

V_A = Δ₁/Δ = −0,2/0,13 = −1,538 V

V_B = Δ₂/Δ = −2,7/0,13 = −20,77 V

Đáp số

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (10 − −1,538)/10 = 1,154 A

4.Phương pháp điện thế nút

Đáp số: V_A = 1,636 V

KCL tại nút A

Các dòng điện rời khỏi A qua các điện trở bằng dòng điện do các nguồn đẩy vào A.

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

0,4·V_A − 0,03333·V_B = 0,6

KCL tại nút B

Nguồn phụ thuộc đẩy g·V_A vào nút B. Hãy coi nó như nguồn độc lập, rồi chuyển số hạng V_A sang vế trái.

(V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = 0,05·V_A

−0,08333·V_A + 0,08333·V_B = 0

Giải

Δ = (0,4)(0,08333) − (−0,03333)(−0,08333) = 0,03056

V_A = Δ₁/Δ = 0,05/0,03056 = 1,636 V

V_B = Δ₂/Δ = 0,05/0,03056 = 1,636 V

Đáp số

V_A = 1,636 V

5.Phương pháp dòng điện mạch vòng

Đáp số: I₁ = 0,4687 A

Phương pháp dòng điện mạch vòng: gán cho mỗi ô của mạch phẳng một dòng điện vòng riêng, viết định luật điện áp Kirchhoff quanh mỗi vòng (tổng sụt áp = tổng điện áp tăng), rồi giải. Dòng nhánh là dòng mạch vòng, hoặc hiệu của hai dòng mạch vòng trên nhánh chung.

Gán các dòng điện mạch vòng

Vẽ một dòng điện theo chiều kim đồng hồ trong mỗi ô: I₁, I₂. Điện trở chung của hai mạch vòng có dòng bằng hiệu của hai dòng mạch vòng.

KVL quanh mạch vòng 1

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 30

24·I₁ − 20·I₂ = 30

KVL quanh mạch vòng 2

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

2·I₂ + 20(I₂ − I₁) = (−30)

−20·I₁ + 22·I₂ = −30

Giải

Δ = (24)(22) − (−20)(−20) = 128

I₁ = Δ₁/Δ = 60/128 = 0,4688 A

I₂ = Δ₂/Δ = −120/128 = −0,9375 A

Đáp số

I₁ = 0,4687 A

Dòng điện mạch vòng âm chạy ngược chiều kim đồng hồ.

6.Phương pháp dòng điện mạch vòng

Đáp số: I_R4 = 0,2175 A

Gán các dòng điện mạch vòng

Vẽ một dòng điện theo chiều kim đồng hồ trong mỗi ô: I₁, I₂, I₃. Điện trở chung của hai mạch vòng có dòng bằng hiệu của hai dòng mạch vòng.

KVL quanh mạch vòng 1

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 25(I₁ − I₂) = 9

45·I₁ − 25·I₂ = 9

KVL quanh mạch vòng 2

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

2·I₂ + 25(I₂ − I₁) + 12(I₂ − I₃) = 0

−25·I₁ + 39·I₂ − 12·I₃ = 0

KVL quanh mạch vòng 3

Đi theo chiều kim đồng hồ, tổng sụt áp trên các điện trở bằng tổng điện áp nguồn tăng (từ − sang + theo chiều đi).

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

25·I₃ + 12(I₃ − I₂) = (−18)

−12·I₂ + 37·I₃ = −18

Giải

Δ = định thức của ma trận hệ số = 35330

I₁ = Δ₁/Δ = 6291/35330 = 0,1781 A

I₂ = Δ₂/Δ = −1395/35330 = −0,03948 A

I₃ = Δ₃/Δ = −17640/35330 = −0,4993 A

Đáp số

I_R4 = I₁ − I₂ = 0,2175 A

Dòng điện mạch vòng âm chạy ngược chiều kim đồng hồ.

7.Nguyên lý xếp chồng

Đáp số: P_R4 = 10,2 W

Nguyên lý xếp chồng: trong mạch tuyến tính, mọi điện áp hoặc dòng điện đều bằng tổng các đáp ứng do từng nguồn độc lập tác dụng riêng. Để tắt một nguồn, thay nguồn điện áp lý tưởng bằng ngắn mạch và nguồn dòng lý tưởng bằng hở mạch. Các điện trở giữ nguyên vị trí.

Trường hợp 1 · chỉ V₁ tác dụng

Iₛ trở thành hở mạch, nên R₃ và R₄ tạo thành một nhánh nối tiếp từ A xuống đất, song song với R₂.

R₃+R₄ = 4+4 = 8 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 20·8/(20+8) = 5,714 Ω

V_A = 12·5,714/(12+5,714) = 3,871 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 3,871·4/8 = 1,935 V

I_R4′ = (V_B − 0)/R₄ = (1,935 − 0)/4 = 0,4839 A

Trường hợp 2 · chỉ I_s tác dụng

V₁ trở thành ngắn mạch, nên R₁ song song với R₂. Iₛ chia tại B giữa R₄ và đường đi qua R₃.

R₁ ∥ R₂ = 12·20/(12+20) = 7,5 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 4 ∥ 11,5 = 2,968 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1,5·2,968 = 4,452 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 4,452·7,5/11,5 = 2,903 V

I_R4″ = (V_B − 0)/R₄ = (4,452 − 0)/4 = 1,113 A

Cộng các phần đóng góp của dòng điện

I_R4 = I_R4′ + I_R4″ = 0,4839 + 1,113 = 1,597 A

Công suất trên điện trở

Công suất phụ thuộc vào bình phương dòng điện, nên không tuân theo nguyên lý chồng chất: hãy cộng các dòng điện trước, rồi bình phương.

P_R4 = I_R4²·R₄ = 1,597²·4 = 10,2 W

Đáp số

P_R4 = 10,2 W

Cộng công suất của các trường hợp riêng lẻ sẽ cho 5,891 W, là sai.

8.Nguyên lý xếp chồng

Đáp số: V₂ = 56,67 V

Trường hợp 1 · V₁ tác dụng riêng

V₂ trở thành ngắn mạch và Iₛ trở thành hở mạch. Nhìn từ A, R₃ song song với cặp nối tiếp R₂+R₄.

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 4 ∥ 55 = 3,729 Ω

V_A = 10·3,729/(30+3,729) = 1,106 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 1,106·25/55 = 0,5025 V

Trường hợp 2 · I_s tác dụng riêng

Cả hai nguồn điện áp trở thành ngắn mạch. Iₛ chia tại B giữa R₄ (giờ nối xuống đất) và R₂ nối tiếp với R₁ ∥ R₃. Mũi tên của Iₛ hướng xuống, ra xa khỏi nút của nó, nên Iₛ lấy dòng điện ra khỏi nút đó: số hạng của nó có dấu trừ.

R₁ ∥ R₃ = 3,529 Ω, nên nhánh bên trái là R₂+3,529 = 33,53 Ω

R_eq = R₄ ∥ 33,53 = 14,32 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −3·14,32 = −42,96 V

V_A = V_B·3,529/33,53 = −4,523 V

Trường hợp 3 · V₂ tác dụng riêng, trên mỗi vôn

V₁ trở thành ngắn mạch và Iₛ trở thành hở mạch. R₁ ∥ R₃ treo từ A, nối tiếp với R₂ về B.

R₁ ∥ R₃ = 3,529 Ω

V_A‴ = V₂·3,529/(25 + 30 + 3,529) = 0,0603·V₂

Cho V_A bằng không

Với V_A = 0, không có điện áp trên R₃, nên dòng điện qua nó bằng không.

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 1,106 + (−4,523) + 0,0603·V₂ = 0

V₂ = 3,417/0,0603 = 56,67 V

Đáp số

V₂ = 56,67 V

9.Thévenin và Norton

Đáp số: R_th = 7,6 Ω

Định lý Thévenin: mọi mạng tuyến tính hai cực đều hoạt động như một nguồn điện áp V_th duy nhất nối tiếp với điện trở R_th. Định lý Norton cho cùng mạng đó dưới dạng nguồn dòng I_N = V_th/R_th song song với R_th.

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Thay nguồn điện áp bằng ngắn mạch và nguồn dòng bằng hở mạch, rồi nhìn vào mạch từ a–b.

R₁ ∥ R₂ = 2·8/(2+8) = 1,6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,6 + 6 = 7,6 Ω

10.Thévenin và Norton

Đáp số: V_th = 5,313 V

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Thay nguồn điện áp bằng ngắn mạch và nguồn dòng bằng hở mạch, rồi nhìn vào mạch từ a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·25/(15+25) = 9,375 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 9,375 + 10 = 19,38 Ω

Tìm V_th, điện áp hở mạch

Khi a–b hở, đường duy nhất cho Iₛ là qua R₃ vào nút A. Tìm V_A bằng xếp chồng V₁ và Iₛ, rồi cộng thêm độ sụt áp trên R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 15 + (−0,5)·9,375 = 10,31 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 10,31 + (−0,5)·10 = 5,313 V

11.Quá độ RC và RL

Đáp số: t = 16,09 ms

Quá độ bậc nhất: trong mạch có một tụ điện hoặc một cuộn cảm, mọi điện áp và dòng điện biến thiên theo hàm mũ từ giá trị ban đầu đến giá trị cuối: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, với τ = RC hoặc τ = L/R. Sau khoảng 5τ mạch đã ổn định.

Hằng số thời gian

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

Giải tìm thời gian

0,4 = 2·e^−t/τ → t = τ·ln(2/0,4)

t = 10·ln(5) = 16,09 ms

Đáp số

t = 16,09 ms

12.Quá độ RC và RL

Đáp số: t = 397,3 ms

Giá trị đầu, giá trị cuối, hằng số thời gian

Điện áp tụ điện không thể nhảy vọt, nên nó bắt đầu từ giá trị đã tích và hướng tới điện áp nguồn.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 10 kΩ · 33 µF = 330 ms

v_C(t) = 10 + (2 − 10)·e^−t/τ

Giải tìm thời gian

7,6 = 10 + (−8)·e^−t/τ → e^−t/τ = (7,6 − 10)/(2 − 10) = 0,3

t = τ·ln((2 − 10)/(7,6 − 10)) = 330·ln(3,333) = 397,3 ms

Đáp số

t = 397,3 ms

13.Tổng trở xoay chiều và phasor

Đáp số: cos φ = 0,7379

Mạch xoay chiều với phasor: điện trở, cuộn cảm và tụ điện có tổng trở lần lượt là R, jωL và 1/(jωC), với ω = 2πf. Khi nối tiếp, các tổng trở cộng như điện trở, nhưng là số phức. Dòng điện và điện áp hiệu dụng tuân theo định luật Ohm với |Z|.

Điện kháng

X_L = 62,83 Ω, X_C = 7,958 Ω

Tổng trở

|Z| = √(60² + (54,87)²) = 81,31 Ω

Hệ số công suất

cos φ = R/|Z| = 60/81,31 = 0,7379

Mạch có tính cảm kháng, nên hệ số công suất trễ pha.

Đáp số

cos φ = 0,7379

14.Tổng trở xoay chiều và phasor

Đáp số: V_L = 23,84 V

Cộng hưởng

Tại cộng hưởng các điện kháng triệt tiêu, nên trở kháng chỉ là R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·2,2·10⁻⁶) = 9535 rad/s

I = V/R = 1/2 = 0,5 A

Điện áp trên cuộn cảm

X_L = ω₀L = 9535·0,005 = 47,67 Ω

V_L = I·X_L = 0,5·47,67 = 23,84 V

Đáp số

V_L = 23,84 V

Đây là Q = 23,84 lần điện áp nguồn.

15.Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Đáp số: I = 67,63 A

Công suất xoay chiều: công suất biểu kiến S = V·I (VA) tách thành công suất tác dụng P = S·cos φ (W), thực hiện công có ích, và công suất phản kháng Q = S·sin φ (var), dao động qua lại giữa nguồn và tải. Hệ số công suất là cos φ. Một tụ điện mắc song song cung cấp công suất phản kháng tại chỗ, nên dòng điện trên đường dây giảm với cùng công suất tác dụng.

Dòng điện đường dây

Chỉ phần công suất tác dụng sinh công, nên hãy chia cho hệ số công suất.

I = P/(V·cos φ) = 14000/(230·0,9) = 67,63 A

Đáp số

I = 67,63 A

16.Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Đáp số: ΔP = 85,2 kW

Công suất phản kháng của tải hiện có

Q₁ = 96·tan(arccos 0,75) = 84,66 kvar

Tổng công suất thực lớn nhất

Ở định mức đầy đủ S = S_max, và Q không đổi do tải điện trở.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 84,66²) = 181,2 kW

Công suất thực thêm vào

ΔP = 181,2 − 96 = 85,2 kW

Đáp số

ΔP = 85,2 kW

17.Công suất ba pha

Đáp số: P = 69,84 kW

Công suất biểu kiến

S = √3·V_L·I_L = √3·480·120 = 99,77 kVA

Công suất tác dụng

P = S·cos φ = 99,77·0,7 = 69,84 kW

Đáp số

P = 69,84 kW

18.Công suất ba pha

Đáp số: C_ph = 713,4 µF

Hệ ba pha cân bằng: trong nối sao (Y), điện áp dây bằng √3 lần điện áp pha, V_L = √3·V_ph, và dòng điện dây bằng dòng điện pha. Trong nối tam giác (Δ), điện áp dây bằng điện áp pha và dòng điện dây bằng √3 lần dòng điện pha, I_L = √3·I_ph. Tổng công suất bằng ba lần công suất của một pha: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Bù hệ số công suất: tụ điện cung cấp công suất phản kháng tại chỗ, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Mỗi tụ trong ba tụ cung cấp Q_C/3 = V²·ω·C, trong đó V là điện áp trên tụ đó: V_L trong bộ nối tam giác (Δ), V_L/√3 trong bộ nối sao (Y).

Công suất phản kháng trước và sau

Công suất tác dụng không đổi, nên mỗi hệ số công suất xác định công suất phản kháng: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,72) = 80·0,9639 = 77,11 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar

Công suất phản kháng từ các tụ điện

Q_C = Q₁ − Q₂ = 43,03 kvar

Điện dung mỗi pha

Trong bộ nối sao (Y), mỗi tụ được nối giữa một dây pha và điểm sao.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 14343/(377·230,9²) = 713,4 µF

Đáp số

C_ph = 713,4 µF

19.Máy biến áp

Đáp số: I_HV = 4,545 A

Máy biến áp lý tưởng: điện áp tỉ lệ với số vòng dây và dòng điện theo tỉ lệ nghịch: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a và I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, nên công suất vào bằng công suất ra, V₁·I₁ = V₂·I₂. Một tổng trở tải Z ở thứ cấp trông như a²·Z khi nhìn từ sơ cấp.

Dòng điện định mức

Cả hai cuộn dây mang cùng công suất biểu kiến.

I_HV = S/V = 50000/11000 = 4,545 A

Đáp số

I_HV = 4,545 A

20.Máy biến áp

Đáp số: P_cu,fl = 6500 W

Tổn thất của máy biến áp: tổn thất lõi (từ trễ và dòng điện xoáy) phụ thuộc vào điện áp và như nhau ở mọi tải. Tổn thất đồng ở các cuộn dây tỉ lệ với bình phương dòng điện, nên ở một phần x của tải định mức nó là x²·P_cu,fl. Hiệu suất η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), với P_out = x·S·pf. Hiệu suất cao nhất ở tải mà tổn thất đồng bằng tổn thất lõi.

Công suất ra và công suất vào

P_out = 200·0,9 = 180 kW

P_in = 180000/0,96 = 187500 W

Tổng tổn thất và tổn thất đồng

P_loss = 187500 − 180000 = 7500 W

P_cu,fl = 7500 − 1000 = 6500 W

Đáp số

P_cu,fl = 6500 W

21.Mạch khuếch đại thuật toán

Đáp số: V_in,max = 0,5387 V

Quy tắc của op-amp lý tưởng: với hồi tiếp âm, op-amp điều khiển ngõ ra sao cho hai ngõ vào ở cùng điện áp (V₋ = V₊), và không có dòng điện chạy vào cả hai ngõ vào. Viết KCL tại ngõ vào đảo với hai sự kiện này sẽ cho ra ngõ ra.

Độ khuếch đại

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 100/4,7 = 22,28

Đầu vào lớn nhất trước khi bị cắt

V_in,max = V_sat/|A_v| = 12/22,28 = 0,5387 V

Đáp số

V_in,max = 0,5387 V

22.Mạch khuếch đại thuật toán

Đáp số: V_out = −0,826 V

Dòng điện ngõ vào

V₋ = 0, nên mỗi điện trở ngõ vào chịu toàn bộ điện áp ngõ vào của nó.

I₁ = V₁/R₁ = 0,3/10 = 0,03 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1,8/4,7 = 0,383 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,413 mA

Điện áp ngõ ra

V_out = −R_f·I_f = −2·0,413 = −0,826 V

Đáp số

V_out = −0,826 V

23.Diode và transistor

Đáp số: I_C = 2,173 mA

Điểm phân cực của BJT: trong vùng tích cực V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B và I_E = (β + 1)·I_B. Tìm I_B từ vòng cực nền bằng KVL, rồi I_C, rồi V_CE từ vòng cực thu–cực phát. Cầu chia áp ở cực nền được thay bằng mạch tương đương Thévenin V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; điện trở cực phát xuất hiện lớn gấp (β + 1) lần trong vòng cực nền.

Dòng điện cực nền

I_B = (V_CC − V_BE)/R_B = (12 − 0,7)/390 kΩ = 28,97 µA

Dòng điện cực thu

I_C = β·I_B = 75·28,97 µA = 2,173 mA

Đáp số

I_C = 2,173 mA

Kiểm tra: V_CE = 7,219 V cao hơn hẳn 0,2 V, nên transistor đúng là ở vùng tích cực.

24.Diode và transistor

Đáp số: R_B = 0,7271 kΩ

BJT làm khóa: để bật hoàn toàn một tải, transistor được đưa vào bão hòa, nơi V_CE = V_CE(sat) và dòng điện cực thu do tải quyết định: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C. Bão hòa cần dòng cực nền ít nhất I_B = I_C(sat)/β. Nếu dòng điện cực nền nhỏ hơn, transistor ở lại vùng tích cực và I_C = β·I_B.

Dòng điện cực thu khi bão hòa

I_C(sat) = (12 − 0,2)/330 = 35,76 mA

Dòng điện cực nền tối thiểu

I_B(min) = I_C(sat)/β = 35,76/100 = 357,6 µA

Dòng điện cực nền thiết kế

I_B = 10·357,6 µA = 3576 µA

Điện trở nền

R_B = (3,3 − 0,7)/I_B = 2,6 V/3,576 mA = 0,7271 kΩ

Đáp số

R_B = 0,7271 kΩ

25.Hệ đếm

Đáp số: U = 203

Đặt các bit: mỗi bit có giá trị bằng một lũy thừa của hai (128, 64, …, 1). Một chữ số hex đúng bằng bốn bit, và trong bù hai 8 bit, bit ngoài cùng bên trái có giá trị −128. Các phép toán theo bit làm việc trên từng vị trí bit riêng biệt.

Đảo bit và cộng một

53 = 0011 0101

đã đảo: 1100 1010

+1 → 1100 1011

Đọc như số không dấu

1100 1011₂ = 256 − 53 = 203

Đáp số

U = 203

26.Hệ đếm

Đáp số: R = 192

Từng bit một

Dịch trái 2 vị trí di chuyển mọi bit 2 vị trí sang trái; các bit rơi ra khỏi đầu bên trái bị mất và các số không đi vào ở bên phải.

0011 0000 << 2

= 1100 0000

Giá trị của kết quả

1100 0000₂ = 192

Đáp số

R = 192

27.Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Đáp số: AB = 10, CD = 01

Bìa Karnaugh: các ô được sắp xếp theo mã Gray (00, 01, 11, 10), nên các ô kề nhau, kể cả những ô qua mép, khác nhau đúng một biến. Hãy nhóm các số 1 thành hình chữ nhật gồm 1, 2, 4, 8 hoặc 16 ô, lớn nhất có thể và ít nhóm nhất có thể, cho đến khi mọi số 1 đều được phủ. Mỗi nhóm là một số hạng tích: các biến không đổi bên trong nó. Một nhóm 2ᵏ ô mất k biến. Các điều kiện tùy định (X) có thể dùng để làm nhóm lớn hơn nhưng không bắt buộc phải được phủ. Nhóm các số 0 thay vào đó sẽ cho dạng POS tối thiểu.

Các ô kề của mỗi số 1

Một số 1 có số 1 kề có thể thuộc một nhóm hai ô hoặc lớn hơn.

m9: m8, m11, m13, m1 → 0

Số 1 cô lập

m9 = AB′C′D → AB = 10, CD = 01

Đáp số

AB = 10, CD = 01

28.Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Đáp số: N = 1

Các implicant nguyên tố

Các nhóm lớn nhất có thể tạo từ các số 1 và các X.

B′C′D′, A′C′D′, ACD′, A′B′D, AB′D′, A′B′C′

Các implicant nguyên tố cốt yếu

A′C′D′

N = 1

Đáp số

N = 1

29.Biến đổi Laplace

Đáp số: f(0.1) = 2,062

Biến đổi Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt biến đạo hàm thành phép nhân với s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Các cặp chuẩn: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), và phép dịch s → s + σ nhân hàm theo thời gian với e^−σt. Để biến đổi ngược một F(s) hữu tỉ, hãy tách thành các phân thức riêng: thặng dư của cực đơn p là A = [(s − p)·F(s)] tại s = p. Định lý giá trị cuối: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), chỉ đúng khi mọi cực của s·F(s) nằm trong nửa mặt phẳng trái. Định lý giá trị đầu: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Phân tích mẫu số thành nhân tử

s² + 10s + 25 = (s + 5)²

Phân thức riêng

5s + 9 = 5(s + 5) + −16

F(s) = 5/(s + 5) − 16/(s + 5)²

Biến đổi ngược

f(t) = 5·e^−5t − 16·t·e^−5t

f(0,1) = (5 − 16·0,1)·e^−5·0,1 = 2,062

Đáp số

f(0,1) = 2,062

30.Biến đổi Laplace

Đáp số: g(0.1) = 1,355

Hàm truyền

G(s) = Y(s)/U(s) = 15/(s² + 2s + 2)

Phân thức riêng

s² + 2s + 2 = (s + 1)² + 1²

G(s) = (15/1)·1/((s + 1)² + 1²)

Đáp ứng xung

g(t) = e^−t·(15·sin 1t)

g(0,1) = 1,355

Đáp số

g(0,1) = 1,355

31.Sơ đồ khối

Đáp số: p = −106

Đại số sơ đồ khối: các khối nối tiếp thì nhân (G₁·G₂), các khối song song thì cộng (G₁ + G₂), và một vòng có đường thuận G và đường hồi tiếp H rút gọn thành T = G/(1 + G·H) với hồi tiếp âm và G/(1 − G·H) với hồi tiếp dương. Rút gọn các vòng bên trong trước, rồi làm dần ra ngoài. Các cực vòng kín là nghiệm của phương trình đặc trưng 1 + G(s)H(s) = 0. Với vòng ổn định, đầu vào bậc thang có độ lớn A cho đầu ra xác lập A·T(0); với hồi tiếp đơn vị, sai số xác lập đối với bậc thang là A/(1 + K_p) với K_p = G(0).

Vòng trong

Gᵢ = G/(1 + G·H₁) = 5/(s + 6 + 5·5) = 5/(s + 31)

Vòng ngoài

T(s) = K·Gᵢ/(1 + K·Gᵢ) = 75/(s + 31 + 75) = 75/(s + 106)

Kết quả

p = −106

Đáp số

p = −106

32.Sơ đồ khối

Đáp số: K = 44

Đáp ứng nhiễu

c_ss = D·G(0)/(1 + K·G(0)) = 10·9/(4 + 9K)

Giải tìm K

4 + 9K = 10·9/0,225 = 400

K = (400 − 4)/9 = 44

Đáp số

K = 44

33.Đáp ứng bước

Đáp số: σ = −2

Đáp ứng bước: một hệ bậc nhất G(s) = K/(τs + 1) đáp ứng với một bước nhảy có biên độ U là y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): nó đạt 63,2 % giá trị cuối K·U sau một hằng số thời gian τ và 98 % sau 4τ. Một hệ bậc hai G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) có các cực s = −ζωₙ ± jω_d với ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Với 0 < ζ < 1, đáp ứng bước có độ vọt lố: độ vọt lố phần trăm %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, thời gian đỉnh t_p = π/ω_d, và thời gian xác lập 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). So sánh mẫu số với s² + 2ζωₙs + ωₙ² để suy ra ωₙ và ζ. Với hệ khối lượng–lò xo–giảm chấn ωₙ = √(k/m) và ζ = c/(2√(km)); với mạch RLC nối tiếp ωₙ = 1/√(LC) và ζ = (R/2)·√(C/L).

So sánh với dạng chuẩn

Mẫu số phải khớp với s² + 2ζωₙs + ωₙ².

ωₙ² = 36 → ωₙ = 6 rad/s

2ζωₙ = 4 → ζ = 4/(2·6) = 0,3333

Kết quả

σ = −ζωₙ = −4/2 = −2

Đáp số

σ = −2

34.Đáp ứng bước

Đáp số: v_C,max = 13,7 V

Tần số riêng và hệ số tắt dần

ωₙ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·1 × 10⁻⁴) = 223,6 rad/s

ζ = (R/2)·√(C/L) = (27/2)·√(1 × 10⁻⁴/0,2) = 0,3019

Kết quả

%OS = 36,98 %

v_C,max = 10·(1 + 0,3698) = 13,7 V

Đáp số

v_C,max = 13,7 V

35.Biểu đồ Bode và độ dự trữ

Đáp số: |H| = −9,97 dB

Đáp ứng tần số: thay s = jω vào hàm truyền. Độ lớn theo decibel là 20·log₁₀|H(jω)| và pha là tổng các góc của các nhân tử ở tử trừ đi các góc của các nhân tử ở mẫu. Một bộ lọc RC hoặc RL bậc nhất có tần số góc (−3 dB) tại ω_c = 1/(RC) hoặc R/L, và f_c = ω_c/(2π); bộ lọc thông thấp cho |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) và φ = −atan(ω/ω_c). Trong biểu đồ Bode tiệm cận (đường thẳng), mỗi cực bẻ độ lớn xuống 20 dB/decade tại tần số góc của nó, mỗi điểm không bẻ nó lên 20 dB/decade, và một bộ tích phân 1/s cho −20 dB/decade ở mọi tần số. Tần số cắt biên ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); độ dự trữ pha PM = 180° + ∠L(jω_c). Tần số cắt pha ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; độ dự trữ biên GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Vòng kín ổn định khi cả hai độ dự trữ đều dương.

Tần số góc

ω_c = 1/(RC) = 1/(47000·2,2 × 10⁻⁹) = 9671 rad/s

f_c = 1539 Hz → f/f_c = 4600/1539 = 2,989

Độ khuếch đại

|H| = 1/√(1 + 2,989²) = 0,3173

20·log₁₀(0,3173) = −9,97 dB

Đáp số

|H| = −9,97 dB

36.Biểu đồ Bode và độ dự trữ

Đáp số: ω₁₈₀ = 4,243 rad/s

Tần số cắt pha

(ω/2)·(ω/9) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·9) = 4,243 rad/s

Đáp số

ω₁₈₀ = 4,243 rad/s

37.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Đáp số: N = 1

Tiêu chuẩn Routh–Hurwitz: một hệ tuyến tính ổn định khi mọi nghiệm của đa thức đặc trưng của nó nằm ở nửa trái của mặt phẳng s. Viết các hệ số xen kẽ vào hai hàng đầu tiên của bảng Routh. Mỗi phần tử của một hàng mới đến từ hai hàng phía trên nó; với đa thức bậc ba a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ phần tử s¹ là b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Số lần đổi dấu trong cột đầu tiên bằng số nghiệm ở nửa mặt phẳng phải. Với độ lợi K trong các hệ số, mọi phần tử của cột đầu phải dương: độ lợi làm phần tử s¹ bằng không là giới hạn ổn định, và hàng s² khi đó cho tần số của dao động duy trì.

Đa thức đặc trưng

s³ + 11s² + 30s − 5 = 0

Bảng Routh

s³: 1, 30

s²: 11, −5

s¹: 30,45

s⁰: −5

Số lần đổi dấu trong cột đầu tiên

1 → 11 → 30,45 → −5

N = 1

Đáp số

N = 1

Phản hồi dương làm hệ số hằng âm: một cực thực luôn dịch chuyển vào nửa mặt phẳng phải.

38.Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Đáp số: σ_a = −2,667

Quỹ đạo nghiệm số: khi độ lợi K đi từ 0 đến ∞, các cực vòng kín, tức các nghiệm của 1 + K·G(s) = 0, di chuyển từ các cực vòng hở đến các điểm không vòng hở hoặc đến vô cực. Một điểm trên trục thực thuộc quỹ đạo khi số cực và điểm không thực ở bên phải nó là số lẻ. n − m nhánh đi đến vô cực theo các đường tiệm cận ở các góc (2q + 1)·180°/(n − m), xuất phát từ trọng tâm σₐ = (Σ cực − Σ điểm không)/(n − m). Các nhánh rời hoặc nhập vào trục thực tại nơi dK/ds = 0. Điều kiện góc ∠G(s) = 180° quyết định hình dạng, và điều kiện biên độ K = 1/|G(s)| cho độ lợi tại bất kỳ điểm nào của quỹ đạo.

Cực và điểm không

cực: 0, −2, −1, −10

bit không: −5

n − m = 4 − 1 = 3

Trọng tâm

σ_a = (−13 − (−5))/3 = −2,667

Đáp số

σ_a = −2,667

3 đường tiệm cận rời trọng tâm ở các góc 60°, 180°, 300°.

39.Sai số xác lập và điều khiển PID

Đáp số: K = 24

Sai số xác lập: trong một vòng phản hồi đơn vị với hàm truyền vòng hở G(s), sai số là E(s) = R(s)/(1 + G(s)), và theo định lý giá trị cuối e_ss = lim_s→0 s·E(s). Loại của hệ là số cực của G(s) tại s = 0. Các hằng số sai số là K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) và K_a = lim s²·G(s), đều với s → 0. Một bước nhảy có độ lớn A cho e_ss = A/(1 + K_p), một tín hiệu dốc A·t cho A/K_v và một parabol A·t²/2 cho A/K_a. Một vòng loại 0 bám theo bước nhảy với sai số hữu hạn, một vòng loại 1 bám theo nó chính xác và bám theo tín hiệu dốc với sai số hữu hạn.

Hằng số sai số yêu cầu

1/(1 + K_p) = 0,25 → K_p = 3

Độ khuếch đại

K/8 = 3 → K = 24

Đáp số

K = 24

Cũng hãy kiểm tra sự ổn định của vòng kín: với vòng bậc hai này mọi K > 0 đều ổn định.

40.Sai số xác lập và điều khiển PID

Đáp số: K_d = 1,01 s

Điều khiển P, PI và PID: bộ điều khiển C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s tác động lên sai số. Một độ lợi tỉ lệ làm vòng nhanh hơn và giảm sai số của đối tượng loại 0, nhưng không bao giờ loại bỏ nó. Thành phần tích phân thêm một cực tại s = 0: loại của hệ tăng thêm một, và một bước nhảy được bám theo không có sai số. Thành phần vi phân thêm sự cản. Để chọn các độ lợi, viết đa thức đặc trưng vòng kín và so sánh nó với s² + 2ζω_ns + ω_n². Khi đó %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d với ω_d = ω_n√(1 − ζ²), và t_s ≈ 4/(ζω_n).

Đa thức đặc trưng

s(s + 3) + 5(4 + K_ds) = s² + (3 + 5K_d)s + 20

Tần số riêng

ωₙ = √20 = 4,472 rad/s

Độ lợi vi phân

3 + 5K_d = 2·0,9·4,472 = 8,05

K_d = 1,01 s

Đáp số

K_d = 1,01 s

Thành phần vi phân thêm sự cản mà không làm đổi ωₙ.

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. Kỳ thi FE exam do NCEES tổ chức; tổ chức này không liên kết với ExamProblems và không bảo trợ nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-electrical

Luyện thi FE Điện và Máy tính: gói ôn nước rút

1Công thức và phương pháp

Điện trở nối tiếp và song song

Phương pháp

Phương pháp điện thế nút

Phương pháp

Phương pháp dòng điện mạch vòng

Phương pháp

Nguyên lý xếp chồng

Phương pháp

Thévenin và Norton

Phương pháp

Quá độ RC và RL

Phương pháp

Tổng trở xoay chiều và phasor

Phương pháp

Công suất xoay chiều và hệ số công suất

Công suất ba pha

Máy biến áp

Mạch khuếch đại thuật toán

Diode và transistor

Hệ đếm

Logic số: cổng, bìa K và flip-flop

Phương pháp

Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm

Phương pháp

Sai số xác lập và điều khiển PID

Phương pháp

2Bài tập

3Dung dịch

Gộp các điện trở từ đầu xa

Đáp số

Gộp các điện trở từ đầu xa

Đáp số

Thiết lập các nút

KCL tại nút A

KCL tại nút B

Giải

Đáp số

KCL tại nút A

KCL tại nút B

Giải

Đáp số

Gán các dòng điện mạch vòng

KVL quanh mạch vòng 1

KVL quanh mạch vòng 2

Giải

Đáp số

Gán các dòng điện mạch vòng

KVL quanh mạch vòng 1

KVL quanh mạch vòng 2

KVL quanh mạch vòng 3

Giải

Đáp số

Trường hợp 1 · chỉ V1 tác dụng

Trường hợp 2 · chỉ Is tác dụng

Cộng các phần đóng góp của dòng điện

Công suất trên điện trở

Đáp số

Trường hợp 1 · V1 tác dụng riêng

Trường hợp 2 · Is tác dụng riêng

Trường hợp 3 · V2 tác dụng riêng, trên mỗi vôn

Cho VA bằng không

Đáp số

Tìm Rth khi tắt mọi nguồn

Tìm Rth khi tắt mọi nguồn

Tìm Vth, điện áp hở mạch

Hằng số thời gian

Giải tìm thời gian

Đáp số

Giá trị đầu, giá trị cuối, hằng số thời gian

Giải tìm thời gian

Đáp số

Điện kháng

Tổng trở

Hệ số công suất

Đáp số

Cộng hưởng

Điện áp trên cuộn cảm

Đáp số

Trường hợp 1 · chỉ V₁ tác dụng

Trường hợp 2 · chỉ I_s tác dụng

Trường hợp 1 · V₁ tác dụng riêng

Trường hợp 2 · I_s tác dụng riêng

Trường hợp 3 · V₂ tác dụng riêng, trên mỗi vôn

Cho V_A bằng không

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Tìm R_th khi tắt mọi nguồn

Tìm V_th, điện áp hở mạch